Ако уредите сингъл числов кръгна координатната равнина, тогава могат да се намерят координати за нейните точки. Числовият кръг е разположен така, че центърът му да съвпада с началната точка на равнината, тоест точката O (0; 0).
Обикновено на кръга с номер на единица точките са отбелязани, съответстващи от началото на кръга
- четвъртини - 0 или 2π, π / 2, π, (2π) / 3,
- средни четвъртини - π / 4, (3π) / 4, (5π) / 4, (7π) / 4,
- третини от четвъртините - π / 6, π / 3, (2π) / 3, (5π) / 6, (7π) / 6, (4π) / 3, (5π) / 3, (11π) / 6.
В координатната равнина с горното местоположение на единичната окръжност върху нея можете да намерите координатите, съответстващи на тези точки от окръжността.
Координатите на краищата на четвъртините се намират много лесно. В точка 0 на окръжността координатата x е 1, а y е 0. Може да се означи като A (0) = A (1; 0).
Краят на първото тримесечие ще бъде разположен на положителната ос y. Следователно B (π / 2) = B (0; 1).
Краят на втората четвърт е на отрицателната полуос: C (π) = C (-1; 0).
Край на третата четвърт: D ((2π) / 3) = D (0; -1).
Но как намирате координатите на средните точки на четвъртините? За да направите това, изградете правоъгълен триъгълник. Неговата хипотенуза е отсечка от центъра на окръжността (или началото) до средата на четвъртия кръг. Това е радиусът на окръжността. Тъй като окръжността е единица, хипотенузата е 1. След това се изтегля перпендикуляр от точката на окръжността към която и да е ос. Нека е към оста х. Получава се правоъгълен триъгълник, дължините на краката на който са координатите x и y на точката на окръжността.
Четвъртият кръг е 90º. А половин четвърт е 45 градуса. Тъй като хипотенузата е изтеглена до точката на средата на четвъртината, ъгълът между хипотенузата и катета, простиращ се от началото, е 45º. Но сборът от ъглите на всеки триъгълник е 180º. Следователно ъгълът между хипотенузата и другия катет също е 45º. Оказва се равнобедрен правоъгълен триъгълник.
От теоремата на Питагор получаваме уравнението x 2 + y 2 = 1 2. Тъй като x = y и 1 2 = 1, уравнението се опростява до x 2 + x 2 = 1. Решавайки го, получаваме x = √½ = 1 / √2 = √2 / 2.
Така координатите на точката са M 1 (π / 4) = M 1 (√2 / 2; √2 / 2).
В координатите на точките на средните точки на други квартали само знаците ще се променят, а модулите на стойностите ще останат същите, тъй като правоъгълният триъгълник ще бъде само обърнат. Получаваме:
M 2 ((3π) / 4) = M 2 (-√2 / 2; √2 / 2)
M 3 ((5π) / 4) = M 3 (-√2 / 2; -√2 / 2)
M 4 ((7π) / 4) = M 4 (√2 / 2; -√2 / 2)
При определяне на координатите на третите части от четвъртините на окръжността се изгражда и правоъгълен триъгълник. Ако вземем точката π / 6 и начертаем перпендикуляр на оста x, тогава ъгълът между хипотенузата и крака, лежащ на оста x, ще бъде 30º. Известно е, че катет, лежащ срещу ъгъл от 30 градуса, е равен на половината от хипотенузата. И така, намерихме y-координата, тя е равна на ½.
Знаейки дължините на хипотенузата и един от катетите, според Питагоровата теорема, намираме друг катет:
x 2 + (½) 2 = 1 2
х 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3 / 2
Така T 1 (π / 6) = T 1 (√3 / 2; ½).
За точката на втората трета на първата четвърт (π / 3) е по-добре да начертаете перпендикуляра на оста към оста y. Тогава ъгълът в началото на координатите също ще бъде 30º. Тук координатата x ще бъде равна на ½ и y, съответно, √3 / 2: T 2 (π / 3) = T 2 (½; √3 / 2).
За други точки през третото тримесечие знаците и редът на стойностите на координатите ще се променят. Всички точки, които са по-близо до оста x, ще имат x-координата по модул √3 / 2. Тези точки, които са по-близо до оста y, ще имат y-стойност от √3 / 2 в абсолютна стойност.
T 3 ((2π) / 3) = T 3 (-½; √3 / 2)
T 4 ((5π) / 6) = T 4 (-√3 / 2; ½)
T 5 ((7π) / 6) = T 5 (-√3 / 2; -½)
T 6 ((4π) / 3) = T 6 (-½; -√3 / 2)
T 7 ((5π) / 3) = T 7 (½; -√3 / 2)
T 8 ((11π) / 6) = T 8 (√3 / 2; -½)
Да използвам предварителен прегледпрезентации създайте си акаунт ( сметка) Google и влезте в него: https://accounts.google.com
Надписи на слайдове:
Числова окръжност в координатната равнина
Нека повторим: Единичната окръжност е числов кръг, чийто радиус е 1. R = 1 C = 2 π + - y x
Ако точката M от числовата окръжност съответства на числото t, то тя съответства и на числото от формата t + 2 π k, където k е всяко цяло число (k ϵ Z). M (t) = M (t + 2 π k), където k ϵ Z
Основни оформления Първо оформление 0 π y x Второ оформление y x
x y 1 A (1, 0) B (0, 1) C (- 1, 0) D (0, -1) 0 x> 0 y> 0 x 0 x 0 y
Нека намерим координатите на точка M, съответстваща на точката. 1) 2) x y M P 45 ° O A
Координати на основните точки на първото оформление 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 D y x
М P х у O A Намерете координатите на точката М, съответстваща на точката. 1) 2) 30 °
М P Да намерим координатите на точка М, съответстваща на точката. 1) 2) 30 ° x y O A B
Използвайки свойството симетрия, намираме координатите на точките, кратни на y x
Координати на основните точки на второто оформление x y x y y x
Пример Намерете координатите на точка от числов кръг. Решение: P y x
Пример Намерете точките с ордината върху числовата окръжност Решение: y x x y x y
Упражнения: Намерете координатите на точките от числовата окръжност: а), б). Намерете точките с абсцисата върху числов кръг.
Координати на основните точки 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 Координати на основните точки на първото оформление xyxy Координати на главния точки от второто оформление
По темата: методически разработки, презентации и бележки
Дидактически материал по алгебра и принципите на анализа в 10 клас (профилно ниво) "Числов кръг в координатната равнина"
Вариант 1.1. Намерете точка от числовата окръжност: A) -2∏ / 3B) 72. На коя четвърт от числовия кръг принадлежи точката 16.3. Намерете коя ...
Цифров кръгТова е единична окръжност, чиито точки съответстват на определени реални числа.
Единичната окръжност е окръжност с радиус 1.
Общ изглед на кръга с числа.
1) Радиусът му се приема като мерна единица.
2) Хоризонталните и вертикалните диаметри разделят числовия кръг на четири четвърти (виж фигурата). Те се наричат съответно първо, второ, трето и четвърто тримесечие.
3) Хоризонталния диаметър е обозначен като AC, като A е най-дясната точка.
Вертикалният диаметър е обозначен като BD, като B е най-високата точка.
съответно:
първата четвърт е дъгата AB
втора четвърт - дъга пр.н.е
трета четвърт - CD арка
четвърта четвърт - дъга DA
4) Началната точка на числовия кръг е точка А.
Преброяването по цифровата окръжност може да се извърши както по посока на часовниковата стрелка, така и обратно.
Извиква се обратно отброяване от точка А обратно на часовниковата стрелка положителна посока.
Извиква се четене от точка А по посока на часовниковата стрелка отрицателна посока.
Числова окръжност в координатната равнина.
Центърът на радиуса на числовата окръжност съответства на началото (число 0).
Хоризонталния диаметър съответства на оста х, вертикални - оси г.
Началната точка А на числовия кръг е върху оста хи има координати (1; 0).
Стойноститехигв четвъртини на числов кръг:
Основни стойности на числовия кръг:
Имената и местоположенията на основните точки от числовия кръг:
Как да запомните имената на числов кръг.
Има няколко прости шаблона, които ще ви помогнат да запомните лесно основните имена на кръга с числа.
Преди да започнем, припомнете си: броенето се извършва в положителна посока, тоест от точка A (2π) обратно на часовниковата стрелка.
1) Да започнем с екстремни точкипо координатните оси.
Началната точка е 2π (най-дясната точка на оста NSравно на 1).
Както знаете, 2π е дължината на окръжност. Това означава, че половината от окръжността е 1π или π. ос NSразделя кръга наполовина. Съответно, най-лявата точка на оста NSравно на -1 се нарича π.
Най-високата точка на оста вравно на 1 разполовява горния полукръг. Така че, ако полукръгът е π, тогава половината от полукръг е π / 2.
В същото време π / 2 също е четвърт от кръга. Преброяваме три такива четвъртинки от първата до третата - и ще стигнем до най-ниската точка на оста вравно на -1. Но ако включва три четвърти, тогава името му е 3π / 2.
2) Сега да преминем към останалите точки. Моля, обърнете внимание: всички противоположни точки имат един и същ числител - и това са противоположни точки и спрямо оста в, и спрямо центъра на осите, и спрямо оста NS... Това ще ни помогне да знаем техните точкови стойности, без да се тъпчем.
Просто трябва да запомните значението на точките от първата четвърт: π / 6, π / 4 и π / 3. И тогава ще "видим" някои модели:
- Относно оста yв точките от второто тримесечие, срещу точките от първото тримесечие, числата в числителите са с 1 по-малко от стойностите на знаменателите. Например, да вземем точката π / 6. Неговата противоположна точка спрямо оста всъщо има 6 в знаменателя и 5 в числителя (1 по-малко). Тоест името на тази точка: 5π / 6. Точката срещу π / 4 също има 4 в знаменателя и 3 в числителя (1 по-малко от 4) - тоест това е точката 3π / 4.
Точката срещу π / 3 също има 3 в знаменателя и 1 по-малко в числителя: 2π / 3.
- Относно центъра на координатните осиобратно: числата в числителите на противоположни точки (през третата четвърт) по 1 повече стойностзнаменатели. Вземете отново точката π / 6. Точката срещу нея спрямо центъра също има 6 в знаменателя, а числото в числителя е с 1 повече - тоест е 7π / 6.
Точката, противоположна на точката π / 4, също има 4 в знаменателя, а числото в числителя е с 1 повече: 5π / 4.
Точката, противоположна на точката π / 3, също има 3 в знаменателя, а числото в числителя е с 1 повече: 4π / 3.
- Относно ос NS(четвърто тримесечие)въпроса е по-сложен. Тук е необходимо да добавите към стойността на знаменателя число, което е с 1 по-малко - тази сума ще бъде равна на числовата част на числителя на противоположната точка. Нека започнем отново с π / 6. Добавете към знаменателя 6 число, което е с 1 по-малко от това число - тоест 5. Получаваме: 6 + 5 = 11. Това означава, че обратното на него спрямо оста NSточката ще има 6 в знаменателя и 11 в числителя - тоест 11π / 6.
Точка π / 4. Добавяме към стойността на знаменателя числото с 1 по-малко: 4 + 3 = 7. Това означава, че обратното на него спрямо оста NSточката има в знаменателя 4, а в числителя 7 - тоест 7π / 4.
Точка π / 3. Знаменателят е 3. Добавете едно по-малко число към 3 - тоест 2. Получаваме 5. Това означава, че противоположната точка има 5 в числителя - и това е точката 5π / 3.
3) Още един модел за точките в средата на четвъртините. Ясно е, че техният знаменател е 4. Нека обърнем внимание на числителите. Числителят за средата на първата четвърт е 1π (но не е обичайно да се пише 1). Числителят за средата на втората четвърт е 3π. Числителят за средата на третата четвърт е 5π. Числителят за средата на четвъртата четвърт е 7π. Оказва се, че в числителите на средата на четвъртините има първите четири нечетни числа във възходящ ред:
(1) π, 3π, 5π, 7π.
Освен това е много просто. Тъй като средните точки на всички четвъртинки имат 4 в знаменателя, ние вече ги знаем пълни имена: π / 4, 3π / 4, 5π / 4, 7π / 4.
Характеристики на числовия кръг. Сравнение с числовата права.
Както знаете, на числовата права всяка точка съответства единствено число... Например, ако точка А на права линия е равна на 3, тогава тя вече не може да бъде равна на друго число.
В числовия кръг всичко е различно, тъй като е кръг. Например, за да стигнете от точка А на окръжността до точка M, можете да го направите като по права линия (само след преминаване на дъга) или можете да обиколите целия кръг и след това да стигнете до точка M. заключение:
Нека точка M е равна на някакво число t. Както знаем, обиколката е 2π. Това означава, че можем да запишем точката на окръжността t по два начина: t или t + 2π. Това са еквивалентни стойности.
Тоест t = t + 2π. Единствената разлика е, че в първия случай сте стигнали до точка M веднага, без да правите окръжност, а във втория случай сте направили кръг, но в крайна сметка се озовавате в същата точка M. Има две, три и двеста такива кръга.... Ако обозначите броя на кръговете с буквата к, тогава получаваме нов израз:
t = t + 2π к.
Оттук и формулата:
Числово кръгово уравнение
(второто уравнение е в раздела "Синус, косинус, тангенс, котангенс"):
x 2 + y 2 = 1 |
Цифров кръге единична окръжност, чиито точки съответстват на определени реални числа.
Единичната окръжност е окръжност с радиус 1.
Общ изглед на кръга с числа.
1) Радиусът му се приема като мерна единица.
2) Хоризонталните и вертикалните диаметри разделят числовия кръг на четири четвърти. Те се наричат съответно първо, второ, трето и четвърто тримесечие.
3) Хоризонталния диаметър се обозначава AC, като A е крайният правоточка.
Вертикалният диаметър е обозначен като BD, като B е най-високата точка.
съответно:
първата четвърт е дъгата AB
втора четвърт - дъга пр.н.е
трета четвърт - CD арка
четвърта четвърт - дъга DA
4) Началната точка на числовия кръг е точка А.
Преброяването по цифровата окръжност може да се извърши както по посока на часовниковата стрелка, така и обратно.
Отчитане от точка А срещупо часовниковата стрелка се извиква положителна посока.
Отчитане от точка А Напо часовниковата стрелка се извиква отрицателна посока.
Числова окръжност в координатната равнина.
Центърът на радиуса на числовата окръжност съответства на началото (число 0).
Хоризонталния диаметър съответства на оста х, вертикални - оси г.
Начална точка А на числов кръгty е на остахи има координати (1; 0).
Имената и местоположенията на основните точки от числовия кръг:
Как да запомните имената на числов кръг.
Има няколко прости шаблона, които ще ви помогнат да запомните лесно основните имена на кръга с числа.
Преди да започнем, припомнете си: броенето се извършва в положителна посока, тоест от точка A (2π) обратно на часовниковата стрелка.
1) Да започнем с крайните точки на координатните оси.
Началната точка е 2π (най-дясната точка на оста NSравно на 1).
Както знаете, 2π е дължината на окръжност. Това означава, че половината от окръжността е 1π или π. ос NSразделя кръга наполовина. Съответно, най-лявата точка на оста NSравно на -1 се нарича π.
Най-високата точка на оста вравно на 1 разполовява горния полукръг. Така че, ако полукръгът е π, тогава половината от полукръг е π / 2.
В същото време π / 2 също е четвърт от кръга. Преброяваме три такива четвъртинки от първата до третата - и ще стигнем до най-ниската точка на оста вравно на -1. Но ако включва три четвърти, тогава името му е 3π / 2.
2) Сега да преминем към останалите точки. Моля, обърнете внимание: всички противоположни точки имат един и същ знаменател - и това са противоположни точки и спрямо оста в, и спрямо центъра на осите, и спрямо оста NS... Това ще ни помогне да знаем техните точкови стойности, без да се тъпчем.
Просто трябва да запомните значението на точките от първата четвърт: π / 6, π / 4 и π / 3. И тогава ще "видим" някои модели:
- Относно ос в
в точките от второто тримесечие, срещу точките от първото тримесечие, числата в числителите са с 1 по-малко от стойностите на знаменателите. Например, да вземем точката π / 6. Неговата противоположна точка спрямо оста всъщо има 6 в знаменателя и 5 в числителя (1 по-малко). Тоест името на тази точка: 5π / 6. Точката срещу π / 4 също има 4 в знаменателя и 3 в числителя (1 по-малко от 4) - тоест това е точката 3π / 4.
Точката срещу π / 3 също има 3 в знаменателя и 1 по-малко в числителя: 2π / 3.
- Относно центъра на координатните осиобратното е вярно: числата в числителите на противоположни точки (в третото тримесечие) са с 1 повече от стойността на знаменателите. Вземете отново точката π / 6. Точката срещу нея спрямо центъра също има 6 в знаменателя, а числото в числителя е с 1 повече - тоест е 7π / 6.
Точката, противоположна на точката π / 4, също има 4 в знаменателя, а числото в числителя е с 1 повече: 5π / 4.
Точката, противоположна на точката π / 3, също има 3 в знаменателя, а числото в числителя е с 1 повече: 4π / 3.
- Относно ос NS(четвърто тримесечие)въпроса е по-сложен. Тук е необходимо да добавите към стойността на знаменателя число, което е с 1 по-малко - тази сума ще бъде равна на числовата част на числителя на противоположната точка. Нека започнем отново с π / 6. Добавете към знаменателя 6 число, което е с 1 по-малко от това число - тоест 5. Получаваме: 6 + 5 = 11. Това означава, че обратното на него спрямо оста NSточката ще има 6 в знаменателя и 11 в числителя - тоест 11π / 6.
Точка π / 4. Добавяме към стойността на знаменателя числото с 1 по-малко: 4 + 3 = 7. Това означава, че обратното на него спрямо оста NSточката има в знаменателя 4, а в числителя 7 - тоест 7π / 4.
Точка π / 3. Знаменателят е 3. Добавете едно число по-малко към 3 - тоест 2. Получаваме 5. Това означава, че противоположната точка има 5 в числителя - и това е точката 5π / 3.
3) Още един модел за точките в средата на четвъртините. Ясно е, че техният знаменател е 4. Нека обърнем внимание на числителите. Числителят за средата на първата четвърт е 1π (но не е обичайно да се пише 1). Числителят за средата на втората четвърт е 3π. Числителят за средата на третата четвърт е 5π. Числителят за средата на четвъртата четвърт е 7π. Оказва се, че в числителите на средата на четвъртините има първите четири нечетни числа във възходящ ред:
(1) π, 3π, 5π, 7π.
Освен това е много просто. Тъй като средните точки на всички четвъртинки имат 4 в знаменателя, вече знаем пълните им имена: π / 4, 3π / 4, 5π / 4, 7π / 4.
Характеристики на числовия кръг. Сравнение с числовата права.
Както знаете, на числовата права всяка точка съответства на едно число. Например, ако точка А на права линия е равна на 3, тогава тя вече не може да бъде равна на друго число.
В числовия кръг всичко е различно, тъй като е кръг. Например, за да стигнете от точка А на окръжността до точка M, можете да го направите като по права линия (само след преминаване на дъга) или можете да обиколите целия кръг и след това да стигнете до точка M. заключение:
Нека точка M е равна на някакво число t. Както знаем, обиколката е 2π. Това означава, че можем да запишем точката на окръжността t по два начина: t или t + 2π. Това са еквивалентни стойности.
Тоест t = t + 2π. Единствената разлика е, че в първия случай сте стигнали до точка M веднага, без да правите окръжност, а във втория случай сте направили кръг, но в крайна сметка се озовавате в същата точка M. Има две, три и двеста такива кръга.... Ако обозначите броя на кръговете с буквата н, тогава получаваме нов израз:
t = t + 2π н.
Оттук и формулата:
Много време се отделя на числовия кръг в 10 клас. Това се дължи на значението на този математически обект за целия курс на математиката.
Правилният подбор на учебните пособия е от голямо значение за доброто усвояване на материала. Най-ефективните такива инструменти включват видео уроци. V последните временате са на върха си. Затова авторът не изостава от времето и разработи такова прекрасно ръководство в помощ на учителите по математика - видеоурок на тема „Числова окръжност в координатната равнина“.
Този урок отнема 15:22 минути. Това на практика е максималното време, което един учител може да отдели за самообясняващ се материал по дадена тема. Тъй като е необходимо толкова много време за обяснение на новия материал, е необходимо да се изберат най-ефективните задачи и упражнения за консолидиране, както и да се подчертае друг урок, в който учениците ще решават задачи по тази тема.
Урокът започва с начертаване на числов кръг в координатна система. Авторът изгражда този кръг и обяснява действията си. След това авторът назовава точките на пресичане на числовата окръжност с координатните оси. По-долу се обяснява какви координати ще имат точките на окръжността в различни четвърти.
След това авторът припомня как изглежда уравнението на окръжността. А вниманието на публиката е представено с два модела с изображение на някои точки от кръг. Поради това в следващата стъпка авторът показва как координатите на точките от окръжността съответстват на определени числамаркирани върху шаблони. Това дава таблица със стойностите на променливите x и y в уравнението на кръга.
Освен това се предлага да се разгледа пример, при който е необходимо да се определят координатите на точките на кръг. Преди да започнете да решавате примера, се въвежда някаква забележка, която помага при решаването. И тогава на екрана се появява цялостно, добре структурирано и илюстрирано решение. Тук има и таблици, които улесняват разбирането на същността на примера.
След това се разглеждат още шест примера, които са по-малко трудоемки от първия, но не по-малко важни и отразяващи. основна идеяурок. Тук решенията са представени в изцяло, с подробен разказ и с визуални елементи. А именно, решението съдържа картинки, които илюстрират хода на решението, и математически запис, който формира математическата грамотност на учениците.
Учителят може да се ограничи до онези примери, които се разглеждат в урока, но това може да не е достатъчно за висококачествено усвояване на материала. Ето защо е изключително важно да изберете задачи за консолидиране.
Урокът може да бъде полезен не само за учители, чието време е постоянно ограничено, но и за ученици. Особено за тези, които получават семейно образование или се занимават със самообразование. Материалите могат да бъдат използвани от онези ученици, които са пропуснали урока по тази тема.
ТЕКСТ КОД:
Темата на нашия урок е "ЧИСЛЕВ КРЪГ В КООРДИНАТНАТА РАВНИНА"
Вече сме запознати с декартовата правоъгълна координатна система xOy. В тази координатна система поставяме числовата окръжност така, че центърът на окръжността да е подравнен с началото, а радиусът му се приема като мащабен сегмент.
Началната точка A на числовия кръг е подравнена с точката с координати (1; 0), B - с точката (0; 1), C - с (-1; 0) (минус едно, нула) и D - с (0; - 1) (нула, минус едно).
(виж снимка 1)
Тъй като всяка точка от числовата окръжност има своите координати в системата xOy (x за играта), то за точките от първата четвърт ikx е по-голямо от нула и играта е по-голяма от нула;
Втората четвърт на ikh по-малко от нулаи играта е по-голяма от нула,
за точки от третата четвърт ikx е по-малко от нула и y е по-малко от нула,
и за четвъртото тримесечие, ik е по-голямо от нула и ig е по-малко от нула
За всяка точка E (x; y) (с координати x, y) от числовия кръг са валидни следните неравенства: -1≤ x≤ 1, -1≤y≤1 (x е по-голямо или равно на минус едно, но по-малко или равно на едно; играта е по-голяма от която и да е равна на минус едно, но по-малка или равна на едно).
Припомнете си, че уравнението за окръжност с радиус R с център в началото има формата x 2 + y 2 = R 2 (x квадрат плюс y квадрат е равно на er квадрат). И за единичната окръжност R = 1, така че получаваме x 2 + y 2 = 1
(x квадрат плюс ig квадрат е равно на едно).
Нека намерим координатите на точките от числовия кръг, които са представени на две оформления (виж фиг. 2, 3)
Нека точката E, която съответства на
(pi до четири) - средата на първата четвърт, показана на фигурата. От точка E пускаме перпендикуляра EK към правата OA и разглеждаме триъгълника OEK. Ъгъл AOE = 45 0, тъй като дъгата AE е половината от дъгата AB. Следователно триъгълникът OEK е равнобедрен правоъгълен триъгълник с OK = EK. Това означава, че абсцисата и ординатата на точка Е са равни, т.е. x е равно на y. За да намерим координатите на точка E, решаваме системата от уравнения: (x е равно на играта - първото уравнение на системата и x е квадратът плюс игровият квадрат е едно - второто уравнение на системата). второто уравнение на системата, вместо x, заместваме y, получаваме 2y 2 = 1 (две игри са квадратни е равно на една), откъдето y = = (играта е равна на едно разделено на корен от две е равен на корен от две, разделен на две) (ординатата е положителна).Това означава, че точката E в правоъгълна координатна система има координати (,) (корен от две, разделен на две, корен от две, разделен на две).
Разсъждавайки по подобен начин, ще намерим координатите за точките, съответстващи на други числа от първото оформление и ще получим: точката с координати (-,) съответства (минус коренът от две, разделен на две, коренът от две, разделен на две); за - (-, -) (минус коренът от две, разделен на две, минус коренът от две, разделен на две); за (седем пи на четири) (,) (корен от две, разделен на две, минус корен от две, разделен на две).
Нека точка D съответства на (фиг. 5). Нека пуснем перпендикуляра от DP (de ne) към OA и разгледаме триъгълника ODP. Хипотенузата на този триъгълник OD е равна на радиуса на единичната окръжност, тоест една, а ъгълът DOP е равен на тридесет градуса, тъй като дъгата AD = digi AB (a de е равна на една трета от be) , а дъгата AB е равна на деветдесет градуса. Следователно, DP = (de pe е равно на една секунда O de е равно на една секунда) Тъй като кракът, който лежи срещу ъгъл от тридесет градуса, е равен на половината от хипотенузата, тоест y = (играта е равно на една секунда). Прилагайки теоремата на Питагор, получаваме OR 2 = OD 2 - DP 2 (o pe квадрат е равен на o de квадрат минус de pe квадрат), но OR = x (o pe е равно на x). Следователно, x 2 = OD 2 - DP 2 =
следователно, x 2 = (x квадрат е равен на три четвърти) и x = (x е равен на корен от три по две).
X е положителен, защото е през първото тримесечие. Получихме, че точка D в правоъгълна координатна система има координати (,), корен от три, разделен на две, една секунда.
Разсъждавайки по подобен начин, ще намерим координатите за точките, съответстващи на други числа от второто оформление и ще запишем всички получени данни в таблици:
Нека разгледаме някои примери.
ПРИМЕР 1. Намерете координатите на точките от числовата окръжност: а) С 1 ();
б) С2(); в) C3 (41π); г) C4 (- 26π). (це едно отговарящо на тридесет и пет пи на четири, це две съответстващи на минус четиридесет и девет пи на три, це три съответстващи на четиридесет и едно пи, це четири съответстващи на минус двадесет и шест пи).
Решение. Ще използваме полученото по-рано твърдение: ако точка D от числовата окръжност съответства на числото t, то тя съответства и на произволно число от вида t + 2πk (te плюс два пика), където ka е всяко цяло число, т.е. kϵZ (ka принадлежи на zet).
а) Получаваме = ∙ π = (8 +) ∙ π = + 2π ∙ 4. (тридесет и пет пи по четири е тридесет и пет по четири, умножено по пи е равно на сбора от осем и три четвърти, умножено по пи е три пи на четири плюс произведение от две пи на четири) Това означава, че числото тридесет и пет пи по четири съответства на същата точка от числовия кръг като числото три пи на четири. Използвайки таблица 1, получаваме С 1 () = С 1 (-;).
б) По същия начин координатите С 2: = ∙ π = - (16 + ∙ π = + 2π ∙ (- 8). Следователно числото
съответства на същата точка от числовия кръг като числото. И числото в числовия кръг съответства на същата точка като числото
(покажи второто оформление и таблица 2). За точка имаме x =, y =.
в) 41π = 40π + π = π + 2π ∙ 20. Следователно числото 41π съответства на същата точка от числовата окръжност като числото π - това е точка с координати (-1; 0).
г) - 26π = 0 + 2π ∙ (- 13), тоест числото - 26π съответства на същата точка от числовия кръг като числото нула - това е точка с координати (1; 0).
ПРИМЕР 2. Намерете върху числовата окръжност точките с ордината y =
Решение. Права y = пресича числовата окръжност в две точки. Една точка съответства на число, втората точка съответства на число,
Следователно получаваме всички точки, като добавим пълен оборот 2πk, където k показва колко пълни оборотиправи точка, т.е. получаваме,
и за произволно число всички числа от вида + 2πk. Често в такива случаи се казва, че сме получили две серии от стойности: + 2πk, + 2πk.
ПРИМЕР 3. Намерете върху числовия кръг точките с абсцисата x = и запишете на кои числа t отговарят.
Решение. Направо NS= пресича числовата окръжност в две точки. Една точка съответства на число (вижте второто оформление),
и следователно произволно число от вида + 2πk. И втората точка съответства на число и следователно на произволно число от вида + 2πk. Тези две серии от стойности могат да бъдат покрити от един запис: ± + 2πk (плюс минус две пи от три плюс два пика).
ПРИМЕР 4. Намерете върху числото кръг точките с ординатата в> и запишете на кои числа t отговарят.
Правата линия y = пресича числовата окръжност в две точки M и P. И неравенството y> съответства на точките на отворената дъга MP, това означава дъги без краища (тоест без u), когато се движите около окръжността обратно на часовниковата стрелка , започвайки от точка M и завършваща в точка P. Следователно, ядрото на аналитичното представяне на дъгата МР е неравенството< t < (тэ больше, чем пи на три, но меньше двух пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид + 2πk < t < + 2πk(тэ больше, чем пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).
ПРИМЕР 5. Намерете точки с ордината върху числов кръг в < и записать, каким числам t они соответствуют.
Правата y = пресича числовата окръжност в две точки M и P. И неравенството y< соответствуют точки открытой дуги РМ при движении по окружности против часовой стрелки, начиная с точки Р, а заканчивая в точке М. Значит, ядром аналитической записи дуги РМ является неравенство < t < (тэ больше, чем минус четыре пи на три, но меньше пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид
2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус четыре пи на три плюс два пи ка, но меньше пи на три плюс два пи ка).
ПРИМЕР 6. Намерете точки с абциса върху числов кръг NS> и запишете на кои числа t отговарят.
Правата линия x = пресича числовата окръжност в две точки M и P. Неравенството x> съответства на точките на отворената дъга PM при движение около окръжността обратно на часовниковата стрелка с начало в точка P, което съответства и завършва в точка M , което съответства. Следователно, ядрото на аналитичната нотация на дъгата PM е неравенството< t <
(te е повече от минус две пи на три, но по-малко от две пи на три), а аналитичният запис на самата дъга има формата + 2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус два пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).
ПРИМЕР 7. Намерете точки с абсцис върху числовата окръжност NS < и записать, каким числам t они соответствуют.
Права x = пресича числовата окръжност в две точки M и P. Неравенство x< соответствуют точки открытой дуги МР при движении по окружности против часовой стрелки с началом в точке М, которая соответствует, и концом в точке Р, которая соответствует. Значит, ядром аналитической записи дуги МР является неравенство < t <
(te е повече от две пи на три, но по-малко от четири пи на три), а аналитичният запис на самата дъга има формата + 2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем два пи на три плюс два пи ка, но меньше четырех пи на три плюс два пи ка).
