В тази статия ще покажем как дефиниции на синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл и число в тригонометрията. Тук ще говорим за нотация, ще дадем примери за записи, ще дадем графични илюстрации. В заключение правим паралел между дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс в тригонометрията и геометрията.
Навигация в страницата.
Дефиниция на синус, косинус, тангенс и котангенс
Нека проследим как се формира понятието синус, косинус, тангенс и котангенс училищен курсматематика. В уроците по геометрия се дава определението за синус, косинус, тангенс и котангенс на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник. И по-късно се изучава тригонометрията, която се отнася до синуса, косинуса, тангенса и котангенса на ъгъла на завъртане и числото. Даваме всички тези определения, даваме примери и даваме необходимите коментари.
Остър ъгъл в правоъгълен триъгълник
От курса на геометрията са известни дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник. Те са дадени като отношение на страните на правоъгълен триъгълник. Представяме техните формулировки.
Определение.
Синус на остър ъгъл в правоъгълен триъгълнике отношението на срещуположния катет към хипотенузата.
Определение.
Косинус на остър ъгъл в правоъгълен триъгълнике отношението на съседния катет към хипотенузата.
Определение.
Тангенс на остър ъгъл в правоъгълен триъгълнике съотношението на срещуположния катет към съседния катет.
Определение.
Котангенс на остър ъгъл в правоъгълен триъгълнике отношението на съседния крак към противоположния крак.
Там е въведено и обозначението на синус, косинус, тангенс и котангенс - съответно sin, cos, tg и ctg.
Например, ако ABC е правоъгълен триъгълник с прав ъгъл C, тогава синусът на острия ъгъл A е равен на отношението на противоположния катет BC към хипотенузата AB, тоест sin∠A=BC/AB.
Тези дефиниции позволяват да се изчислят стойностите на синуса, косинуса, тангенса и котангенса на остър ъгъл от известните дължини на страните на правоъгълен триъгълник, както и от известни стойностисинус, косинус, тангенс, котангенс и дължината на една от страните, за да намерите дължините на другите страни. Например, ако знаем, че в правоъгълен триъгълник катетът AC е 3, а хипотенузата AB е 7, тогава бихме могли да изчислим косинуса на острия ъгъл A по дефиниция: cos∠A=AC/AB=3/7.
Ъгъл на завъртане
В тригонометрията започват да разглеждат ъгъла по-широко - въвеждат понятието ъгъл на завъртане. Ъгълът на завъртане, за разлика от острия ъгъл, не е ограничен от рамки от 0 до 90 градуса, ъгълът на завъртане в градуси (и в радиани) може да бъде изразен с всяко реално число от −∞ до +∞.
В тази светлина дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс вече не са остър ъгъл, а ъгъл с произволна величина - ъгълът на завъртане. Те са дадени чрез координатите x и y на точката A 1 , в която преминава т.нар. и центъра на единичната окръжност.
Определение.
Синус на ъгъла на завъртанеα е ординатата на точката A 1 , тоест sinα=y .
Определение.
косинус от ъгъла на завъртанеα се нарича абсцисата на точката A 1 , тоест cosα=x .
Определение.
Тангенс на ъгъла на завъртанеα е отношението на ординатата на точка A 1 към нейната абциса, т.е. tgα=y/x.
Определение.
Котангенсът на ъгъла на завъртанеα е отношението на абсцисата на точката A 1 към нейната ордината, т.е. ctgα=x/y.
Синусът и косинусът са определени за всеки ъгъл α, тъй като винаги можем да определим абсцисата и ординатата на точка, която се получава чрез завъртане на началната точка през ъгъла α. А тангенсът и котангенсът не са определени за нито един ъгъл. Тангентата не е дефинирана за такива ъгли α, при които началната точка отива към точка с нулева абциса (0, 1) или (0, −1) и това се случва при ъгли 90°+180° k , k∈Z (π /2+π k rad). Наистина, при такива ъгли на въртене изразът tgα=y/x няма смисъл, тъй като съдържа деление на нула. Що се отнася до котангенса, той не е дефиниран за такива ъгли α, при които началната точка отива към точка с нулева ордината (1, 0) или (−1, 0) и това е случаят за ъгли 180° k, k ∈Z (π k rad).
И така, синусът и косинусът са дефинирани за всякакви ъгли на завъртане, тангенсът е дефиниран за всички ъгли с изключение на 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad), а котангенсът е за всички ъгли с изключение на 180 ° ·k , k∈Z (π·k rad).
Вече познатите ни нотации се появяват в дефинициите sin, cos, tg и ctg, те също се използват за обозначаване на синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъла на въртене (понякога можете да намерите нотацията tan и cot, съответстващи на тангенс и котангенс). Така че синусът на ъгъла на въртене от 30 градуса може да бъде записан като sin30°, записите tg(−24°17′) и ctgα съответстват на тангенса на ъгъла на въртене −24 градуса 17 минути и котангенса на ъгъла на въртене α . Спомнете си, че когато записвате радианова мярка на ъгъл, обозначението "рад" често се пропуска. Например, косинусът на ъгъл на завъртане от три pi rad обикновено се означава с cos3 π.
В заключение на този параграф си струва да се отбележи, че когато се говори за синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъла на въртене, фразата „ъгъл на въртене“ или думата „въртене“ често се пропуска. Тоест, вместо фразата "синус от ъгъла на въртене алфа", обикновено се използва фразата "синус от ъгъла алфа" или дори по-кратко - "синус от алфа". Същото важи за косинус, тангенс и котангенс.
Да кажем също, че дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник са в съответствие с току-що дадените определения за синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл на завъртане, вариращ от 0 до 90 степени. Ние ще обосновем това.
Числа
Определение.
Синус, косинус, тангенс и котангенс на число t се нарича число, равно на синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъла на завъртане в t радиани, съответно.
Например, косинусът от 8 π по дефиниция е число, равно на косинус от ъгъл от 8 π rad. А косинусът на ъгъла в 8 π rad е равен на едно, следователно косинусът на числото 8 π е равен на 1.
Има друг подход към дефинирането на синус, косинус, тангенс и котангенс на число. Състои се в това, че на всяко реално число t се приписва точка от единичната окръжност с център в началото на правоъгълната координатна система, а синусът, косинусът, тангенсът и котангенсът се определят по отношение на координатите на тази точка. Нека се спрем на това по-подробно.
Нека покажем как се установява съответствието между реални числа и точки от окръжността:
- на числото 0 се задава начална точка A(1, 0) ;
- положително число t е свързано с точка от единичната окръжност, до която ще стигнем, ако се движим по окръжността от началната точка в посока обратна на часовниковата стрелка и преминем през път с дължина t;
- отрицателно число t съответства на точка от единичната окръжност, която ще достигнем, ако се движим по окръжността от началната точка по посока на часовниковата стрелка и преминем по път с дължина |t| .
Сега нека преминем към дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс на числото t. Да приемем, че числото t съответства на точка от окръжността A 1 (x, y) (например числото &pi/2; съответства на точка A 1 (0, 1) ).
Определение.
Синус от число t е ординатата на точката от единичната окръжност, съответстваща на числото t, тоест sint=y.
Определение.
Косинус на число t се нарича абсцисата на точката от единичната окръжност, съответстваща на числото t, т.е. cost=x.
Определение.
Тангенс на число t е отношението на ординатата към абсцисата на точката от единичната окръжност, съответстваща на числото t, т.е. tgt=y/x. В друга еквивалентна формулировка тангенсът на числото t е отношението на синуса на това число към косинуса, т.е. tgt=sint/cost.
Определение.
Котангенс на число t е отношението на абсцисата към ординатата на точката от единичната окръжност, съответстваща на числото t, тоест ctgt=x/y. Друга формулировка е следната: тангенсът на числото t е отношението на косинуса на числото t към синуса на числото t: ctgt=cost/sint.
Тук отбелязваме, че току-що дадените дефиниции съвпадат с определението, дадено в началото на този подраздел. Наистина, точката на единичната окръжност, съответстваща на числото t, съвпада с точката, получена чрез завъртане на началната точка под ъгъл от t радиана.
Също така си струва да се изясни тази точка. Да кажем, че имаме запис sin3. Как да разберем дали става дума за синус на числото 3 или синус на ъгъл на завъртане от 3 радиана? Това обикновено е ясно от контекста, иначе вероятно няма значение.
Тригонометрични функции на ъглов и числен аргумент
Съгласно дефинициите, дадени в предходния параграф, всеки ъгъл на завъртане α съответства на точно определена стойност sin α , както и на стойността cos α . В допълнение, всички ъгли на въртене, различни от 90°+180° k, k∈Z (π/2+π k rad) съответстват на стойностите tgα, а различни от 180° k, k∈Z (π k rad) са стойностите на ctgα. Следователно sinα, cosα, tgα и ctgα са функции на ъгъла α. С други думи, това са функции на ъгловия аргумент.
По подобен начин можем да говорим за функциите синус, косинус, тангенс и котангенс на числов аргумент. Наистина, всяко реално число t съответства на добре дефинирана стойност на sint, както и на cost. В допълнение, всички числа, различни от π/2+π·k, k∈Z съответстват на стойностите tgt, а числата π·k, k∈Z съответстват на стойностите ctgt.
Функциите синус, косинус, тангенс и котангенс се наричат основни тригонометрични функции.
Обикновено от контекста става ясно, че имаме работа с тригонометрични функции на ъглов аргумент или числен аргумент. В противен случай можем да разглеждаме независимата променлива както като мярка на ъгъла (аргументът на ъгъла), така и като числов аргумент.
Училището обаче основно изучава числови функции, тоест функции, чиито аргументи, както и съответните им стойности на функцията, са числа. Следователно, ако говорим сиспециално за функциите е целесъобразно тригонометричните функции да се разглеждат като функции на числови аргументи.
Връзка на определения от геометрия и тригонометрия
Ако вземем предвид ъгъла на въртене α от 0 до 90 градуса, тогава данните в контекста на тригонометрията на дефиницията на синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъла на въртене са напълно в съответствие с дефинициите на синус, косинус , тангенс и котангенс на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник, които са дадени в курса по геометрия. Нека обосновем това.
Начертайте единична окръжност в правоъгълната декартова координатна система Oxy. Обърнете внимание на началната точка A(1, 0) . Нека го завъртим на ъгъл α, вариращ от 0 до 90 градуса, получаваме точката A 1 (x, y) . Нека спуснем перпендикуляра A 1 H от точката A 1 към оста Ox.
Лесно е да се види, че в правоъгълен триъгълник ъгълът A 1 OH е равен на ъгъла на въртене α, дължината на крака OH, съседен на този ъгъл, е равна на абсцисата на точката A 1, т.е. | OH |=x, дължината на катета срещу ъгъла A 1 H е равна на ординатата на точката A 1, т.е. |A 1 H|=y, а дължината на хипотенузата OA 1 е равна на единица , тъй като е радиусът на единичната окръжност. Тогава, по дефиниция от геометрията, синусът на остър ъгъл α в правоъгълен триъгълник A 1 OH е равен на отношението на противоположния катет към хипотенузата, тоест sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . И по дефиниция от тригонометрията, синусът на ъгъла на завъртане α е равен на ординатата на точката A 1, тоест sinα=y. Това показва, че дефиницията на синуса на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е еквивалентна на дефиницията на синуса на ъгъла на завъртане α за α от 0 до 90 градуса.
По подобен начин може да се покаже, че дефинициите на косинус, тангенс и котангенс на остър ъгъл α са в съответствие с дефинициите на косинус, тангенс и котангенс на ъгъла на завъртане α.
Библиография.
- Геометрия. 7-9 клас: проучвания. за общо образование институции / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. - 20-то изд. М.: Образование, 2010. - 384 с.: ил. - ISBN 978-5-09-023915-8.
- Погорелов А.В.Геометрия: Proc. за 7-9 клетки. общо образование институции / А. В. Погорелов. - 2-ро изд. - М.: Просвещение, 2001. - 224 с.: ил. - ISBN 5-09-010803-X.
- Алгебра и елементарни функции : Урокза ученици от 9 клас гимназия/ Е. С. Кочетков, Е. С. Кочеткова; Под редакцията на доктора на физико-математическите науки О. Н. Головин - 4-то изд. Москва: Образование, 1969.
- Алгебра: Proc. за 9 клетки. ср. училище / Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Изд. С. А. Теляковски.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: Ил.- ISBN 5-09-002727-7
- Алгебраи началото на анализа: Proc. за 10-11 клетки. общо образование институции / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др.; Изд. А. Н. Колмогорова.- 14-то изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
- Мордкович А. Г.Алгебра и началото на анализа. 10 клас. На 2 ч. Част 1: учебник за учебни заведения ( ниво на профил)/ А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 4-то изд., доп. - М.: Мнемозина, 2007. - 424 с.: ил. ISBN 978-5-346-00792-0.
- Алгебраи началото на математическия анализ. 10 клас: учебник. за общо образование институции: основни и профилни. нива /[Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; изд. А. Б. Жижченко. - 3-то изд. - I .: Образование, 2010. - 368 с.: Ил. - ISBN 978-5-09-022771-1.
- Башмаков M.I.Алгебра и началото на анализа: учеб. за 10-11 клетки. ср. училище - 3-то изд. - М.: Просвещение, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
- Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (наръчник за кандидати за технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.
Понятията синус (), косинус (), тангенс (), котангенс () са неразривно свързани с понятието ъгъл. За да ги разберете добре на пръв поглед, сложни понятия(които причиняват състояние на ужас при много ученици) и се уверете, че „дяволът не е толкова страшен, колкото е нарисуван“, нека започнем от самото начало и разберем концепцията за ъгъл.
Концепцията за ъгъл: радиан, градус
Нека погледнем снимката. Векторът се "обърна" спрямо точката с определена стойност. Така че мярката на това завъртане спрямо началната позиция ще бъде ъгъл.
Какво още трябва да знаете за понятието ъгъл? Е, ъглови единици, разбира се!
Ъгълът, както в геометрията, така и в тригонометрията, може да бъде измерен в градуси и радиани.
Ъгълът при (един градус) е централният ъгъл в окръжността, основан на кръгова дъга, равна на частта от окръжността. По този начин цялата окръжност се състои от "парчета" от кръгови дъги или ъгълът, описан от окръжността, е равен.
Тоест фигурата по-горе показва ъгъл, който е равен, тоест този ъгъл се основава на кръгова дъга с размера на обиколката.
Ъгъл в радиани се нарича централен ъгъл в окръжност, основан на окръжна дъга, чиято дължина е равна на радиуса на окръжността. Е, разбрахте ли? Ако не, тогава нека погледнем снимката.
И така, фигурата показва ъгъл, равен на радиан, тоест този ъгъл се основава на кръгова дъга, чиято дължина е равна на радиуса на окръжността (дължината е равна на дължината или радиусът е равен на дължината на дъгата). Така дължината на дъгата се изчислява по формулата:
Къде е централният ъгъл в радиани.
Е, като знаете това, можете ли да отговорите колко радиана съдържа ъгъл, описан от окръжност? Да, за това трябва да запомните формулата за обиколката на кръг. Ето я:
Е, сега нека съпоставим тези две формули и ще разберем, че ъгълът, описан от окръжността, е равен. Тоест, съпоставяйки стойността в градуси и радиани, получаваме това. Съответно,. Както можете да видите, за разлика от "градуси", думата "радиан" е пропусната, тъй като мерната единица обикновено е ясна от контекста.
Колко радиана са? Това е вярно!
Схванах го? След това затегнете напред:
Някакви трудности? Тогава погледнете отговори:
Правоъгълен триъгълник: синус, косинус, тангенс, котангенс на ъгъл
И така, с разбраната концепция за ъгъла. Но какво е синус, косинус, тангенс, котангенс на ъгъл? Нека да го разберем. За това ще ни помогне правоъгълен триъгълник.
Как се наричат страните на правоъгълен триъгълник? Точно така, хипотенузата и катетите: хипотенузата е страната, която е срещуположна прав ъгъл(в нашия пример това е страната); краката са двете останали страни и (тези, които са съседни на правия ъгъл), освен това, ако разгледаме краката по отношение на ъгъла, тогава катетът е съседният катет, а катетът е срещуположният. И така, нека сега отговорим на въпроса: какво са синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл?
Синус на ъгъле съотношението на противоположния (далечен) катет към хипотенузата.
в нашия триъгълник.
Косинус на ъгъл- това е отношението на съседния (близък) крак към хипотенузата.
в нашия триъгълник.
Ъглова допирателна- това е съотношението на противоположния (далечен) крак към съседния (близък).
в нашия триъгълник.
Котангенс на ъгъл- това е съотношението на съседния (близкия) крак към противоположния (далечния).
в нашия триъгълник.
Тези определения са необходими помня! За да улесните запомнянето кой крак на какво да разделите, трябва ясно да разберете това в допирателнаи котангенсседят само краката, а хипотенузата се появява само в синуситеи косинус. И тогава можете да измислите верига от асоциации. Например този:
косинус→докосване→докосване→съседно;
Котангенс→докосване→докосване→съседно.
Преди всичко е необходимо да запомните, че синусът, косинусът, тангенсът и котангенсът като съотношения на страните на триъгълника не зависят от дължините на тези страни (под един ъгъл). Не се доверявай? Тогава се уверете, като погледнете снимката:
Помислете, например, за косинуса на ъгъл. По дефиниция от триъгълник: , но можем да изчислим косинуса на ъгъл от триъгълник: . Виждате ли, дължините на страните са различни, но стойността на косинуса на един ъгъл е една и съща. По този начин стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс зависят единствено от големината на ъгъла.
Ако разбирате дефинициите, продължете напред и ги поправете!
За триъгълника, показан на фигурата по-долу, намираме.
Е, разбрахте ли? След това опитайте сами: изчислете същото за ъгъла.
Единична (тригонометрична) окръжност
Разбирайки концепциите за градуси и радиани, разгледахме кръг с радиус, равен на. Такъв кръг се нарича единичен. Той е много полезен при изучаването на тригонометрията. Затова се спираме на него малко по-подробно.
Както можете да видите, тази окръжност е построена в декартовата координатна система. Радиусът на окръжността е равен на единица, докато центърът на окръжността лежи в началото, началната позиция на радиус вектора е фиксирана по положителната посока на оста (в нашия пример това е радиусът).
Всяка точка от кръга съответства на две числа: координатата по оста и координатата по оста. Какви са тези координатни числа? И въобще какво общо имат те с разглежданата тема? За да направите това, помнете за разглеждания правоъгълен триъгълник. На фигурата по-горе можете да видите два цели правоъгълни триъгълника. Помислете за триъгълник. Тя е правоъгълна, защото е перпендикулярна на оста.
На какво е равно от триъгълник? Това е вярно. Освен това знаем, че това е радиусът на единичната окръжност и следователно, . Заместете тази стойност в нашата формула за косинус. Ето какво се случва:
И на какво е равно от триъгълник? Добре, разбира се, ! Заместете стойността на радиуса в тази формула и получете:
И така, можете ли да ми кажете какви са координатите на точка, която принадлежи на окръжността? Е, няма начин? И ако осъзнаете, че и са само числа? На коя координата отговаря? Е, разбира се, координатите! На коя координата отговаря? Точно така, координирайте! Така точката.
И какво тогава са равни и? Точно така, нека използваме подходящите определения за тангенс и котангенс и да получим това, а.
Ами ако ъгълът е по-голям? Ето, например, като на тази снимка:
Какво се е променило в този пример? Нека да го разберем. За да направите това, отново се обръщаме към правоъгълен триъгълник. Помислете за правоъгълен триъгълник: ъгъл (като съседен на ъгъл). Каква е стойността на синуса, косинуса, тангенса и котангенса на ъгъл? Точно така, ние се придържаме към съответните дефиниции на тригонометричните функции:
Е, както виждате, стойността на синуса на ъгъла все още съответства на координатата; стойността на косинуса на ъгъла - координатата; и стойностите на тангенса и котангенса към съответните съотношения. По този начин тези отношения са приложими за всякакви ротации на радиус вектора.
Вече беше споменато, че началната позиция на радиус вектора е по положителната посока на оста. Досега въртяхме този вектор обратно на часовниковата стрелка, но какво ще стане, ако го завъртим по посока на часовниковата стрелка? Нищо необичайно, ще получите и ъгъл с определена големина, но само той ще бъде отрицателен. По този начин, когато въртим радиус вектора обратно на часовниковата стрелка, получаваме положителни ъгли, а при въртене по часовниковата стрелка - отрицателен.
И така, ние знаем, че цяло завъртане на радиус вектора около окръжността е или. Възможно ли е радиус векторът да се завърти с или с? Е, разбира се, че можете! Следователно в първия случай радиус-векторът ще направи едно пълно завъртане и ще спре в позиция или.
Във втория случай, тоест радиус векторът ще направи три пълни завъртания и ще спре в позиция или.
Така от горните примери можем да заключим, че ъгли, които се различават с или (където е цяло число), съответстват на една и съща позиция на радиус вектора.
Фигурата по-долу показва ъгъл. Същото изображение съответства на ъгъла и т.н. Този списък може да бъде продължен за неопределено време. Всички тези ъгли могат да бъдат записани с общата формула или (където е цяло число)
Сега, знаейки дефинициите на основните тригонометрични функции и използвайки единичната окръжност, опитайте се да отговорите на какво са равни стойностите:
Ето единичен кръг, за да ви помогне:
Някакви трудности? Тогава нека го разберем. Значи знаем, че:
От тук определяме координатите на точките, съответстващи на определени мерки на ъгъла. Е, нека започнем по ред: ъгълът при съответства на точка с координати, следователно:
Не съществува;
Освен това, придържайки се към същата логика, откриваме, че ъглите в съответстват съответно на точки с координати. Знаейки това, е лесно да се определят стойностите на тригонометричните функции в съответните точки. Първо опитайте сами, след това проверете отговорите.
Отговори:
Не съществува
Не съществува
Не съществува
Не съществува
Така можем да направим следната таблица:
Няма нужда да помните всички тези стойности. Достатъчно е да запомните съответствието между координатите на точките на единичния кръг и стойностите на тригонометричните функции:
Но стойностите на тригонометричните функции на ъглите в и, дадени в таблицата по-долу, трябва да се помни:
Не се страхувайте, сега ще покажем един от примерите доста просто запаметяване на съответните стойности:
За да използвате този метод, е жизненоважно да запомните стойностите на синуса за всичките три мерки на ъгъла (), както и стойността на тангенса на ъгъла в. Познавайки тези стойности, е доста лесно да възстановите цялата таблица - стойностите на косинусите се прехвърлят в съответствие със стрелките, тоест:
Знаейки това, можете да възстановите стойностите за. Числителят „ “ ще съвпада, а знаменателят „ “ ще съвпада. Котангенсните стойности се прехвърлят в съответствие със стрелките, показани на фигурата. Ако разберете това и запомните диаграмата със стрелки, тогава ще бъде достатъчно да запомните цялата стойност от таблицата.
Координати на точка върху окръжност
Възможно ли е да се намери точка (нейните координати) върху окръжност, познаване на координатите на центъра на кръга, неговия радиус и ъгъл на въртене?
Е, разбира се, че можете! Да изведем обща формула за намиране на координатите на точка.
Ето, например, имаме такъв кръг:
Дадено ни е, че точката е центърът на окръжността. Радиусът на окръжността е равен. Необходимо е да се намерят координатите на точката, получена чрез завъртане на точката на градуси.
Както се вижда от фигурата, координатата на точката съответства на дължината на сегмента. Дължината на сегмента съответства на координатата на центъра на окръжността, тоест е равна на. Дължината на сегмент може да бъде изразена с помощта на определението за косинус:
Тогава имаме това за координатата на точката.
По същата логика намираме стойността на y координатата за точката. По този начин,
Така че в общ изгледкоординатите на точките се определят по формулите:
Координати на центъра на кръга,
радиус на кръга,
Ъгъл на завъртане на радиус вектора.
Както можете да видите, за единичния кръг, който разглеждаме, тези формули са значително намалени, тъй като координатите на центъра са нула, а радиусът е равен на едно:
Е, нека опитаме тези формули за вкус, упражнявайки се да намираме точки върху окръжност?
1. Намерете координатите на точка върху единична окръжност, получена чрез завъртане на точка.
2. Намерете координатите на точка от единична окръжност, получена чрез завъртане на точка върху.
3. Намерете координатите на точка от единична окръжност, получена чрез завъртане на точка.
4. Точка - център на кръга. Радиусът на окръжността е равен. Необходимо е да се намерят координатите на точката, получена чрез завъртане на началния радиус-вектор с.
5. Точка - център на кръга. Радиусът на окръжността е равен. Необходимо е да се намерят координатите на точката, получена чрез завъртане на началния радиус-вектор с.
Имате проблеми с намирането на координатите на точка от окръжност?
Решете тези пет примера (или разберете добре решението) и ще научите как да ги намирате!
1.
Вижда се, че. И знаем какво съответства на пълен завой на началната точка. Така желаната точка ще бъде в същата позиция, както при завъртане. Знаейки това, намираме желаните координати на точката:
2. Окръжността е единица с център в точка, което означава, че можем да използваме опростени формули:
Вижда се, че. Знаем какво отговаря на две пълен оборотначална точка. Така желаната точка ще бъде в същата позиция, както при завъртане. Знаейки това, намираме желаните координати на точката:
Синус и косинус са таблични стойности. Помним техните стойности и получаваме:
Така желаната точка има координати.
3. Окръжността е единица с център в точка, което означава, че можем да използваме опростени формули:
Вижда се, че. Нека изобразим разглеждания пример на фигурата:
Радиусът сключва ъгли с оста, равни на и. Знаейки, че стойностите на таблицата на косинуса и синуса са равни и след като определихме, че косинусът тук отнема отрицателно значениеи синусът е положителен, имаме:
Подобни примери се анализират по-подробно при изучаване на формулите за намаляване на тригонометричните функции в темата.
Така желаната точка има координати.
4.
Ъгъл на въртене на радиус вектора (по условие)
За да определим съответните знаци на синус и косинус, изграждаме единична окръжност и ъгъл:
Както можете да видите, стойността е положителна, а стойността е отрицателна. Познавайки табличните стойности на съответните тригонометрични функции, получаваме, че:
Нека заместим получените стойности в нашата формула и намерим координатите:
Така желаната точка има координати.
5. За да разрешим този проблем, използваме формули в общ вид, където
Координатите на центъра на кръга (в нашия пример,
Радиус на окръжност (по условие)
Ъгъл на завъртане на радиус вектора (по условие).
Заменете всички стойности във формулата и получете:
и - таблични стойности. Запомняме ги и ги заместваме във формулата:
Така желаната точка има координати.
ОБОБЩЕНИЕ И ОСНОВНА ФОРМУЛА
Синусът на ъгъл е съотношението на противоположния (далечен) крак към хипотенузата.
Косинусът на ъгъл е съотношението на съседния (близък) крак към хипотенузата.
Тангенсът на ъгъл е съотношението на противоположния (далечен) крак към съседния (близък).
Котангенсът на ъгъл е съотношението на съседния (близкия) крак към противоположния (далечния).
Тази статия е събрала таблици на синуси, косинуси, тангенси и котангенси. Първо, даваме таблица с основни стойности на тригонометрични функции, тоест таблица на синуси, косинуси, тангенси и котангенси на ъгли 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 градуса ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2πрадиан). След това ще дадем таблица на синусите и косинусите, както и таблица на тангенсите и котангенсите от В. М. Брадис и ще покажем как да използваме тези таблици при намиране на стойностите на тригонометричните функции.
Навигация в страницата.
Таблица със синуси, косинуси, тангенси и котангенси за ъгли 0, 30, 45, 60, 90, ... градуса
Библиография.
- Алгебра: Proc. за 9 клетки. ср. училище / Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Изд. С. А. Теляковски.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: Ил.- ISBN 5-09-002727-7
- Башмаков M.I.Алгебра и началото на анализа: учеб. за 10-11 клетки. ср. училище - 3-то изд. - М.: Просвещение, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
- Алгебраи началото на анализа: Proc. за 10-11 клетки. общо образование институции / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др.; Изд. А. Н. Колмогорова.- 14-то изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
- Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (наръчник за кандидати за технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.
- Брадис В. М.Четирицифрени математически таблици: За общообразователна подготовка. учебник заведения. - 2-ро изд. - М.: Дропла, 1999.- 96 с.: ил. ISBN 5-7107-2667-2
Един от клоновете на математиката, с който учениците се справят с най-големи трудности, е тригонометрията. Нищо чудно: за да овладеете свободно тази област на знанието, имате нужда от пространствено мислене, способността да намирате синуси, косинуси, тангенси, котангенси с помощта на формули, да опростявате изрази и да можете да използвате числото pi в изчисления. Освен това трябва да можете да прилагате тригонометрията при доказване на теореми, а това изисква или развита математическа памет, или способност за извеждане на сложни логически вериги.
Произход на тригонометрията
Запознаването с тази наука трябва да започне с дефиницията на синуса, косинуса и тангенса на ъгъла, но първо трябва да разберете какво прави тригонометрията като цяло.
В исторически план правоъгълните триъгълници са били основният обект на изследване в този раздел на математическата наука. Наличието на ъгъл от 90 градуса дава възможност да се извършват различни операции, които позволяват да се определят стойностите на всички параметри на разглежданата фигура, като се използват две страни и един ъгъл или два ъгъла и една страна. В миналото хората забелязали този модел и започнали активно да го използват в строителството на сгради, навигацията, астрономията и дори изкуството.
Първи етап
Първоначално хората говореха за връзката на ъгли и страни изключително на примера на правоъгълни триъгълници. Тогава бяха открити специални формули, които направиха възможно разширяването на границите на употреба в Ежедневиетотози клон на математиката.
Изучаването на тригонометрия в училище днес започва с правоъгълни триъгълници, след което придобитите знания се използват от учениците по физика и решаване на абстрактни тригонометрични уравнения, работата с които започва в гимназията.
Сферична тригонометрия
По-късно, когато науката дойде следващо ниворазвитие, формули със синус, косинус, тангенс, котангенс започват да се използват в сферичната геометрия, където важат други правила, а сборът от ъглите в триъгълника винаги е повече от 180 градуса. Този участък не се изучава в училище, но е необходимо да се знае за съществуването му, най-малкото защото повърхността на земята, както и повърхността на всяка друга планета, е изпъкнала, което означава, че всяка маркировка на повърхността ще бъде "дъгообразна" в триизмерно пространство.
Вземете глобуса и конеца. Прикрепете конеца към произволни две точки на земното кълбо, така че да е опънат. Обърнете внимание - тя е придобила формата на дъга. Именно с такива форми се занимава сферичната геометрия, която се използва в геодезията, астрономията и други теоретични и приложни области.
Правоъгълен триъгълник
След като научихме малко за начините за използване на тригонометрията, нека се върнем към основната тригонометрия, за да разберем по-нататък какво са синус, косинус, тангенс, какви изчисления могат да се извършват с тяхна помощ и какви формули да използвате.
Първата стъпка е да разберете понятията, свързани с правоъгълен триъгълник. Първо, хипотенузата е страната срещу ъгъла от 90 градуса. Тя е най-дългата. Спомняме си, че според Питагоровата теорема числената му стойност е равна на корена от сумата от квадратите на другите две страни.
Например, ако двете страни са съответно 3 и 4 сантиметра, дължината на хипотенузата ще бъде 5 сантиметра. Между другото, древните египтяни са знаели за това преди около четири и половина хиляди години.
Двете останали страни, които образуват прав ъгъл, се наричат катети. Освен това трябва да помним, че сборът от ъглите в триъгълник в правоъгълна координатна система е 180 градуса.
Определение
И накрая, със солидно разбиране на геометричната основа, можем да се обърнем към дефиницията на синус, косинус и тангенс на ъгъл.
Синусът на ъгъл е съотношението на противоположния катет (т.е. страната, противоположна на желания ъгъл) към хипотенузата. Косинусът на ъгъл е съотношението на съседния катет към хипотенузата.
Не забравяйте, че нито синус, нито косинус могат да бъдат по-големи от едно! Защо? Тъй като хипотенузата по подразбиране е най-дългата.Без значение колко дълъг е катетът, той ще бъде по-къс от хипотенузата, което означава, че тяхното отношение винаги ще бъде по-малко от едно. Така, ако получите синус или косинус със стойност, по-голяма от 1 в отговора на задачата, потърсете грешка в изчисленията или разсъжденията. Този отговор очевидно е грешен.
И накрая, тангенса на ъгъл е съотношението на срещуположната страна към съседната страна. Същият резултат ще даде разделянето на синуса на косинуса. Вижте: в съответствие с формулата разделяме дължината на страната на хипотенузата, след което разделяме на дължината на втората страна и умножаваме по хипотенузата. Така получаваме същото съотношение като в определението за тангенс.
Котангенсът, съответно, е отношението на страната, съседна на ъгъла, към противоположната страна. Получаваме същия резултат, като разделим единицата на тангенса.
И така, разгледахме определенията за това какво са синус, косинус, тангенс и котангенс и можем да се справим с формули.
Най-простите формули
В тригонометрията не може без формули - как да намерите синус, косинус, тангенс, котангенс без тях? И точно това се изисква при решаването на проблеми.
Първата формула, която трябва да знаете, когато започнете да изучавате тригонометрия, гласи, че сумата от квадратите на синуса и косинуса на ъгъл е равна на едно. Тази формула е пряко следствие от Питагоровата теорема, но спестява време, ако искате да знаете стойността на ъгъла, а не на страната.
Много ученици не могат да запомнят втората формула, която също е много популярна при решаването на училищни задачи: сумата от едно и квадрата на тангенса на ъгъл е равна на единица, разделена на квадрата на косинуса на ъгъла. Погледнете по-отблизо: в края на краищата това е същото твърдение като в първата формула, само че двете страни на тъждеството бяха разделени на квадрата на косинуса. Оказва се, че една проста математическа операция прави тригонометричната формула напълно неузнаваема. Запомнете: знаейки какво са синус, косинус, тангенс и котангенс, правилата за преобразуване и няколко основни формули, можете по всяко време независимо да извлечете необходимите по-сложни формули на лист хартия.
Формули за двоен ъгъл и добавяне на аргументи
Още две формули, които трябва да научите, са свързани със стойностите на синуса и косинуса за сбора и разликата на ъглите. Те са показани на фигурата по-долу. Моля, обърнете внимание, че в първия случай синусът и косинусът се умножават и двата пъти, а във втория се добавя произведението по двойки на синус и косинус.
Има и формули, свързани с аргументи с двоен ъгъл. Те са напълно извлечени от предишните - като практика, опитайте се да ги получите сами, като вземете алфа ъгъла равен на ъгълабета.
И накрая, имайте предвид, че формулите за двоен ъгъл могат да се преобразуват, за да се намали степента на синус, косинус, тангенс алфа.
Теореми
Двете основни теореми в основната тригонометрия са синусовата теорема и косинусовата теорема. С помощта на тези теореми можете лесно да разберете как да намерите синуса, косинуса и тангенса, и следователно площта на фигурата и размера на всяка страна и т.н.
Синусовата теорема гласи, че в резултат на разделянето на дължината на всяка от страните на триъгълника на стойността на противоположния ъгъл, получаваме същото число. Освен това това число ще бъде равно на два радиуса на описаната окръжност, тоест окръжността, съдържаща всички точки на дадения триъгълник.
Косинусовата теорема обобщава Питагоровата теорема, проектирайки я върху всякакви триъгълници. Оказва се, че от сумата на квадратите на двете страни извадете техния продукт, умножен по двойния косинус на прилежащия към тях ъгъл - получената стойност ще бъде равна на квадрата на третата страна. Така Питагоровата теорема се оказва частен случай на косинусовата теорема.
Грешки поради невнимание
Дори да знаете какво са синус, косинус и тангенс, лесно е да направите грешка поради разсеяност или грешка в най-простите изчисления. За да избегнем подобни грешки, нека се запознаем с най-популярните от тях.
Първо, не трябва да преобразувате обикновените дроби в десетични, докато не получите крайния резултат - можете да оставите отговора във формата обикновена дробосвен ако условието не предвижда друго. Такава трансформация не може да се нарече грешка, но трябва да се помни, че на всеки етап от проблема могат да се появят нови корени, които според идеята на автора трябва да бъдат намалени. В този случай ще губите време за ненужни неща математически операции. Това е особено вярно за стойности като корен от три или две, защото те се срещат в задачи на всяка стъпка. Същото важи и за закръгляването на "грозни" числа.
Освен това имайте предвид, че косинусовата теорема се прилага за всеки триъгълник, но не и за Питагоровата теорема! Ако погрешка забравите да извадите два пъти произведението на страните, умножено по косинуса на ъгъла между тях, не само ще получите напълно грешен резултат, но и ще демонстрирате пълно неразбиране на темата. Това е по-лошо от грешка по невнимание.
Трето, не бъркайте стойностите за ъгли от 30 и 60 градуса за синуси, косинуси, тангенси, котангенси. Запомнете тези стойности, защото синус от 30 градуса е равен на косинус от 60 и обратно. Лесно е да ги смесите, в резултат на което неизбежно ще получите грешен резултат.
Приложение
Много ученици не бързат да започнат да изучават тригонометрия, защото не разбират нейното приложно значение. Какво е синус, косинус, тангенс за инженер или астроном? Това са концепциите, чрез които можете да изчислите разстоянието до далечни звезди, предскаже падането на метеорит, изпрати изследователска сонда на друга планета. Без тях е невъзможно да се построи сграда, да се проектира кола, да се изчисли натоварването на повърхността или траекторията на обект. И това са само най-очевидните примери! В крайна сметка тригонометрията под една или друга форма се използва навсякъде, от музиката до медицината.
Накрая
Така че вие сте синус, косинус, тангенс. Можете да ги използвате в изчисления и да решавате успешно училищни задачи.
Цялата същност на тригонометрията се свежда до факта, че неизвестните параметри трябва да бъдат изчислени от известните параметри на триъгълника. Има общо шест параметъра: дължини три партиии размерите на трите ъгъла. Цялата разлика в задачите се състои в това, че се дават различни входни данни.
Как да намерите синуса, косинуса, тангенса въз основа на известните дължини на краката или хипотенузата, вече знаете. Тъй като тези термини не означават нищо повече от съотношение, а съотношението е дроб, основна целнамирането на корените на обикновено уравнение или система от уравнения се превръща в тригонометричен проблем. И тук ще ви помогне обикновената училищна математика.
Първоначално синусът и косинусът възникват поради необходимостта от изчисляване на количества в правоъгълни триъгълници. Беше забелязано, че ако стойността на градусната мярка на ъглите в правоъгълен триъгълник не се промени, тогава съотношението на страните, независимо колко тези страни се променят по дължина, винаги остава същото.
Така бяха въведени понятията синус и косинус. Синусът на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на противоположния катет към хипотенузата, а косинусът е съотношението на съседния катет към хипотенузата.
Теореми за косинуси и синуси
Но косинусите и синусите могат да се използват не само в правоъгълни триъгълници. За да намерите стойността на тъп или остър ъгъл, страната на всеки триъгълник, достатъчно е да приложите теоремата за косинус и синус.
Косинусовата теорема е съвсем проста: „Квадратът на една страна на триъгълник е равен на сумата от квадратите на другите две страни минус удвоеното произведение на тези страни по косинуса на ъгъла между тях.“
Има две интерпретации на синусовата теорема: малка и разширена. Според малкия: "В триъгълника ъглите са пропорционални на противоположните страни." Тази теорема често се разширява поради свойството на окръжността, описана около триъгълник: "В триъгълника ъглите са пропорционални на противоположните страни и тяхното съотношение е равно на диаметъра на описаната окръжност."
Деривати
Производната е математически инструмент, който показва колко бързо се променя функция по отношение на промяна в нейния аргумент. Производните се използват в геометрията и в редица технически дисциплини.
Когато решавате проблеми, трябва да знаете табличните стойности на производните на тригонометричните функции: синус и косинус. Производната на синуса е косинус, а производната на косинуса е синус, но със знак минус.
Приложение в математиката
Особено често синусите и косинусите се използват при решаване на правоъгълни триъгълници и проблеми, свързани с тях.
Удобството на синусите и косинусите се отразява и в технологията. Ъглите и страните бяха лесни за оценяване с помощта на косинусовата и синусовата теореми, разбивайки сложни форми и обекти на „прости“ триъгълници. Инженерите, които често се занимават с изчисления на аспектни съотношения и степенни мерки, прекарват много време и усилия в изчисляване на косинуси и синуси на ъгли извън таблицата.
Тогава на помощ се притекоха таблиците на Брадис, съдържащи хиляди стойности на синуси, косинуси, тангенси и котангенси на различни ъгли. AT съветско временякои учители принуждаваха своите отделения да запомнят страниците на таблиците на Брадис.
Радиан - ъгловата стойност на дъгата, по дължината, равна на радиуса или 57,295779513 ° градуса.
Градус (в геометрията) - 1/360 от окръжност или 1/90 от прав ъгъл.
π = 3.141592653589793238462… (приблизителна стойност на pi).
Таблица на косинусите за ъгли: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.
| Ъгъл x (в градуси) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° | 210° | 225° | 240° | 270° | 300° | 315° | 330° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Ъгъл x (в радиани) | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | 2 x π/3 | 3xπ/4 | 5xπ/6 | π | 7xπ/6 | 5xπ/4 | 4xπ/3 | 3xπ/2 | 5xπ/3 | 7xπ/4 | 11xπ/6 | 2xπ |
| cos x | 1 | √3/2 (0,8660) | √2/2 (0,7071) | 1/2 (0,5) | 0 | -1/2 (-0,5) | -√2/2 (-0,7071) | -√3/2 (-0,8660) | -1 | -√3/2 (-0,8660) | -√2/2 (-0,7071) | -1/2 (-0,5) | 0 | 1/2 (0,5) | √2/2 (0,7071) | √3/2 (0,8660) | 1 |
