Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.
Събиране и използване на лична информация
Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране на конкретно лице или за връзка с него.
Може да бъдете помолени да предоставите личната си информация по всяко време, когато се свържете с нас.
По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме такава информация.
Каква лична информация събираме:
- Когато оставите заявка на сайта, ние може да събираме различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.
Как използваме вашата лична информация:
- Събрани от нас лична информацияни позволява да се свържем с вас и да докладваме уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
- От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
- Можем също така да използваме лична информация за вътрешни цели като одит, анализ на данни и различни изследванияза да подобрим услугите, които предоставяме и да Ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
- Ако участвате в теглене на награди, състезание или подобно промоционално събитие, ние може да използваме предоставената от вас информация, за да администрираме тези програми.
Разкриване на информация на трети страни
Ние не разкриваме получената от вас информация на трети страни.
Изключения:
- При необходимост - в съответствие със закона, съдебна процедура, v пробен период, и/или въз основа на обществени запитвания или запитвания от правителствени агенциина територията на Руската федерация - за разкриване на вашата лична информация. Можем също да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за сигурност, правоприлагане или други социално важни причини.
- В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на подходящата трета страна – правоприемник.
Защита на личната информация
Ние предприемаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.
Зачитане на вашата поверителност на ниво компания
За да сме сигурни, че вашата лична информация е безопасна, ние въвеждаме правилата за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно наблюдаваме прилагането на мерките за поверителност.
Много време се отделя на кръга с числа в 10 клас. Това се дължи на значението на този математически обект за целия курс на математиката.
Правилният подбор на учебните пособия е от голямо значение за доброто усвояване на материала. Най-ефективните такива инструменти включват видео уроци. V последните временате са на върха си. Ето защо авторът не изостава от времето и разработи такова прекрасно ръководство в помощ на учителите по математика - видеоурок на тема „Числовен кръг в координатната равнина“.
Този урок отнема 15:22 минути. Това на практика е максималното време, което един учител може да отдели за самообясняващ се материал по дадена тема. Тъй като е необходимо толкова много време за обяснение на нов материал, е необходимо да се изберат най-ефективните задачи и упражнения за консолидиране, както и да се подчертае друг урок, в който учениците ще решават задачи по тази тема.
Урокът започва с начертаване на числов кръг в координатна система. Авторът изгражда този кръг и обяснява действията си. След това авторът назовава точките на пресичане на числовата окръжност с координатните оси. По-долу се обяснява какви координати ще имат точките на окръжността в различни четвърти.
След това авторът припомня как изглежда уравнението на окръжността. А вниманието на публиката е представено с два модела с изображение на някои точки от кръг. Поради това в следващата стъпка авторът показва как координатите на точките от окръжността съответстват на определени числамаркирани върху шаблони. Това дава таблица със стойностите на променливите x и y в уравнението на кръга.
Освен това се предлага да се разгледа пример, при който е необходимо да се определят координатите на точките на кръг. Преди да започнете да решавате примера, се въвежда някаква забележка, която помага при решаването. И тогава на екрана се появява цялостно, добре структурирано и илюстрирано решение. Тук има и таблици, които улесняват разбирането на същността на примера.
След това се разглеждат още шест примера, които са по-малко трудоемки от първия, но не по-малко важни и отразяващи. основна идеяурок. Тук решенията са представени в изцяло, с подробен разказ и с визуални елементи. А именно, решението съдържа картинки, които илюстрират хода на решението, и математически запис, който формира математическата грамотност на учениците.
Учителят може да се ограничи до онези примери, които се разглеждат в урока, но това може да не е достатъчно за висококачествено усвояване на материала. Ето защо е изключително важно да изберете задачи за консолидиране.
Урокът може да бъде полезен не само за учители, чието време е постоянно ограничено, но и за ученици. Особено тези, които получават семейно образование или се занимават със самообразование. Материалите могат да бъдат използвани от онези ученици, които са пропуснали урока по тази тема.
ТЕКСТ КОД:
Темата на нашия урок е "ЧИСЛЕВ КРЪГ В КООРДИНАТНАТА РАВНИНА"
Вече сме запознати с декартовата правоъгълна координатна система xOy. В тази координатна система поставяме числов кръгтака че центърът на окръжността да е подравнен с началото, а радиусът му се приема като мащабен сегмент.
Началната точка A на числовия кръг е подравнена с точка с координати (1; 0), B - с точка (0; 1), C - с (-1; 0) (минус едно, нула) и D - с (0; - 1) (нула, минус едно).
(виж снимка 1)
Тъй като всяка точка от числовата окръжност има своите координати в системата xOy (x за играта), то за точките от първата четвърт ikx е по-голямо от нула и играта е по-голяма от нула;
Втората четвърт на ikh по-малко от нулаи играта е по-голяма от нула,
за точки от третата четвърт ikx е по-малко от нула и y е по-малко от нула,
и за четвъртото тримесечие, ik е по-голямо от нула и ig е по-малко от нула
За всяка точка E (x; y) (с координати x, y) от числовия кръг са валидни следните неравенства: -1≤ x≤ 1, -1≤y≤1 (x е по-голямо или равно на минус едно, но по-малко или равно на едно; играта е по-голяма от която и да е равна на минус едно, но по-малка или равна на едно).
Припомнете си, че уравнението за окръжност с радиус R с център в началото има формата x 2 + y 2 = R 2 (x квадрат плюс y квадрат е равно на er квадрат). И за единичната окръжност R = 1, така че получаваме x 2 + y 2 = 1
(x квадрат плюс ig квадрат е равно на едно).
Нека намерим координатите на точките от числовия кръг, които са представени на две оформления (виж фиг. 2, 3)
Нека точката E, която съответства на
(pi до четири) - средата на първата четвърт, показана на фигурата. От точка E пускаме перпендикуляра EK към правата OA и разглеждаме триъгълника OEK. Ъгъл AOE = 45 0, тъй като дъгата AE е половината от дъгата AB. Следователно триъгълникът OEK е равнобедрен правоъгълен триъгълник с OK = EK. Това означава, че абсцисата и ординатата на точка Е са равни, т.е. x е равно на y. За да намерим координатите на точка E, решаваме системата от уравнения: (x е равно на играта - първото уравнение на системата и x квадратът плюс игровия квадрат е едно - второто уравнение на системата). второто уравнение на системата, вместо x, заместваме y, получаваме 2y 2 = 1 (две игри са квадратни е равно на една), откъдето y = = (играта е равна на едно разделено на корен от две е равен на корен от две, разделен на две) (ординатата е положителна).Това означава, че точката E в правоъгълна координатна система има координати (,) (корен от две, разделен на две, корен от две, разделен на две).
Разсъждавайки по подобен начин, ще намерим координатите за точките, съответстващи на други числа от първото оформление и ще получим: точката с координати (-,) съответства (минус коренът от две, разделен на две, коренът от две, разделен на две); за - (-, -) (минус коренът от две, разделен на две, минус коренът от две, разделен на две); за (седем пи на четири) (,) (корен от две, разделен на две, минус корен от две, разделен на две).
Нека точка D съответства на (фиг. 5). Нека пуснем перпендикуляра от DP (de ne) към OA и разгледаме триъгълника ODP. Хипотенузата на този триъгълник OD е равна на радиуса на единичната окръжност, тоест една, а ъгълът DOP е равен на тридесет градуса, тъй като дъгата AD = digi AB (a de е равна на една трета от be) , а дъгата AB е равна на деветдесет градуса. Следователно, DP = (de pe е равно на една секунда O de е равно на една секунда) Тъй като кракът, който лежи срещу ъгъл от тридесет градуса, е равен на половината от хипотенузата, тоест y = (играта е равно на една секунда). Прилагайки теоремата на Питагор, получаваме OR 2 = OD 2 - DP 2 (o pe квадрат е равен на o de квадрат минус de pe квадрат), но OR = x (o pe е равно на x). Следователно, x 2 = OD 2 - DP 2 =
следователно, x 2 = (x квадрат е равен на три четвърти) и x = (x е равен на корен от три по две).
X е положителен, защото е през първото тримесечие. Получихме, че точка D в правоъгълна координатна система има координати (,), корен от три, разделен на две, една секунда.
Разсъждавайки по подобен начин, ще намерим координатите за точките, съответстващи на други числа от второто оформление и ще запишем всички получени данни в таблици:
Нека разгледаме някои примери.
ПРИМЕР 1. Намерете координатите на точките от числовата окръжност: а) С 1 ();
б) С2(); в) C3 (41π); г) C4 (- 26π). (це едно отговарящо на тридесет и пет пи на четири, це две съответстващи на минус четиридесет и девет пи на три, це три съответстващи на четиридесет и едно пи, це четири съответстващи на минус двадесет и шест пи).
Решение. Ще използваме полученото по-рано твърдение: ако точка D от числовата окръжност съответства на числото t, то тя съответства и на произволно число от вида t + 2πk (te плюс два пика), където ka е всяко цяло число, т.е. kϵZ (ka принадлежи на zet).
а) Получаваме = ∙ π = (8 +) ∙ π = + 2π ∙ 4. (тридесет и пет пи по четири е тридесет и пет по четири, умножено по пи е равно на сбора от осем и три четвърти, умножено по пи е три пи на четири плюс произведение от две пи на четири) Това означава, че числото тридесет и пет пи по четири съответства на същата точка от числовия кръг като числото три пи на четири. Използвайки таблица 1, получаваме С 1 () = С 1 (-;).
б) По същия начин координатите С 2: = ∙ π = - (16 + ∙ π = + 2π ∙ (- 8). Следователно числото
съответства на същата точка от числовия кръг като числото. И числото в числовия кръг съответства на същата точка като числото
(покажи второто оформление и таблица 2). За точка имаме x =, y =.
в) 41π = 40π + π = π + 2π ∙ 20. Следователно числото 41π съответства на същата точка от числовата окръжност като числото π - това е точка с координати (-1; 0).
г) - 26π = 0 + 2π ∙ (- 13), тоест числото - 26π съответства на същата точка от числовия кръг като числото нула - това е точка с координати (1; 0).
ПРИМЕР 2. Намерете върху числовата окръжност точките с ордината y =
Решение. Права y = пресича числовата окръжност в две точки. Една точка съответства на число, втората точка съответства на число,
Следователно получаваме всички точки, като добавим пълен оборот 2πk, където k показва колко пълни оборотиправи точка, т.е. получаваме,
и за произволно число всички числа от вида + 2πk. Често в такива случаи се казва, че сме получили две серии от стойности: + 2πk, + 2πk.
ПРИМЕР 3. Намерете върху числовия кръг точките с абсцисата x = и запишете на кои числа t отговарят.
Решение. Направо NS= пресича числовата окръжност в две точки. Една точка съответства на число (вижте второто оформление),
и следователно произволно число от вида + 2πk. И втората точка съответства на число и следователно на произволно число от вида + 2πk. Тези две серии от стойности могат да бъдат покрити от един запис: ± + 2πk (плюс минус две пи от три плюс два пика).
ПРИМЕР 4. Намерете върху числото кръг точките с ординатата в> и запишете на кои числа t отговарят.
Правата линия y = пресича числовата окръжност в две точки M и P. И неравенството y> съответства на точките на отворената дъга MP, това означава дъги без краища (тоест без u), когато се движите около окръжността обратно на часовниковата стрелка , започвайки от точка M и завършваща в точка P. Следователно, ядрото на аналитичното представяне на дъгата МР е неравенството< t < (тэ больше, чем пи на три, но меньше двух пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид + 2πk < t < + 2πk(тэ больше, чем пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).
ПРИМЕР 5. Намерете точки с ордината върху числов кръг в < и записать, каким числам t они соответствуют.
Правата y = пресича числовата окръжност в две точки M и P. И неравенството y< соответствуют точки открытой дуги РМ при движении по окружности против часовой стрелки, начиная с точки Р, а заканчивая в точке М. Значит, ядром аналитической записи дуги РМ является неравенство < t < (тэ больше, чем минус четыре пи на три, но меньше пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид
2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус четыре пи на три плюс два пи ка, но меньше пи на три плюс два пи ка).
ПРИМЕР 6. Намерете точки с абциса върху числов кръг NS> и запишете на кои числа t отговарят.
Правата линия x = пресича числовата окръжност в две точки M и P. Неравенството x> съответства на точките на отворената дъга PM при движение около окръжността обратно на часовниковата стрелка с начало в точка P, което съответства и завършва в точка M , което съответства. Следователно, ядрото на аналитичната нотация на дъгата PM е неравенството< t <
(te е повече от минус две пи на три, но по-малко от две пи на три), а аналитичният запис на самата дъга има формата + 2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус два пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).
ПРИМЕР 7. Намерете точки с абсцис върху числовата окръжност NS < и записать, каким числам t они соответствуют.
Права x = пресича числовата окръжност в две точки M и P. Неравенство x< соответствуют точки открытой дуги МР при движении по окружности против часовой стрелки с началом в точке М, которая соответствует, и концом в точке Р, которая соответствует. Значит, ядром аналитической записи дуги МР является неравенство < t <
(te е повече от две пи на три, но по-малко от четири пи на три), а аналитичният запис на самата дъга има формата + 2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем два пи на три плюс два пи ка, но меньше четырех пи на три плюс два пи ка).
Определение 1. Числовата ос ( числова линия, координатна права) Ox се нарича правата линия, на която е избрана точка O произход (произход)(фиг. 1), посока
О → х
посочено като положителна посокаи се маркира сегмент, чиято дължина се приема като единица дължина.
Определение 2. Сегмент, чиято дължина се приема като единица дължина, се нарича мащаб.
Всяка точка от числовата ос има координата, която е реално число. Координатата на точка О е нула. Координатата на произволна точка A, лежаща върху лъча Ox, е равна на дължината на отсечката OA. Координатата на произволна точка A от числовата ос, която не лежи върху лъча Ox, е отрицателна и по абсолютна стойност е равна на дължината на отсечката OA.
Определение 3. Правоъгълна декартова координатна система Oxy на равнинатаобадете се на двама взаимно перпендикулярночислови оси Ox и Oy с същия мащаби обща референтна точкав точка O и така, че въртенето от лъч Ox под ъгъл от 90 ° до лъч Oy се извършва в посока обратно на часовниковата стрелка(фиг. 2).
Забележка. Правоъгълната декартова координатна система Oxy, показана на фигура 2, се нарича дясна координатна система, За разлика от лява координатна система, при който въртенето на лъча Ox под ъгъл от 90 ° спрямо лъча Oy се извършва по посока на часовниковата стрелка. В това ръководство ние разгледайте само десните координатни системибез да го посочва.
Ако въведем някаква система от правоъгълни декартови координати Oxy на равнината, тогава всяка точка от равнината придобива две координати – абсцисаи ординат, които се изчисляват по следния начин. Нека A е произволна точка от равнината. Нека пуснем от точка А перпендикулярите AA 1 и AA 2 към линиите Ox и Oy съответно (фиг. 3).
Определение 4. Абсцисата на точка А е координатата на точката А 1 по цифровата ос Ox, ординатата на точка A е координатата на точката А 2 на числовата ос Oy.
Обозначаване. Координати (абсциса и ордината) на точка A в правоъгълна декартова координатна система Oxy (фиг. 4) обикновено се обозначава А(х;г) или А = (х; г).
Забележка. Точка О се обади произход, има координати О(0 ; 0) .
Определение 5. В правоъгълна декартова координатна система Oxy числовата ос Ox се нарича абсцис, а числовата ос Oy се нарича ордината (фиг. 5).
Определение 6. Всяка правоъгълна декартова координатна система разделя равнината на 4 четвъртини (квадранти), номерирането на които е показано на фигура 5.
Определение 7. Равнината, на която е определена правоъгълна декартова координатна система, се нарича координатна равнина.
Забележка. Оста на абсцисата се определя в координатната равнина от уравнението г= 0, ординатната ос се определя в координатната равнина от уравнението х = 0.
Изявление 1. Разстояние между две точкикоординатна равнина
А 1 (х 1 ;г 1) и А 2 (х 2 ;г 2)
изчислено според формулата
Доказателство . Помислете за фигура 6.
| |А 1 А 2 | 2 = = (х 2 -х 1) 2 + (г 2 -г 1) 2 . | (1) |
следователно,
Q.E.D.
Уравнение на окръжност върху координатна равнина
Да разгледаме в координатната равнина Oxy (фиг. 7) окръжност с радиус R с център в точката А 0 (х 0 ;г 0) .
Дата: урок1
тема: Цифров кръг върху координатна права
цели:въвеждат концепцията за числов модел на кръг в декартова и криволинейна координатна система; за формиране на способността за намиране на декартовите координати на точки от числовия кръг и извършване на обратното действие: знаейки декартовите координати на точка, определете нейната числена стойност върху числовия кръг.
По време на занятията
I. Организационен момент.
II. Обяснение на новия материал.
1. След като поставихме числовата окръжност в декартовата координатна система, ние анализираме подробно свойствата на точките от числовия кръг, разположени в различни координатни четвъртини.
За точка Мчислови кръг използва нотация М(T), ако говорим за криволинейната координата на точката М, или запис М (NS;в), когато става въпрос за декартови координати на точка.
2. Намиране на декартовите координати на "добри" точки от числовия кръг. Става дума за преминаване от запис М(T) Да се М (NS;в).
3. Намиране на знаците на координатите на "лошите" точки на числовия кръг. Ако например М(2) = М (NS;в), тогава NS 0; в 0. (учениците се научават да определят знаците на тригонометричните функции по четвъртините на числовия кръг.)
1.№ 5.1 (а; б), № 5.2 (а; б), № 5.3 (а; б).
Тази група задачи е насочена към развиване на способността за намиране на декартовите координати на "добрите" точки на числовия кръг.
Решение:
№ 5.1 (а).
2. No 5.4 (а; б), No 5.5 (а; б).
Тази група задачи е насочена към развиване на умения за намиране на криволинейните координати на точка по нейните декартови координати.
Решение:
№ 5.5 (б).
3. No 5.10 (а; б).
Това упражнение е насочено към развиване на способността за намиране на декартовите координати на "лошите" точки.
V. Резюме на урока.
Въпроси към учениците:
- Какъв е моделът - числов кръг върху координатна равнина?
- Как, знаейки криволинейните координати на точка от числов кръг, да намерим нейните декартови координати и обратно?
Домашна работа: No 5.1 (в; г) - 5.5 (в; г), No 5.10 (в; г).
Дата: урок2
ТЕМА: Решаване на задачи по модела "числова окръжност в координатната равнина"
цели:продължава формирането на способността за придвижване от криволинейни координати на точка от числов кръг към декартови координати; за формиране на умение за намиране на точки от числов кръг, чиито координати удовлетворяват дадено уравнение или неравенство.
По време на занятията
I. Организационен момент.
II. Устна работа.
1. Назовете криволинейните и декартовите координати на точките от числовия кръг.
2. Сравнете дъгата на окръжността и нейния аналитичен запис.
III. Обяснение на новия материал.
2. Намиране на точки от числовия кръг, чиито координати удовлетворяват даденото уравнение.
Разгледайте примери 2 и 3 със стр. 41–42 учебници.
Значението на тази „игра“ е очевидно: учениците се подготвят да решат най-простите тригонометрични уравнения във формата За да разберете същността на въпроса, първо трябва да научите учениците да решават тези уравнения с помощта на числов кръг, без да отивате в готовност -изработени формули.
Когато разглеждаме пример за намиране на точка с абциса, обръщаме внимание на учениците върху възможността за комбиниране на две серии от отговори в една формула:
3. Намиране на точки от числовия кръг, чиито координати удовлетворяват даденото неравенство.
Разгледайте примери 4-7 със стр. 43–44 учебници. Решавайки такива задачи, ние подготвяме учениците да решават тригонометрични неравенства на формата
След като разгледат примерите, учениците могат самостоятелно да формулират алгоритъм решения на неравенства от посочения тип:
1) от аналитичния модел преминаваме към геометричния модел - дъгата Г-Нчислов кръг;
2) съставяме ядрото на аналитичния запис Г-Н; за дъгата, която получаваме
3) съставете общ запис:
IV. Формиране на умения и способности.
1-ва група. Намиране на точка от числов кръг с координата, която удовлетворява дадено уравнение.
No 5.6 (а; б) - No 5.9 (а; б).
В процеса на работа по тези упражнения практикуваме стъпка по стъпка изпълнение: запис на сърцевината на точката, аналитичен запис.
2-ра група. Намиране на точки от числов кръг с координата, която удовлетворява дадено неравенство.
No 5.11 (а; б) - 5,14 (а; б).
Основното умение, което учениците трябва да придобият при изпълнение на тези упражнения, е съставянето на ядрото на аналитичния запис на дъгата.
V. Самостоятелна работа.
Вариант 1
1. Отбележете върху числов кръг точката, която съответства на даденото число, и намерете нейните декартови координати:
2. Намерете върху числов кръг точките с дадена абсцис и запишете кои числа Tсъвпадат.
3. Отбележете върху числов кръг точките с ордината, удовлетворяващи неравенството и запишете с двойно неравенство кои числа Tсъвпадат.
Вариант 2
1. Отбележете върху числов кръг точката, която съответства на даденото число, и намерете нейните декартови координати:
2. Намерете върху числовия кръг точките с дадена ордината в= 0,5 и запишете какви числа Tсъвпадат.
3. Отбележете върху числов кръг точките с абсцисата, отговарящи на неравенството и запишете с двойно неравенство кои числа Tсъвпадат.
Vi. Резюме на урока.
Въпроси към учениците:
- Как да намерим точка от окръжност, чиято абциса удовлетворява дадено уравнение?
- Как да намерим точка от окръжност, чиято ордината удовлетворява дадено уравнение?
- Назовете алгоритъма за решаване на неравенства с помощта на числов кръг.
Домашна работа:№ 5.6 (в; г) - № 5.9 (в; г),
No 5.11 (в; г) - No 5.14 (в; г).
Ако поставите кръг с номер на единица върху координатна равнина, тогава могат да се намерят координати за неговите точки. Числовият кръг е разположен така, че центърът му да съвпада с началната точка на равнината, тоест точката O (0; 0).
Обикновено на кръга с номер на единица точките са отбелязани, съответстващи от началото на кръга
- четвъртини - 0 или 2π, π / 2, π, (2π) / 3,
- средни четвъртини - π / 4, (3π) / 4, (5π) / 4, (7π) / 4,
- третини от четвъртините - π / 6, π / 3, (2π) / 3, (5π) / 6, (7π) / 6, (4π) / 3, (5π) / 3, (11π) / 6.
В координатната равнина с горното местоположение на единичната окръжност върху нея можете да намерите координатите, съответстващи на тези точки от окръжността.
Координатите на краищата на четвъртините се намират много лесно. В точка 0 на окръжността координатата x е 1, а y е 0. Може да се обозначи като A (0) = A (1; 0).
Краят на първото тримесечие ще бъде разположен на положителната ос y. Следователно B (π / 2) = B (0; 1).
Краят на втората четвърт е на отрицателната полуос: C (π) = C (-1; 0).
Край на третата четвърт: D ((2π) / 3) = D (0; -1).
Но как намирате координатите на средните точки на четвъртините? За да направите това, изградете правоъгълен триъгълник. Неговата хипотенуза е отсечка от центъра на окръжността (или началото) до средата на четвъртия кръг. Това е радиусът на окръжността. Тъй като окръжността е единица, хипотенузата е 1. След това се изтегля перпендикуляр от точката на окръжността към която и да е ос. Нека е към оста х. Получава се правоъгълен триъгълник, дължините на краката на който са координатите x и y на точката на окръжността.
Четвъртият кръг е 90º. А половин четвърт е 45 градуса. Тъй като хипотенузата е изтеглена до точката на средата на четвъртината, ъгълът между хипотенузата и катета, простиращ се от началото, е 45º. Но сборът от ъглите на всеки триъгълник е 180º. Следователно ъгълът между хипотенузата и другия катет също е 45º. Оказва се равнобедрен правоъгълен триъгълник.
От теоремата на Питагор получаваме уравнението x 2 + y 2 = 1 2. Тъй като x = y и 1 2 = 1, уравнението се опростява до x 2 + x 2 = 1. Решавайки го, получаваме x = √½ = 1 / √2 = √2 / 2.
Така координатите на точката са M 1 (π / 4) = M 1 (√2 / 2; √2 / 2).
В координатите на точките на средните точки на други квартали само знаците ще се променят, а модулите на стойностите ще останат същите, тъй като правоъгълният триъгълник ще бъде само обърнат. Получаваме:
M 2 ((3π) / 4) = M 2 (-√2 / 2; √2 / 2)
M 3 ((5π) / 4) = M 3 (-√2 / 2; -√2 / 2)
M 4 ((7π) / 4) = M 4 (√2 / 2; -√2 / 2)
При определяне на координатите на третите части от четвъртините на окръжността се изгражда и правоъгълен триъгълник. Ако вземем точката π / 6 и начертаем перпендикуляр на оста x, тогава ъгълът между хипотенузата и крака, лежащ на оста x, ще бъде 30º. Известно е, че катет, лежащ срещу ъгъл от 30 градуса, е равен на половината от хипотенузата. И така, намерихме y-координата, тя е равна на ½.
Знаейки дължините на хипотенузата и един от катетите, според Питагоровата теорема, намираме друг крак:
x 2 + (½) 2 = 1 2
х 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3 / 2
Така T 1 (π / 6) = T 1 (√3 / 2; ½).
За точката на втората трета на първата четвърт (π / 3) е по-добре да начертаете перпендикуляра на оста към оста y. Тогава ъгълът в началото на координатите също ще бъде 30º. Тук координатата x ще бъде равна на ½ и y, съответно, √3 / 2: T 2 (π / 3) = T 2 (½; √3 / 2).
За други точки през третото тримесечие знаците и редът на стойностите на координатите ще се променят. Всички точки, които са по-близо до оста x, ще имат x-координата по модул √3 / 2. Тези точки, които са по-близо до оста y, ще имат y-стойност от √3 / 2 в абсолютна стойност.
T 3 ((2π) / 3) = T 3 (-½; √3 / 2)
T 4 ((5π) / 6) = T 4 (-√3 / 2; ½)
T 5 ((7π) / 6) = T 5 (-√3 / 2; -½)
T 6 ((4π) / 3) = T 6 (-½; -√3 / 2)
T 7 ((5π) / 3) = T 7 (½; -√3 / 2)
T 8 ((11π) / 6) = T 8 (√3 / 2; -½)
