Повтарящите се движения или промени в състоянието се наричат трептения (променлив електрически ток, движение на махало, работа на сърцето и др.). Всички трептения, независимо от тяхното естество, имат определени общи модели. Трептенията се разпространяват в средата под формата на вълни. Тази глава се занимава с механични вибрации и вълни.
7.1. ХАРМОНИЧНИ ТРЕТЕНИЯ
Между различни видовефлуктуации най-простата форма е хармонично трептене,тези. такъв, при който осцилиращата стойност се променя с времето според закона на синуса или косинуса.
Нека, например, материална точка с маса токачени на пружина (фиг. 7.1, а). В това положение еластичната сила F 1 балансира силата на гравитацията mgАко пружината се издърпа на разстояние х(фиг. 7.1, б), след това нататък материална точкаще има голяма еластична сила. Промяната в еластичната сила, според закона на Хук, е пропорционална на промяната в дължината на пружината или преместването хточки:
F = -kh,(7.1)
където да се- твърдост на пружината; знакът минус показва, че силата винаги е насочена към положението на равновесие: Ф< 0 в х> 0, F > 0 в х< 0.
Друг пример.
Математическото махало се отклонява от положението на равновесие на малък ъгъл α (фиг. 7.2). Тогава траекторията на махалото може да се счита за права линия, съвпадаща с оста охВ този случай приблизителното равенство
където х- изместване на материална точка спрямо равновесното положение; ле дължината на струната на махалото.
Материална точка (виж фиг. 7.2) се влияе от силата на опън F H на нишката и силата на гравитацията mgТехният резултат е:
Сравнявайки (7.2) и (7.1), виждаме, че в този пример резултантната сила е подобна на еластичната, тъй като е пропорционална на изместването на материалната точка и е насочена към положението на равновесие. Такива сили, които са нееластични по природа, но подобни по свойства на сили, възникващи от незначителни деформации на еластични тела, се наричат квазиеластични.
По този начин материална точка, окачена върху пружина (пружинно махало) или нишка (математическо махало), извършва хармонични трептения.
7.2. КИНЕТИЧНА И ПОТЕНЦИАЛНА ЕНЕРГИЯ НА ВИБРАЦИОННОТО ДВИЖЕНИЕ
Кинетичната енергия на осцилиращата материална точка може да бъде изчислена от добре позната формула, използвайки израз (7.10):
7.3. ДОБАВАНЕ НА ХАРМОНИЧНИ ТРЕТЕНИЯ
Една материална точка може едновременно да участва в няколко трептения. В този случай, за да се намери уравнението и траекторията на полученото движение, трябва да се добавят вибрациите. Най-простото е добавянето хармонични вибрации.
Нека разгледаме два такива проблема.
Добавяне на хармонични трептения, насочени по една права линия.
Нека материалната точка едновременно участва в две трептения, възникващи по една линия. Аналитично тези флуктуации се изразяват със следните уравнения:
тези. амплитудата на полученото трептене е равна на сумата от амплитудите на членовете на трептенията, ако разликата в началните фази е равна на четно число π (фиг. 7.8, а);
тези. амплитудата на полученото трептене е равна на разликата в амплитудите на членовете на трептенията, ако разликата в началните фази е равна на нечетно число π (фиг. 7.8, б). По-специално, за A 1 = A 2 имаме A = 0, т.е. няма флуктуация (фиг. 7.8, в).
Това е съвсем очевидно: ако материална точка едновременно участва в две трептения с еднаква амплитуда и протичащи в противофаза, точката е неподвижна. Ако честотите на добавените трептения не са еднакви, тогава комплексното трептене вече няма да бъде хармонично.
Интересен случай е, когато честотите на осцилационните термини се различават малко една от друга: ω 01 и ω 02
Полученото трептене е подобно на хармоничното, но с бавно променяща се амплитуда (амплитудна модулация). Такива флуктуации се наричат бие(фиг. 7.9).
Добавяне на взаимно перпендикулярни хармонични вибрации.Нека материалната точка едновременно участва в две трептения: едното е насочено по оста о,другият е по оста OY.Трептенията се дават от следните уравнения:
Уравнения (7.25) определят траекторията на материална точка в параметрична форма. Ако заместим в тези уравнения различни значения т,координатите могат да се определят хИ y,а наборът от координати е траекторията.
Така при едновременно участие в две взаимно перпендикулярни хармонични трептения с една и съща честота материална точка се движи по елиптична траектория (фиг. 7.10).
Някои специални случаи следват от израза (7.26):
7.4. ТРУДНА ВИБРАЦИЯ. ХАРМОНИЧЕН СПЕКТЪР НА Сложно трептене
Както може да се види от 7.3, добавянето на вибрации води до по-сложни вълнови форми. За практически цели може да е необходима обратна операция: разлагане на сложно трептене на прости, обикновено хармонични трептения.
Фурие показа, че периодична функция с всякаква сложност може да бъде представена като сума от хармонични функции, чиито честоти са кратни на честотата на сложна периодична функция. Такова разлагане на периодична функция в хармонични и следователно разлагането на различни периодични процеси (механични, електрически и др.) в хармонични трептения се нарича хармоничен анализ. Има математически изрази, които ви позволяват да намерите компонентите на хармоничните функции. Автоматичният хармоничен анализ на колебанията, включително за медицински цели, се извършва от специални устройства - анализатори.
Нарича се съвкупността от хармонични трептения, на които се разлага комплексно трептене хармоничен спектър на комплексно трептене.
Удобно е хармоничният спектър да се представи като набор от честоти (или кръгови честоти) на отделните хармоници заедно със съответните им амплитуди. Най-визуалното представяне на това е направено графично. Като пример, на фиг. 7.14 са показани графики на комплексно трептене (крива 4) и съставните му хармонични трептения (криви 1, 2 и 3); на фиг. 7.14b показва хармоничния спектър, съответстващ на този пример.
Ориз. 7.14b
Хармоничният анализ ви позволява да опишете и анализирате всеки сложен осцилаторен процес достатъчно подробно. Намира приложение в акустиката, радиотехниката, електрониката и други области на науката и технологиите.
7.5. ЗАТИХВАЩИ ТРЕТЕНИЯ
При изучаване на хармонични трептения силите на триене и съпротивление, които съществуват в реалните системи, не бяха взети предвид. Действието на тези сили значително променя естеството на движението, трептенето става затихване.
Ако освен квазиеластична сила, в системата действат и съпротивителните сили на средата (силите на триене), тогава вторият закон на Нютон може да бъде записан по следния начин:
Скоростта на намаляване на амплитудата на трептене се определя от коефициент на затихване:колкото по-голямо е β, толкова по-силен е забавящият ефект на средата и толкова по-бързо намалява амплитудата. На практика обаче степента на затихване често се характеризира с логаритмичен декремент на затихване,което означава стойност, равна на естествения логаритъм на съотношението на две последователни амплитуди на трептене, разделени от интервал от време, равен на периода на трептене:
При силно затихване (β 2 >> ω 2 0) от формула (7.36) става ясно, че периодът на трептене е въображаема величина. Движението в този случай вече се нарича апериодичен 1.Възможните апериодични движения са представени под формата на графики на фиг. 7.16. Този случай се отнася за електрически явленияразгледани по-подробно в гл. осемнадесет.
Незатихнати (виж 7.1) и затихнали трептения се наричат собствен или Безплатно. Те възникват поради първоначалното изместване или началната скорост и възникват при липса на външно влияниеот първоначално натрупаната енергия.
7.6. ПРИНУДИТЕЛНИ ВИБРАЦИИ. РЕЗОНАНС
Принудителни вибрации се наричат трептения, които възникват в системата с участието на външна сила, която се променя по периодичен закон.
Да приемем, че освен квазиеластична сила и силата на триене, върху материалната точка действа външна движеща сила:
1 Обърнете внимание, че ако някаква физическа величина придобие въображаеми стойности, това означава някакъв необичаен, изключителен характер на съответното явление. В разглеждания пример необикновеното е, че процесът престава да бъде периодичен.
От (7.43) се вижда, че при липса на съпротивление (β=0) амплитудата на принудителното трептене при резонанс е безкрайно голяма. Освен това от (7.42) следва, че ω res = ω 0 - резонанс в системата без затихване възниква, когато честотата на движещата сила съвпада с честотата на собствените трептения. Графичната зависимост на амплитудата на принудителните трептения от кръговата честота на движещата сила за различни стойности на коефициента на затихване е показана на фиг. 7.18.
Механичният резонанс може да бъде както полезен, така и вреден. Вредният ефект на резонанса се дължи главно на разрушаването, което той може да причини. Така че в технологията, като се вземат предвид различни вибрации, е необходимо да се предвиди възможното възникване на резонансни условия, в противен случай може да има разрушения и катастрофи. Телата обикновено имат няколко естествени вибрационни честоти и съответно няколко резонансни честоти.
Ако коефициентът на затихване на вътрешните органи на човек беше малък, тогава резонансните явления, възникнали в тези органи под въздействието на външни вибрации или звукови вълни, биха могли да доведат до трагични последици: разкъсване на органи, увреждане на връзките и др. Такива явления обаче практически не се наблюдават при умерени външни влияния, тъй като коефициентът на затихване на биологичните системи е доста голям. Въпреки това се появяват резонансни явления под действието на външни механични вибрации вътрешни органи. Това, очевидно, е една от причините за отрицателното въздействие на инфразвуковите вибрации и вибрации върху човешкото тяло (виж 8.7 и 8.8).
7.7. АВТОМАТИЧНИ ОСЦИЛАЦИИ
Както е показано в 7.6, трептенията могат да се поддържат в система дори при наличие на сили на съпротивление, ако системата периодично е подложена на външно въздействие (принудителни трептения). Това външно влияние не зависи от самата трептяща система, докато амплитудата и честотата на принудителното трептене зависят от това външно влияние.
Съществуват обаче и такива осцилаторни системи, които сами по себе си регулират периодичното попълване на изразходвана енергия и следователно могат да се колебаят дълго време.
Незатихващите трептения, които съществуват във всяка система при липса на променливо външно влияние, се наричат автоколебания, а самите системи се наричат автоосцилаторни.
Амплитудата и честотата на собствените трептения зависят от свойствата на самата автоколебателна система; за разлика от принудителните трептения, те не се определят от външни влияния.
В много случаи автоколебателните системи могат да бъдат представени от три основни елемента:
1) действителната осцилаторна система;
2) източник на енергия;
3) регулатор на подаване на енергия към действителната осцилаторна система.
Осцилираща система по канал обратна връзка(фиг. 7.19) действа върху регулатора, като информира регулатора за състоянието на тази система.
Класически пример за механична самоосцилираща система е часовник, в който махало или везна е осцилаторна система, пружина или повдигната тежест е източник на енергия, а котвата е регулатор на енергийното захранване от източника към осцилаторната система.
много биологични системи(сърце, бели дробове и др.) са самоосцилиращи. Типичен примерелектромагнитна самоосцилираща система - генератори електромагнитни трептения(виж гл. 23).
7.8. УРАВНЕНИЕ НА МЕХАНИЧНИТЕ ВЪЛНИ
Механичната вълна е механично смущение, което се разпространява в пространството и носи енергия.
Има два основни типа механични вълни: еластични вълни - разпространението на еластични деформации - и вълни върху повърхността на течност.
Еластични вълни възникват поради връзките, съществуващи между частиците на средата: движението на една частица от равновесното положение води до движението на съседни частици. Този процес се разпространява в пространството с ограничена скорост.
Вълновото уравнение изразява зависимостта на преместването сосцилираща точка, участваща във вълновия процес, върху координатата на нейното равновесно положение и времето.
За вълна, разпространяваща се в определена посока OX, тази зависимост се записва в общия вид:
Ако сИ хнасочени по една права линия, след това вълната надлъжно,ако са взаимно перпендикулярни, тогава вълната напречен.
Нека изведем уравнението на плоската вълна. Нека вълната се разпространява по оста х(фиг. 7.20) без затихване, така че амплитудите на трептене на всички точки да са еднакви и равни на A. Нека зададем трептене на точка с координата х= 0 (източник на трептене) по уравнението
Решаването на частни диференциални уравнения е извън обхвата на този курс. Едно от решенията (7.45) е известно. Важно е обаче да се отбележи следното. Ако промяна в която и да е физическа величина: механична, термична, електрическа, магнитна и др., съответства на уравнение (7.49), това означава, че съответната физическа величина се разпространява под формата на вълна със скорост υ.
7.9. ПОТОК НА ВЪЛНА ЕНЕРГИЯ. UMOV ВЕКТОР
Вълновият процес е свързан с преноса на енергия. Количествената характеристика на пренесената енергия е енергийният поток.
Вълнов енергиен поток е равно на съотношениетоенергия, пренесена от вълни през някаква повърхност до времето, през което тази енергия се пренася:
Единицата за вълновия енергиен поток е ват(W). Нека намерим връзката между потока на вълновата енергия и енергията на осцилиращите точки и скоростта на разпространение на вълната.
Отделяме обема на средата, в която вълната се разпространява под формата на правоъгълен паралелепипед (фиг. 7.21), площта на напречното сечение на която е S, а дължината на ръба е числено равна до скоростта υ и съвпада с посоката на разпространение на вълната. В съответствие с това, за 1 s през областта Сенергията, която осцилиращите частици притежават в обема на паралелепипед, ще премине Sυ.Това е потокът на вълновата енергия:
7.10. УДАРНИ ВЪЛНИ
Един често срещан пример за механична вълна е звукова вълна(виж гл. 8). В такъв случай максимална скороствибрациите на отделна въздушна молекула са няколко сантиметра в секунда дори при достатъчно висок интензитет, т.е. тя е много по-малка от скоростта на вълната (скоростта на звука във въздуха е около 300 m/s). Това съответства, както се казва, на малки смущения на средата.
Въпреки това, при големи смущения (експлозия, свръхзвуково движение на тела, мощен електрически разряд и др.), скоростта на осцилиращите частици на средата вече може да стане сравнима със скоростта на звука и възниква ударна вълна.
По време на експлозията силно нагрятите продукти с висока плътност се разширяват и компресират слоевете на околния въздух. С течение на времето обемът на сгъстен въздух се увеличава. Повърхността, която разделя сгъстен въздух от невъзмутен въздух, се нарича във физиката ударна вълна.Схематично скокът в плътността на газа по време на разпространението на ударна вълна в него е показан на фиг. 7.22 а. За сравнение, същата фигура показва промяната в плътността на средата по време на преминаване на звукова вълна (фиг. 7.22, б).
Ориз. 7.22
Ударната вълна може да има значителна енергия, така че кога ядрена експлозиядо образуването на ударна вълна в заобикаляща средаизразходва се около 50% от енергията на експлозията. Следователно ударната вълна, достигаща до биологични и технически обекти, е способна да причини смърт, нараняване и разрушение.
7.11. ДОПЛЕР ЕФЕКТ
Ефектът на Доплер е промяна в честотата на вълните, възприемани от наблюдателя (приемник на вълни) поради относителното движение на източника на вълни и наблюдателя.
Тема: Разпространение на трептения в среда. Вълни.
Физика. 9 клас
Цел: Да запознае учениците с вълново движение, разгледайте неговите характеристики, механизъм
разпространение на вълната.
задачи:
образователни: задълбочаване на знанията за видовете осцилаторни движения, като се използва връзката на физиката
с литература, история, математика; формиране на понятия за движение на вълните,
механична вълна, вид вълни, тяхното разпространение в еластична среда;
развиване: развитие на умения за сравняване, систематизиране, анализиране, извеждане на изводи;
образователни: възпитание на общуване.
Дидактически тип урок: Усвояване на нов материал.
Оборудване: Лаптоп, мултимедиен проектор, видео клип - вълни на пружина, презентация
PowerPoint
Към урока.
По време на часовете:
I. Проверка на знания и умения.
1. Отговорете на въпроси.
Прочетете внимателно изреченията. Определете дали са възможни свободни вибрации:
плуват на повърхността на водата; тела в прокопан канал Земята; птици на клон;
топка върху плоска повърхност; топка в сферична дупка; човешки ръце и крака; спортист на
батут; игли в шевна машина.
Коя кола, натоварена или разтоварена, ще зачести
флуктуации?
Има два вида часовници. Някои се основават на колебанията на натоварването върху пръта, други се основават на натоварването върху
пролетта. Как може да се регулира честотата на всеки часовник?
Мостът Tacoma Narrous в Америка се люлееше и се срутваше от време на време пориви на вятъра.
Обясни защо?
2. Решаване на проблеми.
Учителят предлага да се изпълни компетентностно ориентирана задача, структура и съдържание
който е представен по-долу.
Стимул: Оценете съществуващите знания по темата "Механични вибрации".
Формулиране на задачата: В рамките на 5 минути, като използвате дадения текст, определете честотата и
период на свиване на човешкото сърце. Запишете данните, които няма да можете да използвате при вземането на решение
задачи.
Общата дължина на кръвоносните капиляри в човешкото тяло е около 100 хиляди км, което е 2,5 пъти
надвишава дължината на екватора, а общата вътрешна площ е 2400 m2. Кръвоносните капиляри имат
10 пъти по-тънка от косата. В рамките на една минута сърцето изхвърля около 4 литра в аортата.
кръв, която след това се придвижва до всички точки на тялото. Сърцето бие средно 100 000 удара.
веднъж дневно. За 70 години човешки живот сърцето се свива 2 милиарда 600 милиона пъти и
изпомпва 250 милиона пъти.
Формуляр за задачата:
1. Данни, необходими за определяне на периода и честотата на сърдечната контракция:
но) ___________; б) _________
Формула за изчисление: ______________
Изчисления _______________
=________; T=_____________
ν
2. Допълнителни данни
но) ___________
б) ___________
в) ___________
Ж) ___________
Отговор на модела:
Данни, необходими за определяне на периода и честотата на сърдечната контракция:
а) Брой контракции N=100000; б) Време на свиване t=1 ден.
ν
c1; T=1/1.16=0.864 s
Формула за изчисление: =ν N/t; T=1/ν
Изчисления =100000/(24*3600)=1,16
=1,16
c1; Т=0,864 s.
ν
Или а) Брой контракции N=2600000000; б) Време на контракции t=70 години. Но тези данни
водят до по-сложни изчисления и следователно са ирационални.
излишни данни
а) Обща дължина кръвоносни съдове- 100 хил. км
б) обща вътрешна площ - 2400 м2
в) В рамките на една минута сърцето изхвърля около 4 литра кръв в кръвта.
г) Дебелината на кръвоносните съдове е 10 пъти по-малка от дебелината на косъма.
Поле за отговор на модела
Избрани данни за определяне на честотата и периода на свиване на сърцето.
Дадени са формули за изчисление.
Изчисленията са направени и е даден верният отговор.
Излишната информация е премахната от текста.
Инструмент
оценки
отговор
1
1
1
1
II.
Обяснение на нов материал.
Всички частици на средата са свързани помежду си от силите на взаимното привличане и отблъскване, т.е.
взаимодействат помежду си. Следователно, ако поне една частица се отстрани от равновесното положение
(накарайте го да осцилира), тогава той ще издърпа близката частица заедно с нея (благодарение на
взаимодействие между частиците, това движение започва да се разпространява във всички посоки). Така
Така вибрациите ще се предават от една частица на друга. Такова движение се нарича вълна.
Механична вълна (вълново движение) е разпространението на трептения в ластик
заобикаляща среда.
Трептенията, разпространяващи се в пространството с времето, се наричат вълни.
или
IN това определение говорим сиза така наречените пътуващи вълни.
Основен обща собственостпътуващите вълни от всякакво естество се състоят в разпространение в
пространство, пренасят енергия, но без пренасяне на материя.
При пътуваща вълна енергията се пренася без пренасяне на материя.
В тази тема ще разгледаме само еластични пътуващи вълни, частен случай на които
е звукът.
Еластични вълни са механични смущения, които се разпространяват в еластична среда.
С други думи, образуването на еластични вълни в среда се дължи на появата на еластични сили в нея,
причинени от деформация.
В допълнение към еластичните вълни има и други видове вълни, например вълни на повърхността на течност,
електромагнитни вълни.
Вълнови процеси се срещат в почти всички области на физическите явления, така че тяхното изследване
е от голямо значение.
Има два вида вълново движение: напречно и надлъжно.
Напречна вълна - частиците се осцилират (движат) перпендикулярно на (напречно) скоростта
разпространение на вълната.
Примери: вълна от хвърлен камък ...
Надлъжна вълна - частиците трептят (движат се) успоредно на скоростта на разпространение
вълни.
Примери: звукови вълни, цунами...
механични вълни
Пружина на шнура
напречен
надлъжна
напречни вълни.
надлъжни вълни.
Появява се еластична деформация на срязване.
обем на тялото
не се променя.
Еластични сили са склонни да връщат тялото към
начална позиция. Тези сили причиняват
колебания на околната среда.
Изместването на слоевете един спрямо друг в
течност и газ не води до появата
еластични сили, следователно
само в твърди вещества.
Възникват по време на деформация на натиск.
В твърдото тяло възникват еластични сили
тела, течности и газове. Тези сили
причиняват колебания в отделните участъци
среда, следователно, са разпределени във всички
среди.
В твърди тела скоростта на разпространение
Повече ▼.
III.
Поправяне:
1. Интересни задачи.
а) През 1883г. По време на прословутото изригване на индонезийския вулкан Кракатау, въздушно
вълни, генерирани от подземни експлозии, обиколиха земното кълбо три пъти.
Какъв тип вълни са ударна вълна? (Към надлъжни вълни).
б) Цунамито е страхотен спътник на земетресенията. Това име е родено в Япония и означава
гигантска вълна. Когато се изтъркулва на брега, изглежда, че това изобщо не е вълна, а
морето, яростно, неукротимо, се втурва на брега. Не е изненадващо, че цунамито
произвеждат хаос върху него. По време на земетресението от 1960 г. те се втурват към бреговете на Чили
вълни с височина до шест метра. Морето се отдръпна и напредна няколко пъти през втория
половин ден.
Какъв тип вълни са цунами? Каква е амплитудата на цунамито от 1960 г., което удари
Чили? (Цунами се отнасят за
вълната е 3 m).
(илюстрация на цунами:
надлъжни вълни. Амплитуда
http://ru.wikipedia.org/wiki/Image:2004_Indian_Ocean_earthquake_Maldives_tsunami_wave.jpg
в) Разривите са признаци на малки вълни. Те съществуват на земята от появата на свободно течащите
среда - сняг и пясък. Техните отпечатъци се намират в древни геоложки пластове (понякога заедно с
следи от динозаври). Първо научни наблюдениянад пушките са направени от Леонардо да Винчи. IN
в пустините разстоянието между съседните гребени на вълни се измерва от 112 см (обикновено 38 см)
със средна дълбочина на вдлъбнатините между хребетите 0,31 cm.
Ако приемем, че гофрите са вълна, определете амплитудата на вълната (0,150,5 cm).
Илюстрация на пушка:
http://rusnauka.narod.ru/lib/phisic/destroy/gl7/image246.gif
2. физически опит. Индивидуална работа.
Учителят кани учениците да изпълнят компетентностно ориентирана задача, структура и
чието съдържание е представено по-долу
Стимул: оценете усвоените знания по темата „Вълново движение”.
Формулиране на задачата: използване на дадените устройства и знанията, придобити в урока,
дефинирай:
какви вълни се образуват на повърхността на вълната;
каква е формата на фронта на вълната от точков източник;
Движат ли се частиците на вълната в посоката на разпространение на вълната?
направете заключение за особеностите на вълновото движение.
Оборудване: чаша от калориметър, пипета или бюретка, стъклена тръба, кибрит.
Вълните, които се образуват на повърхността на водата са __________
Вълните на повърхността на водата имат формата на _________
Кибрит, поставен на повърхността на водата по време на разпространението на вълна, ___________
Формуляр за изпълнение на задачата
Характеристика на вълновото движение _________________
Поле за отговор на модела
Инструмент за оценка
отговор
Вълните, които се образуват на повърхността на водата, са напречни.
Вълните на повърхността на водата имат формата на кръг.
Кибрит, поставен на повърхността на водата по време на разпространението на вълна, не го прави
ходове.
Характеристика на вълновото движение - по време на вълново движение не се случва
изместване на материята по посоката на разпространение на вълната.
Обща сума
III.
Домашна работа: §31, 32
1
1
1
2
5
http://schoolcollection.edu.ru/catalog/rubr/8f5d721086a611daa72b0800200c9a66/21674/
Нека започнем с определението за еластична среда. Както подсказва името, еластичната среда е среда, в която действат еластични сили. Във връзка с нашите цели добавяме, че при всяко нарушаване на тази среда (не емоционална насилствена реакция, а отклонение на параметрите на средата на някое място от равновесието) в нея възникват сили, стремящи се да върнат нашата среда в нейното първоначално равновесно състояние. При това ще разгледаме разширените медии. Ще уточним колко време е това в бъдеще, но засега ще считаме, че това е достатъчно. Например, представете си дълга пружина, фиксирана в двата края. Ако няколко намотки са компресирани на някое място на пружината, тогава компресираните намотки ще имат тенденция да се разширяват, а съседните намотки, които се оказаха разтегнати, ще имат тенденция да се компресират. Така нашата еластична среда - пружината ще се опита да се върне в първоначалното си спокойно (невъзмутимо) състояние.
Газовете, течностите, твърдите тела са еластични среди. Важен в предишния пример е фактът, че компресираната секция на пружината действа върху съседни секции или, научно казано, предава смущение. По същия начин, в газ, създавайки на някакво място, например, зона намалено налягане, съседните региони, опитвайки се да изравнят натиска, ще предадат смущението на своите съседи, които от своя страна на техните и т.н.
Няколко думи за физически величини. В термодинамиката, като правило, състоянието на тялото се определя от параметрите, общи за цялото тяло, налягането на газа, неговата температура и плътност. Сега ще се интересуваме от местното разпределение на тези количества.
Ако осцилиращо тяло (струна, мембрана и т.н.) се намира в еластична среда (газът, както вече знаем, е еластична среда), то привежда частиците на средата в контакт с него в осцилаторно движение. В резултат на това възникват периодични деформации (например компресия и разреждане) в елементите на средата, съседни на тялото. При тези деформации в средата се появяват еластични сили, които се стремят да върнат елементите на средата в първоначалните им състояния на равновесие; поради взаимодействието на съседни елементи на средата, еластичните деформации ще се прехвърлят от някои части на средата към други, по-отдалечени от осцилиращото тяло.
По този начин периодичните деформации, причинени на някое място на еластична среда, ще се разпространяват в средата с определена скорост, в зависимост от нейната физични свойства. В този случай частиците на средата извършват осцилаторни движения около равновесните позиции; само състоянието на деформация се предава от една част на средата в друга.
Когато рибата „кълве” (дърпа куката), кръговете се разпръскват от плувката по повърхността на водата. Заедно с поплавъка се изместват водните частици в контакт с него, които включват други най-близки до тях частици и т.н.
Същото явление се получава и с частиците на разтегнато гумено въже, ако един от краищата му се приведе в трептене (фиг. 1.1).
Разпространението на трептения в среда се нарича вълново движение.Нека разгледаме по-подробно как възниква вълна върху шнур. Ако фиксираме позицията на шнура на всеки 1/4 T (T е периодът, с който ръката трепти на фиг. 1.1) след началото на трептенията на първата й точка, тогава получаваме картината, показана на фиг. 1.2, бл. Позиция a съответства на началото на трептенията на първата точка на шнура. Десетте му точки са маркирани с цифри, а пунктираните линии показват къде се намират едни и същи точки от шнура в различни моменти от времето.
След 1/4 T след началото на трептенето, точка 1 заема най-високата позиция, а точка 2 едва започва да се движи. Тъй като всяка следваща точка на шнура започва своето движение по-късно от предишната, тогава в интервала 1-2 точки се намират, както е показано на фиг. 1.2, б. След още 1/4 T точка 1 ще заеме равновесно положение и ще се премести надолу, а точка 2 ще заеме горната позиция (позиция c). Точка 3 в този момент тепърва започва да се движи.
За цял период трептенията се разпространяват до точка 5 на шнура (позиция e). В края на периода T точка 1, движеща се нагоре, ще започне второто си трептене. В същото време точка 5 също ще започне да се движи нагоре, правейки първото си трептене. В бъдеще тези точки ще имат същите фази на трептене. Наборът от точки на шнура в интервала 1-5 образува вълна. Когато точка 1 завърши второто трептене, точки 5-10 ще участват в движението по кабела, т.е. образува се втора вълна.
Ако проследим положението на точките, които имат една и съща фаза, ще се види, че фазата сякаш преминава от точка на точка и се движи надясно. Всъщност, ако точка 1 има фаза 1/4 в позиция b, то точка 2 има фаза 1/4 в позиция b и т.н.
Вълните, при които фазата се движи с определена скорост, се наричат пътуващи вълни. При наблюдение на вълни се вижда именно разпространението на фазата, например движението на гребена на вълната. Обърнете внимание, че всички точки на средата във вълната осцилират около своето равновесно положение и не се движат заедно с фазата.
Процесът на разпространение на осцилаторно движение в среда се нарича вълнов процес или просто вълна..
В зависимост от естеството на получените еластични деформации се разграничават вълни надлъжнаИ напречен. При надлъжните вълни частиците на средата трептят по линия, съвпадаща с посоката на разпространение на трептенията. При напречните вълни частиците от средата трептят перпендикулярно на посоката на разпространение на вълната. На фиг. 1.3 показва разположението на частиците на средата (условно изобразени като тирета) в надлъжни (а) и напречни (б) вълни.
Течните и газообразните среди нямат еластичност на срязване и затова в тях се възбуждат само надлъжни вълни, които се разпространяват под формата на редуващи се компресии и разреждане на средата. Вълните, възбудени на повърхността на огнището, са напречни: те дължат своето съществуване на земната гравитация. В твърди тела, както надлъжни, така и напречни вълни; определен тип напречна воля са усукващи, възбудени в еластични пръти, към които се прилагат усукващи вибрации.
Да предположим, че точковият източник на вълната е започнал да възбужда трептения в средата в момента на времето т= 0; след време ттова трептене ще се разпространява в различни посоки на разстояние r и =c i t, където с iе скоростта на вълната в тази посока.
Повърхността, до която достига трептенето в даден момент от време, се нарича вълнов фронт.
Ясно е, че фронтът на вълната (фронт на вълната) се движи с времето в пространството.
Формата на фронта на вълната се определя от конфигурацията на източника на трептене и свойствата на средата. В хомогенни среди скоростта на разпространение на вълната е еднаква навсякъде. Сряда се нарича изотропенако скоростта е еднаква във всички посоки. Фронтът на вълната от точков източник на трептения в хомогенна и изотропна среда има формата на сфера; такива вълни се наричат сферична.
В нехомогенна и неизотропна ( анизотропен) среда, както и от неточкови източници на трептения, вълновият фронт има сложна форма. Ако фронтът на вълната е равнинен и тази форма се поддържа, докато трептенията се разпространяват в средата, тогава вълната се нарича апартамент. Малки участъци от фронта на вълната със сложна форма могат да се считат за плоска вълна (само ако вземем предвид къси разстоянияпреминава през тази вълна).
При описване на вълнови процеси се отделят повърхности, в които всички частици осцилират в една и съща фаза; тези "повърхности от една и съща фаза" се наричат вълна или фаза.
Ясно е, че фронтът на вълната е предната вълнова повърхност, т.е. най-отдалечен от източника, който създава вълните, а вълновите повърхности също могат да бъдат сферични, плоски или със сложна форма, в зависимост от конфигурацията на източника на вибрации и свойствата на средата. На фиг. 1.4 условно показани: I - сферична вълна от точков източник, II - вълна от осцилираща плоча, III - елиптична вълна от точков източник в анизотропна среда, в която скоростта на разпространение на вълната отварира плавно с увеличаване на ъгъла α, достигайки максимум по посока AA и минимум по BB.
Механичните трептения, разпространяващи се в еластична среда (твърда, течна или газообразна), се наричат механични или еластични вълни.
Процесът на разпространение на трептения в континуумсе нарича вълнов процес или вълна. Частиците от средата, в която се разпространява вълната, не участват от вълната в транслационно движение. Те се колебаят само около своите равновесни позиции. Заедно с вълната от частицата към частицата на средата се пренасят само състоянието на осцилаторното движение и нейната енергия. Ето защо основното свойство на всички вълни, независимо от тяхната природа, е преносът на енергия без пренасяне на материя.
В зависимост от посоката на трептения на частиците по отношение на
към посоката, в която се разпространява вълната про-
долинаИ напреченвълни.
еластична вълнаНаречен надлъжна, ако трептенията на частиците на средата възникват в посока на разпространение на вълната. Надлъжните вълни са свързани с обемно напрежение на опън - компресия на средата, така че те могат да се разпространяват както в твърди тела, така и в
в течности и газообразни среди.
хдеформации на срязване. Само твърди тела имат това свойство.
λ На фиг. 6.1.1 представя хармонията
зависимостта на изместването на всички частици на средата от разстоянието до източника на трептения в този моментвреме. Нарича се разстоянието между най-близките частици, които осцилират в една и съща фаза дължина на вълната.Дължината на вълната също е равна на разстоянието, на което се разпространява определена фаза на трептене през периода на трептене
Не само частиците, разположени по оста 0, осцилират х, но набор от частици, затворени в определен обем. Геометричен локус на точките, до които достигат флуктуациите към момента на времето т, е наречен вълнов фронт. Фронтът на вълната е повърхността, която отделя частта от пространството, която вече участва във вълновия процес, от областта, в която все още не са възникнали трептения. Местоположението на точките, осцилиращи в една и съща фаза, се нарича вълнова повърхност. Вълновата повърхност може да бъде начертана през всяка точка в пространството, покрито от вълновия процес. Вълновите повърхности могат да бъдат с всякаква форма. В най-простите случаи те имат формата на равнина или сфера. Съответно вълната в тези случаи се нарича плоска или сферична. При плоска вълна вълновите повърхности са набор от равнини, успоредни една на друга, а при сферична вълна те са набор от концентрични сфери.
Равно вълново уравнение
Уравнението на плоската вълна е израз, който дава изместването на осцилиращата частица като функция на нейните координати х, г, zи времето т
| С=С(х,г,z,т). | (6.2.1) |
Тази функция трябва да бъде периодична по отношение на времето т, както и по отношение на координатите х, г, z. Периодичността във времето следва от факта, че изместването Сописва трептения на частица с координати х, г, z, а периодичността в координатите следва от факта, че точките, разположени една от друга на разстояние, равно на дължината на вълната, осцилират по същия начин.
Да приемем, че трептенията са хармонични по природа и оста 0 хсъвпада с посоката на разпространение на вълната. Тогава вълновите повърхности ще бъдат перпендикулярни на оста 0 хи тъй като всичко
точките на вълновата повърхност се осцилират по същия начин, преместването Сще зависи само от координатата хи времето т
Нека намерим вида на трептене на точките в равнината, съответстващ на произволна стойност х. За да мине пътя от самолета х= 0 към равнината х, вълната се нуждае от време τ = х/υ. Следователно, трептения на частици, лежащи в равнина х, ще изостава във времето с τ колебания на частиците в равнината х= 0 и се описва с уравнението
| С(х;т)=А cosω( т− τ)+ϕ | = А cos | ω т − | х | +ϕ | . (6.2.4) | |||||
| υ |
където НОе амплитудата на вълната; ϕ 0 − начална фазавълни (определя се от избора на произход хИ т).
Нека фиксираме някаква стойност на фазата ω( т − хυ) +ϕ 0 = const .
Този израз определя връзката между времето ти това място х, при което фазата има фиксирана стойност. Разграничавайки този израз, получаваме
Нека дадем уравнението на плоска вълна, симетрична по отношение на
ефективно хИ тизглед. За да направите това, въвеждаме стойността к= 2 λ π , което се нарича
etsya вълново число, което може да бъде представено като
Приехме, че амплитудата на трептене не зависи от х. За плоска вълна това се наблюдава, когато енергията на вълната не се абсорбира от средата. Когато се разпространява в поглъщаща енергия среда, интензитетът на вълната постепенно намалява с разстояние от източника на трептения, т.е. наблюдава се затихване на вълната. В хомогенна среда такова затихване се случва експоненциално
закон А = А 0 д −β х. Тогава уравнението на плоската вълна за поглъщаща среда има формата
където r r е радиус вектор, вълнови точки; к = к ⋅нр- вълнов вектор; н r е единичният вектор на нормалата към повърхността на вълната.
вълнов векторе вектор, равен по абсолютна стойност на вълновото число ки с посоката на нормалата към повърхността на вълната върху-
| Наречен. | |||
| Да преминем от радиус вектора на точка към нейните координати х, г, z | |||
| r | r | (6.3.2) | |
| к | ⋅r=k x x+k y y+k z z. | ||
| Тогава уравнението (6.3.1) приема формата | |||
| С(х,г,z;т)=А cos(ω т−k x x−k y y−k z z+ϕ 0). | (6.3.3) |
Нека установим формата на вълновото уравнение. За да направим това, намираме вторите частни производни по отношение на координати и време, изразът (6.3.3)
| ∂ 2 С | r | r | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂т | = −ω А cos | (ω т − к ⋅ r | +ϕ 0) = −ω С; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂ 2 С | r | r | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂х | = − k x A cos(ω т − к | ⋅r | +ϕ 0) = − k x S | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| . | (6.3.4) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂ 2 С | r | r | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂г | = − k y A cos | (ω т − к ⋅ r | +ϕ 0) = − k y S; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂ 2 С | r | r | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂z | = − k z A cos(ω т − к | ⋅r | +ϕ 0) = − k z S | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Добавяне на производни по отношение на координатите и отчитане на производната | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| след време получаваме | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂ | 2 | 2 | ∂ | 2 | ∂ | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||
| С 2 | + ∂ | С 2 | + | С 2 | = − (kx 2 + k y 2 + kz 2)С | = − к 2 С = | к | С 2 . | (6.3.5) | ||||||||||||||||||||||||||||
| ∂т | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂х | ∂г | ∂z | ω | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Ще направим замяна | к | = | ω 2 | = | и вземете вълновото уравнение | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| ω | υ | ω | υ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂ 2 С | + | ∂ 2 С | + | ∂ 2 С | = | 1 ∂ 2 С | или | С= | 1 ∂ 2 С | , | (6.3.6) | ||||||||||||||||||||||||||
| ∂х 2 | ∂г 2 | ∂z 2 | υ 2 ∂ т 2 | υ 2 ∂ т 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| където = | ∂ 2 | + | ∂ 2 | + | ∂ 2 | е операторът на Лаплас. | |||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂х 2 | ∂г 2 | ∂z 2 |
