Hur man förstår en jämn funktion eller. Jämn och udda funktioner

Hur infogar man matematiska formler på webbplatsen?

Om du någon gång behöver lägga till en eller två matematiska formler till en webbsida, är det enklaste sättet att göra detta enligt beskrivningen i artikeln: matematiska formler infogas enkelt på webbplatsen i form av bilder som Wolfram Alpha automatiskt genererar. Förutom enkelhet, detta universellt sätt hjälper till att förbättra webbplatsens synlighet sökmotorer. Det har fungerat länge (och jag tror att det kommer att fungera för alltid), men det är moraliskt förlegat.

Om du ständigt använder matematiska formler på din webbplats, rekommenderar jag att du använder MathJax - specialbibliotek JavaScript som återger matematisk notation i webbläsare med MathML-, LaTeX- eller ASCIIMathML-uppmärkning.

Det finns två sätt att börja använda MathJax: (1) med en enkel kod kan du snabbt ansluta ett MathJax-skript till din webbplats, som automatiskt kommer att laddas från en fjärrserver vid rätt tidpunkt (lista över servrar); (2) ladda upp MathJax-skriptet från en fjärrserver till din server och anslut det till alla sidor på din webbplats. Den andra metoden är mer komplex och tidskrävande och gör att du kan påskynda laddningen av sidorna på din webbplats, och om den överordnade MathJax-servern blir tillfälligt otillgänglig av någon anledning kommer detta inte att påverka din egen webbplats på något sätt. Trots dessa fördelar valde jag den första metoden, eftersom den är enklare, snabbare och inte kräver tekniska färdigheter. Följ mitt exempel, och inom 5 minuter kommer du att kunna använda alla funktioner i MathJax på din webbplats.

Du kan ansluta MathJax biblioteksskript från en fjärrserver med två kodalternativ hämtade från MathJax huvudwebbplats eller från dokumentationssidan:

Ett av dessa kodalternativ måste kopieras och klistras in i koden på din webbsida, helst mellan taggarna och eller direkt efter taggen . Enligt det första alternativet laddas MathJax snabbare och saktar ner sidan mindre. Men det andra alternativet spårar och laddas automatiskt färska versioner Mathjax. Om du sätter in den första koden kommer den att behöva uppdateras med jämna mellanrum. Om du klistrar in den andra koden kommer sidorna att laddas långsammare, men du behöver inte ständigt övervaka MathJax-uppdateringar.

Det enklaste sättet att ansluta MathJax är i Blogger eller WordPress: i webbplatsens kontrollpanel, lägg till en widget som är utformad för att infoga JavaScript-kod från tredje part, kopiera den första eller andra versionen av laddningskoden ovan till den och placera widgeten närmare början av mallen (förresten, detta är inte alls nödvändigt eftersom MathJax-skriptet laddas asynkront). Det är allt. Lär dig nu MathML-, LaTeX- och ASCIIMathML-markeringssyntaxen och du är redo att bädda in matematiska formler på dina webbsidor.

Alla fraktaler är byggda på viss regel, som successivt tillämpas ett obegränsat antal gånger. Varje sådan tidpunkt kallas en iteration.

Den iterativa algoritmen för att konstruera en Menger-svamp är ganska enkel: den ursprungliga kuben med sida 1 delas av plan parallella med dess ytor i 27 lika stora kuber. En central kub och 6 kuber intill den längs ytorna tas bort från den. Det visar sig en uppsättning bestående av 20 återstående mindre kuber. Om vi ​​gör samma sak med var och en av dessa kuber får vi ett set bestående av 400 mindre kuber. Om vi ​​fortsätter denna process på obestämd tid får vi Menger-svampen.

Gömma visa

Sätt att ställa in en funktion

Låt funktionen ges av formeln: y=2x^(2)-3 . Genom att tilldela valfritt värde till den oberoende variabeln x kan du använda den här formeln för att beräkna motsvarande värden för den beroende variabeln y . Till exempel, om x=-0.5 , då vi använder formeln, får vi att motsvarande värde för y är y=2 \cdot (-0.5)^(2)-3=-2.5 .

Givet vilket värde som helst som tas av x-argumentet i formeln y=2x^(2)-3 , kan endast ett funktionsvärde beräknas som motsvarar det. Funktionen kan representeras som en tabell:

Med den här tabellen kan du räkna ut att för värdet av argumentet -1 kommer värdet på funktionen -3 att motsvara; och värdet x=2 kommer att motsvara y=0, och så vidare. Det är också viktigt att veta att varje argumentvärde i tabellen endast motsvarar ett funktionsvärde.

Fler funktioner kan ställas in med hjälp av grafer. Med hjälp av grafen fastställs vilket värde på funktionen som korrelerar med ett visst värde på x. Oftast kommer detta att vara ett ungefärligt värde på funktionen.

Jämn och udda funktion

Funktionen är jämn funktion, när f(-x)=f(x) för valfritt x från domänen. En sådan funktion kommer att vara symmetrisk kring Oy-axeln.

Funktionen är udda funktion när f(-x)=-f(x) för valfritt x i domänen. En sådan funktion kommer att vara symmetrisk kring origo O (0;0) .

Funktionen är inte ens, inte heller udda och ringde fungera allmän syn när den inte har symmetri kring axeln eller ursprunget.

Vi undersöker följande funktion för paritet:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) med en symmetrisk definitionsdomän om ursprunget. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Därför är funktionen f(x)=3x^(3)-7x^(7) udda.

Periodisk funktion

Funktionen y=f(x) , i vars domän f(x+T)=f(x-T)=f(x) är sann för alla x, kallas periodisk funktion med period T \neq 0 .

Upprepning av grafen för funktionen på valfritt segment av abskissaxeln, som har längden T .

Intervaller där funktionen är positiv, det vill säga f (x) > 0 - segment av abskissaxeln, som motsvarar de punkter i grafen för funktionen som ligger ovanför abskissaxeln.

f(x) > 0 på (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Luckor där funktionen är negativ, dvs f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))

Funktionsbegränsning

avgränsad underifrån det är vanligt att anropa en funktion y=f(x), x \in X när det finns ett tal A för vilket olikheten f(x) \geq A gäller för alla x \in X .

Ett exempel på en funktion som avgränsas nedan: y=\sqrt(1+x^(2)) eftersom y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 för alla x .

avgränsad från ovan en funktion y=f(x), x \in X anropas om det finns ett tal B för vilket olikheten f(x) \neq B gäller för alla x \in X .

Ett exempel på en funktion som avgränsas nedan: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] eftersom y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 för valfritt x \i [-1;1] .

Begränsad det är vanligt att anropa en funktion y=f(x), x \i X när det finns ett tal K > 0 för vilket olikheten \left | f(x) \höger | \neq K för valfritt x \i X .

Exempel på en begränsad funktion: y=\sin x är avgränsad på hela tallinjen eftersom \vänster | \sin x \right | \neq 1.

Ökande och minskande funktion

Det är vanligt att tala om en funktion som ökar på det aktuella intervallet som ökande funktion då när större värde x kommer att matcha det större värdet på funktionen y=f(x) . Härifrån visar det sig att om man tar från det betraktade intervallet två godtyckliga värden av argumentet x_(1) och x_(2) och x_(1) > x_(2) blir det y(x_(1)) > y(x_(2)) .

En funktion som minskar på det aktuella intervallet kallas minskande funktion när ett större värde på x kommer att motsvara ett mindre värde på funktionen y(x) . Härifrån visar det sig att om man tar från det betraktade intervallet två godtyckliga värden av argumentet x_(1) och x_(2) och x_(1) > x_(2) blir det y(x_(1))< y(x_{2}) .

Funktionsrötter det är vanligt att namnge de punkter där funktionen F=y(x) skär abskissaxeln (de erhålls som ett resultat av att lösa ekvationen y(x)=0 ).

a) Om för x > 0 jämn funktionökar, sedan minskar den vid x< 0

b) När en jämn funktion minskar för x > 0, så ökar den för x< 0

c) När en udda funktion ökar för x > 0, så ökar den också för x< 0

d) När en udda funktion minskar för x > 0, kommer den också att minska för x< 0

Funktion extremer

Funktionens minimipunkt y=f(x) är det vanligt att kalla en sådan punkt x=x_(0) , där dess grannskap kommer att ha andra punkter (förutom punkten x=x_(0) ), och för dem då olikheten f( x) > f (x_(0)) . y_(min) - beteckning för funktionen vid punkten min.

Funktions maxpunkt y=f(x) är det vanligt att kalla en sådan punkt x=x_(0) , där dess grannskap kommer att ha andra punkter (förutom punkten x=x_(0) ), och sedan olikheten f(x) kommer att vara nöjd för dem< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Nödvändigt skick

Enligt Fermats sats: f"(x)=0, kommer då funktionen f(x) , som är differentierbar vid punkten x_(0) , att uppträda ett extremum vid denna punkt.

Tillräckligt skick

1. När tecknet för derivatan ändras från plus till minus kommer x_(0) att vara minimipunkten;
2. x_(0) - kommer att vara en maxpunkt endast när derivatan ändrar tecken från minus till plus när den passerar genom den stationära punkten x_(0) .

Det största och minsta värdet av funktionen på intervallet

Beräkningssteg:

1. Letar efter derivatan f"(x) ;
2. Stationära och kritiska punkter för funktionen hittas och de som hör till intervallet väljs;
3. Värdena för funktionen f(x) finns vid de stationära och kritiska punkterna och ändarna av segmentet. Det minsta av resultaten kommer att vara det minsta värdet funktioner, och mer - störst.

En funktion kallas jämn (udda) om för någon och likheten

.

Grafen för en jämn funktion är symmetrisk kring axeln
.

Grafen för en udda funktion är symmetrisk om ursprunget.

Exempel 6.2. Undersök efter jämna eller udda funktioner

1)
; 2)
; 3)
.

Lösning.

1) Funktionen definieras med
. Låt oss hitta
.

De där.
. Betyder att, given funktionär jämnt.

2) Funktionen är definierad för

De där.
. Den här funktionen är således udda.

3) funktionen är definierad för , d.v.s. för

,
. Därför är funktionen varken jämn eller udda. Låt oss kalla det en allmän funktion.

3. Undersökning av en funktion för monotoni.

Fungera
kallas ökande (minskande) på något intervall om i detta intervall varje större värde i argumentet motsvarar ett större (mindre) värde på funktionen.

Funktioner som ökar (minskar) på vissa intervall kallas monotona.

Om funktionen
differentierbar på intervallet
och har en positiv (negativ) derivata
, sedan funktionen
ökar (minskar) i detta intervall.

Exempel 6.3. Hitta intervaller för monotoni av funktioner

1)
; 3)
.

Lösning.

1) Denna funktion är definierad på hela talaxeln. Låt oss hitta derivatan.

Derivatan är noll if
och
. Definitionsdomän - numerisk axel, dividerat med punkter
,
för intervaller. Låt oss bestämma tecknet för derivatan i varje intervall.

I intervallet
derivatan är negativ, funktionen minskar på detta intervall.

I intervallet
derivatan är positiv, därför ökar funktionen på detta intervall.

2) Denna funktion är definierad om
eller

.

Vi bestämmer tecknet för det kvadratiska trinomialet i varje intervall.

Alltså omfattningen av funktionen

Låt oss hitta derivatan
,
, om
, dvs.
, men
. Låt oss bestämma tecknet för derivatan i intervallen
.

I intervallet
derivatan är negativ, därför minskar funktionen på intervallet
. I intervallet
derivatan är positiv, funktionen ökar med intervallet
.

4. Undersökning av en funktion för ett extremum.

Punkt
kallas funktionens maximala (minsta) punkt
, om det finns en sådan grannskap av punkten det för alla
denna stadsdel tillfredsställer ojämlikheten

.

Maximi- och minimumpunkterna för en funktion kallas extrema punkter.

Om funktionen
vid punkten har ett extremum, så är derivatan av funktionen vid denna punkt lika med noll eller existerar inte (ett nödvändigt villkor för existensen av ett extremum).

Punkterna där derivatan är lika med noll eller inte existerar kallas kritiska.

5. Tillräckliga förutsättningar för existensen av ett extremum.

Regel 1. Om under övergången (från vänster till höger) genom den kritiska punkten derivat
ändrar tecken från "+" till "-", sedan vid punkten fungera
har ett maximum; om från "-" till "+", då minimum; om
byter inte tecken, då finns det inget extremum.

Regel 2. Låt vid punkten
första derivatan av funktionen
noll-
, och den andra derivatan existerar och är icke-noll. Om en
, då är maxpoängen, if
, då är minimipunkten för funktionen.

Exempel 6.4 . Utforska max- och minimumfunktionerna:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Lösning.

1) Funktionen är definierad och kontinuerlig på intervallet
.

Låt oss hitta derivatan
och lös ekvationen
, dvs.
.härifrån
är kritiska punkter.

Låt oss bestämma tecknet för derivatan i intervallen,
.

När du passerar genom punkter
och
derivatan ändrar tecken från "–" till "+", därför enligt regel 1
är minimipoängen.

När du passerar en punkt
derivata ändrar tecken från "+" till "-", alltså
är maxpoängen.

,
.

2) Funktionen är definierad och kontinuerlig i intervallet
. Låt oss hitta derivatan
.

Genom att lösa ekvationen
, hitta
och
är kritiska punkter. Om nämnaren
, dvs.
, då existerar inte derivatan. Så,
är den tredje kritiska punkten. Låt oss bestämma derivatans tecken i intervaller.

Därför har funktionen ett minimum vid punkten
, maximalt vid punkter
och
.

3) En funktion är definierad och kontinuerlig if
, dvs. på
.

Låt oss hitta derivatan

.

Låt oss hitta de kritiska punkterna:

Områden med poäng
tillhör inte definitionsdomänen, så de är inte extremum t. Så låt oss utforska de kritiska punkterna
och
.

4) Funktionen är definierad och kontinuerlig på intervallet
. Vi använder regel 2. Hitta derivatan
.

Låt oss hitta de kritiska punkterna:

Låt oss hitta den andra derivatan
och bestäm dess tecken vid punkterna

På punkter
funktion har ett minimum.

På punkter
funktionen har ett maximum.

Som i en eller annan grad var bekanta för dig. Där noterades också att beståndet av funktionsfastigheter successivt kommer att fyllas på. Två nya fastigheter kommer att diskuteras i detta avsnitt.

Definition 1.

Funktionen y \u003d f (x), x є X, anropas även om för något värde x från mängden X är likheten f (-x) \u003d f (x) sann.

Definition 2.

Funktionen y \u003d f (x), x є X, kallas udda om för något värde x från mängden X är likheten f (-x) \u003d -f (x) sann.

Bevisa att y = x 4 är en jämn funktion.

Lösning. Vi har: f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) 4. Men (-x) 4 = x 4 . Därför, för varje x, är likheten f (-x) = f (x), dvs. funktionen är jämn.

På samma sätt kan det bevisas att funktionerna y - x 2, y \u003d x 6, y - x 8 är jämna.

Bevisa att y = x 3 är en udda funktion.

Lösning. Vi har: f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) 3. Men (-x) 3 = -x 3 . Därför, för varje x, är likheten f (-x) \u003d -f (x), dvs. funktionen är udda.

På samma sätt kan det bevisas att funktionerna y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 är udda.

Du och jag har gång på gång övertygat oss själva om att nya termer inom matematiken oftast har ett ”jordiskt” ursprung, d.v.s. de kan förklaras på något sätt. Detta är fallet för både jämna och udda funktioner. Se: y - x 3, y \u003d x 5, y \u003d x 7 är udda funktioner, medan y \u003d x 2, y \u003d x 4, y \u003d x 6 är jämna funktioner. Och i allmänhet, för alla funktioner av formen y \u003d x "(nedan kommer vi specifikt att studera dessa funktioner), där n är ett naturligt tal, kan vi dra slutsatsen: om n inte är jämnt nummer, då är funktionen y \u003d x "udda; om n är ett jämnt tal är funktionen y \u003d xn jämnt.

Det finns också funktioner som varken är jämna eller udda. Sådan är till exempel funktionen y \u003d 2x + 3. Faktum är att f (1) \u003d 5 och f (-1) \u003d 1. Som du kan se, här, alltså inte heller identiteten f (-x ) \u003d f ( x), inte heller identiteten f(-x) = -f(x).

Så en funktion kan vara jämn, udda eller ingetdera.

Studiet av frågan om en given funktion är jämn eller udda brukar kallas studien av funktionen för paritet.

I definitionerna 1 och 2 vi pratar om funktionens värden i punkterna x och -x. Detta förutsätter att funktionen är definierad både i punkten x och i punkten -x. Det betyder att punkten -x tillhör funktionens domän samtidigt som punkten x. Om en numerisk mängd X tillsammans med vart och ett av dess element x innehåller det motsatta elementet -x, så kallas X en symmetrisk mängd. Låt oss säga att (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) är symmetriska mängder, medan )