7. Правило на паралелограма за елементарни частици и за различни видове сили
Светът около нас е изтъкан от Сили, тъй като Силата е Етер, а Етерът е навсякъде във Вселената. Силата е това, което се стреми да отстъпи.
Една от разликите между механиката на телата и механиката на стабилните елементарни частици е, че стабилните частици под въздействието на Силите могат само да се движат. Те не могат да се деформират и срутят по очевидна причина - те са неделими. Докато едно тяло (или дори нестабилна частица - конгломерат), когато Силата (или Силите) действа върху него, може да се движи, деформира и колапсира.
В механиката на телата (в класическата механика) има прекрасен начин, който помага да се разбере в каква посока ще се движи тялото под въздействието на всички сили, които действат върху него. И също така изчислете стойността на резултантната сила. Този метод е добре известен като Правило за силите на паралелограма.
Отвори го Галилео Галилей, а точно определениедаде това правило Пиер Вариньон през 1687 г.
Правилото на успоредника на силите е, че векторът на резултантната сила е диагоналът на успоредника, изграден върху векторите на двата члена на силите като на страните.
Това правило е изненадващо добро, като помага да се изчисли точно посоката, в която тялото ще се движи (или има тенденция да се движи), ако повече от една Сила действа върху него. И в нашия свят всяко тяло винаги е едновременно повлияно от огромен набор от външни сили(тъй като всяка частица в състава на всеки химичен елемент е източник на Сила).
Освен това, това правило на паралелограма е идеално за елементарни частици. С него можем да разберем точно в каква посока ще се измества една елементарна частица във всеки момент от време, ако върху нея действат едновременно две или повече сили. И също така ще разберем съотношението на стойностите на Силите - началните и резултантните. Освен това типът на всяка от Силите може да бъде всякакъв. Диагонален паралелограм - това е индикаторът за посоката, както и индикаторът за величината на получената Сила. Обърнете внимание обаче на една важна подробност – за всеки следващ момент от движението на частицата трябва да се изгради нов паралелограм на силите.
Нека разгледаме по-отблизо същността на правилото на паралелограма. И в хода на този анализ ще му дадем малко по-различно име - Правило за подчинение на господстващата сила... Това ще ни позволи да разберем по-добре особеностите на поведението на елементарните частици (и всякакви конгломерати от частици), тъй като правилото на паралелограма във формата, в която съществува сега, не разкрива напълно смисъла на това, което се случва с частица, когато повече отколкото една Сила действа върху него. Например, не се казва нищо за съществуването на различни видове Сили.
Доминиращата сила е Силата, която е най-голяма по величина. Както казахме по-рано, величината на Силата е скоростта на етерния поток, който носи частицата. Освен това, в ролята на етерния поток, просто етерът може да действа, запълвайки частицата (както в случая със силата на натиск на повърхността на частицата).
Правилото за подчинение на доминиращата сила (правилото на паралелограма) се свежда до факта, че частица, върху която действат повече от една сила, ще се подчинява в най-голяма степен на най-голямата от тях. Какво означава? Това означава, че векторът на резултатната от всички сили във всеки момент от време ще бъде по-изместен към вектора на силата, който е най-големият по величина. Тоест, най-голямата Сила доминира, но останалите Сили също оказват влияние върху позицията на вектора на получената Сила. Можете допълнително да уточните името на правилото - Подчинение на Доминиращата сила, като вземете предвид действията на другите сили.
Доминиращата Сила измества вектора на резултантната Сила повече от другите в своята посока. И други, по-малки, Сили не позволяват на този вектор да се подчинява напълно на тази най-велика Сила. Те разтягат вектора в тяхната посока пропорционално на тяхната величина.
Като цяло, когато се анализира всяка ситуация, при която елементарна частица е повлияна от повече от една Сила, е необходимо да се вземат предвид редица фактори. Първо , трябва да разберете колко Сили действат върху частицата и величината на всяка от тях... второ, трябва да разберете под какъв ъгъл са разположени векторите на силата един спрямо друг.И трето, необходимо е да се вземе предвид вида на всяка една от Силите... Само чрез оценка на всички тези фактори може да се опита да изчисли каква ще бъде посоката и скоростта на частицата във всеки момент от време. Нека разгледаме по-отблизо тези фактори.
1) Количеството и общ бройСилите, действащи върху частица, трябва да се оценяват за всеки отделен случай.
В случай, че броят на силите, действащи върху частица, надвишава две, трябва да се направи същото като при телата. Изграждаме паралелограм за две сили. След това изграждаме следващия паралелограм, използвайки получения вектор на резултата и следващия от Силите. И така нататък, докато се вземат предвид всички сили.
2) Ъгълът между векторите на силите, действащи върху частицата, е много важен за определяне на величината и посоката на резултантната Сила.
А) Ъгълът между векторите на силите от 0? до 90?.
В този случай има един вид сумиране на силите, действащи върху частицата. Разбира се, получената сила няма да бъде точно равна на сумата от двете сили, действащи върху частицата. Но във всеки случай тя ще се окаже по-голяма от която и да е от двете Сили, от векторите на които изграждаме паралелограм. Можете да видите това по размера на диагонала на успоредника. И колкото по-остър е ъгълът, толкова по-голяма е стойността на резултантната сила.
Краен случай остър ъгъл- 0?, т.е. без ъгъл.Векторите на Силите са на една и съща права линия и посоката им е една и съща. V в такъв случайневъзможно е да се построи паралелограм. Вместо това има права линия, върху нея отлагаме два сегмента, всеки от които е равен на стойността на един от оперативни сили... В 0? има пълно сумиране на векторите на Силите.
Б) Ъгълът между векторите на силите е повече от 90°.
В този случай, ако можете да видите от снимката, има един вид изваждане на Силите. Получената сила винаги се оказва по-голяма от по-малката от двете сили и по-малка от по-голямата. Потвърждение за това е размерът на диагонала. И колкото по-голям е ъгълът, толкова по-малка е стойността на резултантната сила.
Крайният случай на тъп ъгъл е 180 градуса.Векторите на Силите лежат на една права линия. Въпреки това, за разлика от ъгъла, равен на 0θ, векторите са противоположно насочени. В този краен случай се извършва изваждане от вектора на по-голямата Сила на вектора на по-малката. Получената разлика точно съответства на стойността на резултантната сила.
Във всеки случай, за всяка стойност на ъгъла, векторът на резултантната Сила винаги е по-изместен спрямо вектора на по-голямата от двете сили. Тоест, голяма Сила кара частицата да се движи повече в нейната посока.
3) И накрая, ние предоставяме информация как доколко правилото на паралелограма зависи от вида на силите, действащи върху частицата.
а)Въпреки че източниците на всички видове Сила са различни, тяхното въздействие върху частица може да се сравни, тъй като всяка от Силите има тенденция да приведе частицата в движение. И следователно, дори ако Силите действат върху частицата различни видове, можете да построите паралелограм на силите върху вектори, като диагоналът му ще бъде индикация за посоката, в която ще се движи частицата.
Големината на вектора на Силата е толкова по-голяма, колкото по-голяма е Силата. И Силата е толкова по-голяма, колкото по-голяма е скоростта, с която частицата ще се движи тази посока, не действайте върху него още една сила (или други сили).
Дължината на вектора на получената (резултантна) Сила - диагоналът - съответства на скоростта, с която ще се движи частицата под действието на двете приложени към нея сили.
Б)По-рано установихме, че има само четири основни типа Сила. Когато Галилей изведе правилото на успоредника, очевидно е, че той го е направил по отношение на силите, с които едни тела притискат други или ги влачат, принуждавайки ги да се движат по този начин. Подобен типСилите се наричат в тази книга сила на повърхностното налягане на частиците. Чували сме малко за правилото на паралелограма, което се използва и за гравитацията. Освен това това ограничение се отнася до Силата на отблъскване и Силата на инерцията, от които първата почти не е призната от науката, а втората изобщо не й е известна.
но някак си, това Правилоима универсален характер и може да се използва за всеки от четирите вида Сила - Повърхност на частиците, Привличане, Отблъскване и Инерция. Въпреки това, в непроменен вид, той може да се приложи само за силата на натиск на повърхността на частиците, тоест за същия случай, описан от Галилей за телата.
Две тела действат върху тялото от двете страни - или натиснете върху него, или го плъзнете. В нашия случай две частици ще притиснат частицата (те не могат механично да плъзнат частицата).
Взети отделно, свободната частица никога няма да упражнява дългосрочен натиск върху друга частица, освен ако Силата на привличане от тази частица не действа върху нея. Или ако частиците са част от телата и телата, притискайки се едно друго, също притискат всяка частица между тях. Следователно в нашия случай говорим за едновременно натиск върху частица от две частици в резултат на сблъсъка им с нея. След като две други частици се сблъскат с една частица, тя започва да се движи по инерция точно в съответствие с правилото на паралелограма. Диагоналът (векторът на резултантната сила) показва посоката, в която ще се движи частицата. Колко дълго ще продължи инерционното движение зависи от скоростта, с която се движат частиците в момента на сблъсък с него, от ъгъла между векторите на Силите, а също и от качеството на самата частица.
V)Единствената трудност, пред която ще се сблъскаме при конструирането на успоредника на силите, е свързана със силите на привличане и отблъскване. Тук въпросниятдори по-скоро не за сложността, а за непознатостта. Източниците на силите на привличане или отблъскване са отдалечени от частицата на едно или друго разстояние. Въпреки това, ефектът на тези сили се усеща директно от частицата. Това не е изненадващо, защото гравитационното или антигравитационното взаимодействие се разпространява мигновено. Това мигновено разпространение се обяснява с факта, че ефирното "платно" е един вид монолит, който равномерно изпълва цялата Вселена. И появата в това платно на всеки излишък или липса на етер веднага се усеща от всяко разстояние.
В този случай, когато видовете Сила, действаща върху частицата, са различни, векторът на Силата трябва да показва посоката, в която Силата има тенденция да измести частицата. Така например, ако Силата на привличане действа върху частица, тогава векторът ще бъде насочен към обекта, източника на тази Сила, а не от него. Но в случая със Силата на отблъскване е точно обратното. Векторът ще бъде насочен от източника на дадената Сила.
Що се отнася до силата на натиск на повърхността на частиците, тук всичко е същото като в механиката на телата. В този случай източникът на Силата директно контактува с частицата - сблъсква се с нея. И векторът на тази Сила е насочен в същата посока като вектора на движение на частицата, чиято повърхност оказва натиск.
И накрая, последната от Силите - Инерция. За наличието на тази Сила може да се говори само ако частицата се движи инерционно. Ако частицата не се движи по инерция, тогава няма и инерционна сила. Векторът на инерционната сила винаги съвпада с вектора на движение на частицата в този момент... Източникът на Силата на инерцията е етерът, излъчван от задното полукълбо на частицата.
ж)Никога няма да се случи и двете сили, действащи върху частица, да са инерционни, тъй като една частица може да се движи по инерция в даден момент само в една посока.
Д)Ако едната или двете сили, действащи върху частица, са от типа на привличане или отблъскване, частицата ще се движи по парабола, постепенно се измества под влиянието на по-голямата от Силите.
Ако една от силите, действащи върху частицата, принадлежи към типа на привличане или отблъскване, а втората е силата на инерцията, тогава траекторията на частицата също е параболична.
д)Никога не се случва Силата на привличане и Силата на отблъскване да действат едновременно върху частица, като в същото време векторите им лежат на една и съща права линия и биха били противоположно насочени. Това се обяснява с факта, че Силата на привличане и Силата на отблъскване са антиподни сили. Векторът на Силата на привличането е насочен към източника на Силата. И векторът на Силата на отблъскване е от него. Следователно, ако източниците на Силите на привличане и отблъскване са разположени по протежение на различни страниот частицата, векторите на техните Сили ще бъдат сумирани. Ако източниците на Силите са разположени от едната страна на частицата, тогава частицата ще почувства само една от Силите - или привличане, или отблъскване. И всичко това, защото Полетата на привличане и Полетата на отблъскване екранират и влияят на величината един на друг.
Но във всеки случай можете да приложите правилото на паралелограма към всяка частица и да го използвате, за да определите посоката и величината на вектора на получената Сила. В съответствие с големината и посоката на този вектор, частицата ще се движи в даден момент.
Всичко, което току-що беше казано за правилото на паралелограма за частици, може да се използва напълно за телата.
От книгата Магията в теорията и практиката от Кроули АлистърГлава XXI. ЗА ЧЕРНАТА МАГИЯ; ЗА ОСНОВНИТЕ ВИДОВЕ ОПЕРАЦИИ С МАГИЧЕСКИ ИЗКУСТВА; А ЗА СИЛИТЕ НА СФИНКСА? I Както вече беше казано в началото на първа глава, Единственият и най-висш ритуал е постигането на Познание и Разговор със Светия Ангел Пазител. „Това е право вертикално излитане
От книгата Термодинамика автор Данина Татяна02. Температура на елементарните частици Във физиката понятието „температура“ се отнася до материята (тялото, околната среда – това са синоними) като цяло. Всъщност "температурата" характеризира, на първо място, отделно взета елементарни частици, както и комплекси от елементарни частици -
От книгата Биология (включително праноология) автор Данина Татяна13. Разпространение в материята на 2-ра компонента на топлината - елементарни частици Така че не всеки химичен елементв процеса на нагряване той придобива поле на отблъскване (с изключение на онези елементи, които вече са имали отблъскващо поле). И, съответно, не всеки отопляем
От книгата Ефирна механика автор Данина Татяна07. Химични елементи в ДНК на клетъчните ядра - носители на частици от астралния план Химически елемент е конгломерат от частици с различно качество... В зависимост от химичния елемент в тялото на представителя на кое царство, той има един или друг
От книгата Основни окултни закони и понятия автор Данина Татяна8. Механичните процеси и явления разкриват механични свойстваелементарни частици Механичният процес и механичното явление са частни случаи физически процеси физическо явление Процесът е събитие, случващо се във времето.
От книгата Хиромантия и нумерология. Тайно знание автор Надеждина Вера26. Инерция на частиците в реални условия Основните характеристики на инерционното движение на елементарните частици, разгледани от нас малко по-рано без никакви допълнителни условия, са приложими само за идеални условия. Да, само в идеални условиятраектория на движение
От книгата Тайният смисъл на живота. том 3 автора Ливрага Хорхе Анхел28. Главна информацияотносно сблъсъка на частици Нека анализираме защо има такова механично явление като "сблъсък" на елементарни частици. Първо, нека разберем какво ще наречем "сблъсък". Сблъсъкът е моментът на контакт на две частици, въпреки че
От книгата на автора30. Сблъсък на свободни частици, движещи се по инерция А сега нека разгледаме случая на сблъсък на свободни частици, като и двете са били в процес на инерционно движение преди момента на контакт.Какво се случва с всяка от частиците след като се сблъскат? Силно
От книгата на автора09. Структурата и качеството на елементарните частици (Душите). Ин и Ян Сред всички по-рано изброени синоними на окултния термин "Душа", най-научен трябва да се счита понятието "елементарна частица".
От книгата на автора11. Полета на привличане и отблъскване – външно проявление на качеството на елементарните частици Ако в частиците етер беше само унищожен и не възникваше, то от околното пространство би дошло точно толкова, колкото би трябвало да бъде унищожено.
От книгата на автора15. Седемте равнина са съвкупност от елементарни частици В езотеричната литература, по-специално в книгите на Е. Блаватска и А. Бейли, често се споменава понятие като „Планове“. Какви са те, какви са и колко са общо?Планът е цялата съвкупност от Души
От книгата на автора16. Седем лъча, Седем братя, Седем Сефирот, Седем Риши, Седем сина, Седем Духа, Седем Принципа - всичко това са седем типа Души (елементарни частици) Седем Лъча, Седем братя, Седем Сефирот, Седем Риши, Седем сина, Седем Духове, седем принципа ... Този списък е още по-дълъг, а в бъдеще ние
От книгата на автора19. Класификация на частиците по „елементи“ („елементи“) „Древногръцките философи са вярвали, че Земята е изградена само от няколко „първични елемента“. Емпедокъл от Акрагант, който е живял около 430 г. пр. н. е., идентифицира четири такива елементарни елемента: земя, въздух, вода и
От книгата на автора31. Етерът е причина за твърдостта на елементарните частици Самите елементарни частици, лишени от качество – тоест не поглъщат и не създават Етер – са „ефимерни“ една спрямо друга – сякаш не съществуват. един за друг Това означава, че всички елементарни частици
От книгата на автораТайните на елементарните числа Числото "0" "О" представлява безкрайност, безкрайно безгранично същество, първопричината на всичко съществуващо, Брахманда или яйцето на Вселената, Слънчева системав своята цялост. Така нулата определя универсалността, космополитизма. Той
От книгата на автораX. A. Ливрага. О различни видовеХорхе А. Ливрага: Попитахте ме за различните типове хора, за тяхната вътрешна природа. Както знаете, това, което наричаме човек, не е началото или края, а само един момент от еволюцията на Монадата (Зоната) , който идва от дълбините
Как се добавят векторите не винаги е ясно за учениците. Децата нямат представа какво се крие зад тях. Просто трябва да запомните правилата, а не да размишлявате върху същността. Следователно, за принципите на събиране и изваждане на векторни величини са необходими много познания.
В резултат на добавяне на два или повече вектора винаги получавате още един. Освен това той винаги непременно ще бъде същият, независимо от приема на неговата констатация.
Най-често в училищен курсгеометрия се разглежда добавянето на два вектора. Може да се извърши по правилото на триъгълник или успоредник. Тези снимки изглеждат различно, но резултатът от действието е същият.
Как работи събирането на триъгълник?
Използва се, когато векторите не са колинеарни. Тоест те не лежат на една права линия или на успоредни.
В този случай е необходимо да се отложи първият вектор от произволна точка. От края му се изисква да се направи паралел и равен на втория. Резултатът е вектор, започващ в началото на първия и завършващ в края на втория. Рисунката прилича на триъгълник. Оттук и името на правилото.
Ако векторите са колинеарни, това правило също може да се приложи. Само чертежът ще бъде разположен по една линия.
Как се извършва събирането на паралелограм?
Още веднъж? се отнася само за неколинеарни вектори. Строителството се извършва по различен принцип. Въпреки че началото е същото. Необходимо е да се отложи първият вектор. И от началото си – вторият. На тяхна основа попълнете паралелограм и начертайте диагонал от началото на двата вектора. Това ще бъде резултатът. Ето как се добавят векторите според правилото на паралелограма.
Досега те са били две. Но какво ще стане, ако има 3 или 10 от тях? Използвайте следната техника.
Как и кога се прилага правилото за многоъгълници?
Ако трябва да извършите добавяне на вектори, чийто брой е повече от два, не бива да се плашите. Достатъчно е последователно да отложите всички тях и да свържете началото на веригата с нейния край. Този вектор ще бъде необходимата сума.
Какви свойства са валидни за действия върху вектори?
Относно нулевия вектор.Което твърди, че при добавяне към него се получава оригиналът.
Относно противоположния вектор.Тоест за такъв, който има обратна посока и стойност, равна по големина. Сумата им ще бъде нула.
Относно комутативността на събирането.Какво се знае оттогава начално училище... Смяната на местата на термините не променя резултата. С други думи, няма значение кой вектор да се отложи първо. Отговорът все пак ще бъде верен и единствен.
Относно асоциативността на събирането.Този закон ви позволява да добавяте по двойки всякакви вектори от тройката и да добавяте трети към тях. Ако напишете това с помощта на знаци, получавате следното:
първи + (втори + трети) = втори + (първи + трети) = трети + (първи + втори).
Какво се знае за векторната разлика?
Няма отделна операция за изваждане. Това е така, защото по същество е допълнение. Само на втория от тях се дава обратна посока. И тогава всичко се прави така, сякаш се обмисля добавянето на вектори. Следователно те практически не говорят за тяхната разлика.
За да се опрости работата с тяхното изваждане, правилото за триъгълник е модифицирано. Сега (при изваждане) вторият вектор трябва да бъде отложен от началото на първия. Отговорът ще бъде този, който свързва крайната точка на изваденото с него. Въпреки че можете да отложите, както е описано по-рано, просто като промените посоката на втория.
Как да намеря сумата и разликата на векторите в координати?
В задачата са дадени координатите на векторите и трябва да разберете техните стойности за крайния. В този случай не е необходимо да се извършват конструкции. Тоест можете да използвате прости формули, които описват правилото за добавяне на вектори. Те изглеждат така:
a (x, y, z) + b (k, l, m) = c (x + k, y + l, z + m);
a (x, y, z) -b (k, l, m) = c (x-k, y-l, z-m).
Лесно е да се види, че координатите просто трябва да се добавят или изваждат, в зависимост от конкретната задача.
Първи пример с решение
Състояние. Даден е правоъгълник AVSD. Страните му са 6 и 8 см. Точката на пресичане на диагоналите е обозначена с буквата O. Необходимо е да се изчисли разликата между векторите AO и BO.
Решение. Първо трябва да нарисувате тези вектори. Те са насочени от върховете на правоъгълника към пресечната точка на диагоналите.
Ако погледнете отблизо чертежа, можете да видите, че векторите вече са подравнени, така че вторият от тях докосва края на първия. Но посоката му е грешна. Трябва да започне от тази точка. Това е, ако векторите се съберат, а в задачата - изваждане. Спри се. Това действие означава, че трябва да добавите вектор с противоположна посока. Това означава, че VO трябва да бъде заменен с OV. И се оказва, че двата вектора вече са образували двойка страни от правилото на триъгълника. Следователно резултатът от тяхното добавяне, тоест желаната разлика, е векторът AB.
И съвпада със страната на правоъгълника. За да запишете цифровия отговор, имате нужда от следното. Начертайте правоъгълник по дължина, така че по-голямата страна да върви хоризонтално. Започнете да номерирате върховете от долния ляв ъгъл и отидете обратно на часовниковата стрелка. Тогава дължината на вектора AB ще бъде 8 cm.
Отговор. Разликата между AO и AO е 8 cm.
Втори пример и неговото подробно решение
Състояние. В ромба AVSD диагоналите са 12 и 16 см. Точката на тяхното пресичане е обозначена с буквата O. Изчислете дължината на вектора, образуван от разликата между векторите AO и BO.
Решение. Нека обозначението на върховете на ромба е същото като в предишния проблем. Подобно на решението на първия пример, се оказва, че желаната разлика е равна на вектора AB. И дължината му е неизвестна. Решението на задачата се свежда до изчисляване на една от страните на ромба.
За тази цел ще трябва да вземете предвид триъгълника ABO. Той е правоъгълен, защото диагоналите на ромба се пресичат на 90 градуса. И краката му са равни на половината от диагоналите. Тоест 6 и 8 см. Търсената страна в задачата съвпада с хипотенузата в този триъгълник.
Намирането му изисква питагоровата теорема. Квадратът на хипотенузата ще бъде равен на сбора от числата 6 2 и 8 2. След квадратура получавате стойностите: 36 и 64. Сборът им е 100. От това следва, че хипотенузата е 10 cm.
Отговор. Разликата между векторите AO и VO е 10 cm.
Трети пример с подробно решение
Състояние. Изчислете разликата и сумата от два вектора. Техните координати са известни: първата има 1 и 2, втората има 4 и 8.
Решение. За да намерите сумата, трябва да добавите първата и втората координати по двойки. Резултатът ще бъде числата 5 и 10. Отговорът ще бъде вектор с координати (5; 10).
За разликата трябва да извадите координатите. След завършване на това действие ще бъдат получени числата -3 и -6. Те ще бъдат координатите на желания вектор.
Отговор. Сборът на векторите е (5; 10), разликата им е (-3; -6).
Четвърти пример
Състояние. Дължината на вектора AB е 6 см, BC - 8 см. Вторият е отделен от края на първия под ъгъл от 90 градуса. Изчислете: а) разликата между модулите на векторите BA и BC и модула на разликата между BA и BC; б) сумата от същите модули и модула на сбора.
Решение: а) Дължините на векторите вече са дадени в задачата. Следователно не е трудно да се изчисли тяхната разлика. 6 - 8 = -2. Ситуацията с модула на разликата е малко по-сложна. Първо трябва да разберете кой вектор ще бъде резултатът от изваждането. За тази цел трябва да се отложи векторът VA, който е насочен в посока, обратна на AB. След това начертайте BC вектора от неговия край, като го насочите в посока, противоположна на оригиналната. Резултатът от изваждането е CA векторът. Неговият модул може да се изчисли по питагоровата теорема. Простите изчисления водят до стойност от 10 cm.
б) Сборът от модулите на векторите е равен на 14 см. За намиране на втория отговор е необходима известна трансформация. Вектор BA е противоположно насочен към този, който е даден - AB. И двата вектора са насочени от една и съща точка. В тази ситуация можете да използвате правилото на паралелограма. Резултатът от добавянето ще бъде диагонал, а не просто успоредник, а правоъгълник. Диагоналите му са равни, което означава, че модулът на сбора е същият като в предишния параграф.
Отговор: а) -2 и 10 см; б) 14 и 10 см.
вектор от дадена точка.
Определение 1
Ако точката $ A $ е началото на някакъв вектор $ \ overrightarrow (a) $, тогава векторът $ \ overrightarrow (a) $ се казва, че е отложен от точката $ A $ (фиг. 1).
Фигура 1. $ \ overrightarrow (a) $ отложено от точка $ A $
Нека представим следната теорема:
Теорема 1
От всяка точка $ K $ можете да отложите вектора $ \ overrightarrow (a) $ и освен това само един.
Доказателство.
съществуване:Тук трябва да се разгледат два случая:
Векторът $ \ overrightarrow (a) $ е нулев.
В този случай е очевидно, че необходимият вектор е векторът $ \ overrightarrow (KK) $.
Векторът $ \ overrightarrow (a) $ е различен от нула.
Да обозначим с точката $ A $ началото на вектора $ \ overrightarrow (a) $, а с точката $ B $ - края на вектора $ \ overrightarrow (a) $. Начертайте права $ b $ през точката $ K $, успоредна на вектора $ \ overrightarrow (a) $. Поставете отсечките $ \ left | KL \ right | = | AB | $ и $ \ left | KM \ right | = | AB | $ на този ред. Да разгледаме векторите $ \ overrightarrow (KL) $ и $ \ overrightarrow (KM) $. От тези два вектора, желаният ще бъде този, който ще бъде съпосочен с вектора $ \ overrightarrow (a) $ (фиг. 2)
Фигура 2. Илюстрация на теорема 1
Уникалност:уникалността непосредствено следва от конструкцията, извършена в клаузата "съществуване".
Теоремата е доказана.
Добавяне на вектори. Правило за триъгълник
Нека ни бъдат дадени вектори $ \ overrightarrow (a) $ и $ \ overrightarrow (b) $.
Определение 2
Сумата от вектори $ \ overrightarrow (a) + \ overrightarrow (b) $ е вектор $ \ overrightarrow (c) = \ overrightarrow (AC) $, конструиран по следния начин: Вектор $ \ overrightarrow (AB) = \ overrightarrow (a ) $, то векторът $ \ overrightarrow (BC) = \ overrightarrow (b) $ се начертава от получената точка $ B $ и се свързва точката $ A $ с точката $ C $ (фиг. 3).
Фигура 3. Сума от вектори
Забележка 1
В противен случай дефиниция 2 също се нарича правило за триъгълникза добавяне на два вектора.
Няколко свойства на добавянето на два вектора следват от това правило:
За всеки вектор $ \ overrightarrow (a) $, равенството
\ [\ стрелка над правата (а) + \ стрелка над правата (0) = \ стрелка надясно (а) \]
За произволни точки $ A, \ B \ и \ C $, равенството
\ [\ стрелка надясно (AB) + \ стрелка надясно (BC) = \ стрелка надясно (AC) \]
Забележка 2
Подобно на правилото за триъгълник, можете да конструирате сумата от произволен брой вектори. Това правило за събиране се нарича правило за многоъгълници.
Правило на паралелограма
В допълнение към правилото за триъгълник за добавяне на два вектора, има и правило за паралелограма за добавяне на два вектора. Първо формулираме и доказваме следната теорема.
Теорема 2
За всеки три вектора $ \ overrightarrow (a), \ \ overrightarrow (b) \ и \ \ overrightarrow (c) $ следните два закона са верни:
- Закон за пътуване:
- Закон за комбиниране:
Доказателство.
Закон за пътуване:
Закон за комбиниране:
Нека построим следната фигура: Нека отделим вектора $ \ overrightarrow (AB) = \ overrightarrow (a) $ от произволна точка $ A $, от получената точка $ B $ - вектора $ \ overrightarrow (BC) = \ overrightarrow (b) $ и от точки $ C $ - вектор $ \ overrightarrow (CD) = \ overrightarrow (c) $ (фиг. 5).
Фигура 5. Илюстрация на закона за комбиниране
От свойството на правилото на триъгълника $ \ overrightarrow (AB) + \ overrightarrow (BC) = \ overrightarrow (AC) $, получаваме:
Следователно, $ \ left (\ overrightarrow (a) + \ overrightarrow (b) \ right) + \ overrightarrow (c) = \ overrightarrow (a) + \ left (\ overrightarrow (b) + \ overrightarrow (c) \ надясно) $.
Теоремата е доказана.
От тази теорема сега можем да извлечем правилото на паралелограма за сумата от два неколинеарни вектора: за да добавите два неколинеарни вектора $ \ overrightarrow (a) $ и $ \ overrightarrow (b) $, трябва да отложите вектори $ \ overrightarrow (AB ) = \ overrightarrow (a) $ и $ \ overrightarrow (AD) = \ overrightarrow (b) $ и построете паралелограм $ ABCD $. Тогава $ \ overrightarrow (a) + \ overrightarrow (b) = \ overrightarrow (AC) $.
Пример за задача за събиране на вектори
Пример 1
Даден е четириъгълник $ ABCD $. Докажете, че $ \ overrightarrow (AB) + \ overrightarrow (BC) + \ overrightarrow (CD) = \ overrightarrow (AD) $
Фигура 6.
Доказателство.
Нека използваме свойството на правилото за триъгълник $ \ overrightarrow (AB) + \ overrightarrow (BC) = \ overrightarrow (AC) $, получаваме:
\ [\ overrightarrow (AB) + \ overrightarrow (BC) + \ overrightarrow (CD) = \ overrightarrow (AC) + \ overrightarrow (CD) = \ overrightarrow (AD) \]
Как се добавят векторите не винаги е ясно за учениците. Децата нямат представа какво се крие зад тях. Просто трябва да запомните правилата, а не да размишлявате върху същността. Следователно, за принципите на събиране и изваждане на векторни величини са необходими много познания.
В резултат на добавяне на два или повече вектора винаги получавате още един. Освен това той винаги непременно ще бъде същият, независимо от приема на неговата констатация.
Най-често в училищния курс по геометрия се разглежда добавянето на два вектора. Може да се извърши по правилото на триъгълник или успоредник. Тези снимки изглеждат различно, но резултатът от действието е същият.
Как работи събирането на триъгълник?
Използва се, когато векторите не са колинеарни. Тоест те не лежат на една права линия или на успоредни.
В този случай е необходимо да се отложи първият вектор от произволна точка. От края му се изисква да се направи паралел и равен на втория. Резултатът е вектор, започващ в началото на първия и завършващ в края на втория. Рисунката прилича на триъгълник. Оттук и името на правилото.
Ако векторите са колинеарни, това правило също може да се приложи. Само чертежът ще бъде разположен по една линия.
Как се извършва събирането на паралелограм?
Още веднъж? се отнася само за неколинеарни вектори. Строителството се извършва по различен принцип. Въпреки че началото е същото. Необходимо е да се отложи първият вектор. И от началото си – вторият. На тяхна основа попълнете паралелограм и начертайте диагонал от началото на двата вектора. Това ще бъде резултатът. Ето как се добавят векторите според правилото на паралелограма.
Досега те са били две. Но какво ще стане, ако има 3 или 10 от тях? Използвайте следната техника.
Как и кога се прилага правилото за многоъгълници?
Ако трябва да извършите добавяне на вектори, чийто брой е повече от два, не бива да се плашите. Достатъчно е последователно да отложите всички тях и да свържете началото на веригата с нейния край. Този вектор ще бъде необходимата сума.
Какви свойства са валидни за действия върху вектори?
Относно нулевия вектор.Което твърди, че при добавяне към него се получава оригиналът.
Относно противоположния вектор.Тоест за такъв, който има обратна посока и стойност, равна по големина. Сумата им ще бъде нула.
Относно комутативността на събирането.Това, което се знае още от началното училище. Смяната на местата на термините не променя резултата. С други думи, няма значение кой вектор да се отложи първо. Отговорът все пак ще бъде верен и единствен.
Относно асоциативността на събирането.Този закон ви позволява да добавяте по двойки всякакви вектори от тройката и да добавяте трети към тях. Ако напишете това с помощта на знаци, получавате следното:
първи + (втори + трети) = втори + (първи + трети) = трети + (първи + втори).
Какво се знае за векторната разлика?
Няма отделна операция за изваждане. Това е така, защото по същество е допълнение. Само на втория от тях се дава обратна посока. И тогава всичко се прави така, сякаш се обмисля добавянето на вектори. Следователно те практически не говорят за тяхната разлика.
За да се опрости работата с тяхното изваждане, правилото за триъгълник е модифицирано. Сега (при изваждане) вторият вектор трябва да бъде отложен от началото на първия. Отговорът ще бъде този, който свързва крайната точка на изваденото с него. Въпреки че можете да отложите, както е описано по-рано, просто като промените посоката на втория.
Как да намеря сумата и разликата на векторите в координати?
В задачата са дадени координатите на векторите и трябва да разберете техните стойности за крайния. В този случай не е необходимо да се извършват конструкции. Тоест можете да използвате прости формули, които описват правилото за добавяне на вектори. Те изглеждат така:
a (x, y, z) + b (k, l, m) = c (x + k, y + l, z + m);
a (x, y, z) -b (k, l, m) = c (x-k, y-l, z-m).
Лесно е да се види, че координатите просто трябва да се добавят или изваждат, в зависимост от конкретната задача.
Първи пример с решение
Състояние. Даден е правоъгълник AVSD. Страните му са 6 и 8 см. Точката на пресичане на диагоналите е обозначена с буквата O. Необходимо е да се изчисли разликата между векторите AO и BO.
Решение. Първо трябва да нарисувате тези вектори. Те са насочени от върховете на правоъгълника към пресечната точка на диагоналите.
Ако погледнете отблизо чертежа, можете да видите, че векторите вече са подравнени, така че вторият от тях докосва края на първия. Но посоката му е грешна. Трябва да започне от тази точка. Това е, ако векторите се съберат, а в задачата - изваждане. Спри се. Това действие означава, че трябва да добавите вектор с противоположна посока. Това означава, че VO трябва да бъде заменен с OV. И се оказва, че двата вектора вече са образували двойка страни от правилото на триъгълника. Следователно резултатът от тяхното добавяне, тоест желаната разлика, е векторът AB.
И съвпада със страната на правоъгълника. За да запишете цифровия отговор, имате нужда от следното. Начертайте правоъгълник по дължина, така че по-голямата страна да върви хоризонтално. Започнете да номерирате върховете от долния ляв ъгъл и отидете обратно на часовниковата стрелка. Тогава дължината на вектора AB ще бъде 8 cm.
Отговор. Разликата между AO и AO е 8 cm.
Втори пример и неговото подробно решение
Състояние. В ромба AVSD диагоналите са 12 и 16 см. Точката на тяхното пресичане е обозначена с буквата O. Изчислете дължината на вектора, образуван от разликата между векторите AO и BO.
Решение. Нека обозначението на върховете на ромба е същото като в предишния проблем. Подобно на решението на първия пример, се оказва, че желаната разлика е равна на вектора AB. И дължината му е неизвестна. Решението на задачата се свежда до изчисляване на една от страните на ромба.
За тази цел ще трябва да вземете предвид триъгълника ABO. Той е правоъгълен, защото диагоналите на ромба се пресичат на 90 градуса. И краката му са равни на половината от диагоналите. Тоест 6 и 8 см. Търсената страна в задачата съвпада с хипотенузата в този триъгълник.
Намирането му изисква питагоровата теорема. Квадратът на хипотенузата ще бъде равен на сбора от числата 6 2 и 8 2. След квадратура получавате стойностите: 36 и 64. Сборът им е 100. От това следва, че хипотенузата е 10 cm.
Отговор. Разликата между векторите AO и VO е 10 cm.
Трети пример с подробно решение
Състояние. Изчислете разликата и сумата от два вектора. Техните координати са известни: първата има 1 и 2, втората има 4 и 8.
Решение. За да намерите сумата, трябва да добавите първата и втората координати по двойки. Резултатът ще бъде числата 5 и 10. Отговорът ще бъде вектор с координати (5; 10).
За разликата трябва да извадите координатите. След завършване на това действие ще бъдат получени числата -3 и -6. Те ще бъдат координатите на желания вектор.
Отговор. Сборът на векторите е (5; 10), разликата им е (-3; -6).
Четвърти пример
Състояние. Дължината на вектора AB е 6 см, BC - 8 см. Вторият е отделен от края на първия под ъгъл от 90 градуса. Изчислете: а) разликата между модулите на векторите BA и BC и модула на разликата между BA и BC; б) сумата от същите модули и модула на сбора.
Решение: а) Дължините на векторите вече са дадени в задачата. Следователно не е трудно да се изчисли тяхната разлика. 6 - 8 = -2. Ситуацията с модула на разликата е малко по-сложна. Първо трябва да разберете кой вектор ще бъде резултатът от изваждането. За тази цел трябва да се отложи векторът VA, който е насочен в посока, обратна на AB. След това начертайте BC вектора от неговия край, като го насочите в посока, противоположна на оригиналната. Резултатът от изваждането е CA векторът. Неговият модул може да се изчисли по питагоровата теорема. Простите изчисления водят до стойност от 10 cm.
б) Сборът от модулите на векторите е равен на 14 см. За намиране на втория отговор е необходима известна трансформация. Вектор BA е противоположно насочен към този, който е даден - AB. И двата вектора са насочени от една и съща точка. В тази ситуация можете да използвате правилото на паралелограма. Резултатът от добавянето ще бъде диагонал, а не просто успоредник, а правоъгълник. Диагоналите му са равни, което означава, че модулът на сбора е същият като в предишния параграф.
Отговор: а) -2 и 10 см; б) 14 и 10 см.
Добавянето на сили се извършва с помощта на векторното правило за събиране. Или така нареченото правило на паралелограма. Тъй като силата е изобразена като вектор, тоест това е сегмент, чиято дължина показва числова стойностсила, а посоката показва посоката на силата. Тоест, добавете сили, тоест вектори, като използвате геометрично сумиране на вектори.
От друга страна, събирането на сили е намиране на резултата на няколко сили. Тоест, когато тялото е засегнато от няколко различни сили... Различни както по размер, така и по посока. Необходимо е да се намери получената сила, която ще действа върху тялото като цяло. В този случай силите могат да се добавят по двойки, като се използва правилото на паралелограма. Първо, съберете двете сили. Добавяме още един към техния резултат. И така, докато всички сили се съберат.
Фигура 1 - Правило на паралелограма.
Правилото на паралелограма може да бъде описано по следния начин. За две сили, излизащи от една точка и имащи ъгъл между тях, различен от нула или 180 градуса. Можете да построите паралелограм. Чрез прехвърляне на началото на един вектор в края на друг. Диагоналът на този паралелограм ще бъде резултатът на тези сили.
Но можете също да използвате правилото за силов многоъгълник. В този случай се избира началната точка. Първият вектор на силата, действаща върху тялото, напуска тази точка, след което следващият вектор се добавя към края му, използвайки метода паралелен трансфер... И така, докато се получи многоъгълник на силата. В крайна сметка, резултатът от всички сили в такава система ще бъде вектор, изтеглен от началната точка до края на последния вектор.
Фигура 2 - Многоъгълник от сили.
В случай, че тялото се движи под действието на няколко сили, приложени към различни точки на тялото. Може да се счита, че се движи под действието на резултантната сила, приложена към центъра на масата на даденото тяло.
Наред със събирането на сили, за опростяване на изчисленията на движението, се използва и методът на разлагане на силите. Както подсказва името, същността на метода е, че една сила, действаща върху тялото, се разлага на съставните сили. В този случай съставните сили имат същия ефект върху тялото като първоначалната сила.
Разлагането на силите също се извършва по правилото на паралелограма. Те трябва да излязат от една и съща точка. От същата точка, от която се появява разлагащата се сила. Като правило, разложената сила се представя под формата на проекции върху перпендикулярни оси. Например, как силата на гравитацията и силата на триене, действащи върху прът, лежащ върху наклонена равнина.
Фигура 3 - Пръчка върху наклонена равнина.
