Si un segmento de longitud D es perpendicular a la línea de observación (además, es su perpendicular media) y está a una distancia L del observador, entonces la fórmula exacta para el tamaño angular de este segmento es: . Si el tamaño del cuerpo D es pequeño en comparación con la distancia del observador L, entonces el tamaño angular (en radianes) está determinado por la relación D/L, ya que para ángulos pequeños. A medida que el cuerpo se aleja del observador (L aumenta), el tamaño angular del cuerpo disminuye.
El concepto de tamaño angular es muy importante en la óptica geométrica, y especialmente en relación con el órgano de la visión: el ojo. El ojo es capaz de registrar exactamente el tamaño angular del objeto. Su tamaño lineal real lo determina el cerebro estimando la distancia al objeto y comparándolo con otros cuerpos ya conocidos.
en astronomia
El tamaño angular de un objeto astronómico visto desde la Tierra se suele llamar diámetro angular o diámetro visible. Debido a la lejanía de todos los objetos, los diámetros angulares de los planetas y las estrellas son muy pequeños y se miden en minutos de arco (′) y segundos (″) . Por ejemplo, el diámetro aparente promedio de la Luna es 31′05″ (debido a la elipticidad de la órbita lunar, el tamaño angular varía de 29′24″ a 33′40″). El diámetro aparente promedio del Sol es 31′59″ (varía de 31′27″ a 32′31″). Los diámetros aparentes de las estrellas son extremadamente pequeños, alcanzando varias centésimas de segundo para solo unas pocas luminarias.
ver también
Fundación Wikimedia. 2010 .
Vea qué es "Diámetro angular" en otros diccionarios:
DIÁMETRO ANGULAR, en astronomía, el diámetro aparente de un cuerpo celeste, expresado en medidas angulares (generalmente en grados de arco y minutos). Este es el ángulo, cuya parte superior es el ojo del observador y la base es el diámetro aparente del cuerpo observado. Si usted sabe... ... Diccionario enciclopédico científico y técnico.
diámetro angular- - [AS Goldberg. Diccionario de energía inglés ruso. 2006] Temas energía en general EN diámetro angular …
El diámetro aparente de un objeto, medido en unidades angulares, es decir, en radianes, grados, minutos de arco o segundos. El diámetro angular depende tanto del diámetro real como de la distancia al objeto... Diccionario astronómico
diámetro angular- kampinis skersmuo statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. diámetro angular; diámetro aparente vok. scheinbare Durchmesser, m; Winkeldürchmesser, m rus. diámetro aparente, m; diámetro angular, m pranc. diámetro angular, m; diámetro aparente, m … Fizikos terminų žodynas
diámetro angular del receptor- (η2) El ángulo en el que el tamaño más grandeárea aparente del receptor desde el centro inicial (β1 = β2 = 0°). [GOST R 41.104 2002] Temas para vehículos de motor ... Manual del traductor técnico
diámetro angular de la muestra reflectante- (η1) El ángulo en el que se observa el mayor tamaño del área visible de la muestra reflectante ya sea desde el centro de la fuente de luz o desde el centro del receptor (β1 = β2 = 0°). [GOST R 41.104 2002] Temas para vehículos de motor ... Manual del traductor técnico
diámetro angular del receptor (η 2)- 2.4.3 diámetro angular del receptor (η2): El ángulo en el que se observa la mayor dimensión del área aparente del receptor desde el centro de referencia (b1 = b2 = 0°). Fuente …
diámetro angular de la muestra reflectante (η 1)- 2.4.2 diámetro angular de la muestra retrorreflectante (η1): El ángulo en el que se observa la mayor área visible de la muestra retrorreflectante ya sea desde el centro de la fuente de luz o desde el centro del receptor ( b1 = b2 = 0°). Fuente … Diccionario-libro de referencia de términos de documentación normativa y técnica
En su significado original, este es un segmento que conecta dos puntos en un círculo y pasa por el centro del círculo, así como la longitud de este segmento. El diámetro es igual a dos radios. Contenido 1 Diámetro formas geométricas... Wikipedia
El diámetro del disco visible de estas luminarias, expresado en medida angular. Conociendo el diámetro aparente y la distancia a la Tierra, es fácil calcular el tamaño real de las estrellas. El diámetro angular varía con la distancia, y dado que todos los movimientos de las luminarias son relativos... diccionario enciclopédico F. Brockhaus e I. A. Efrón
la luna es lo mas objeto grande noche cielo estrellado. Los antiguos griegos pudieron calcular aproximadamente el diámetro de la luna.
- quinto más grande Satélite natural en el sistema solar, inferior en tamaño sólo a tres satélites de Júpiter y un satélite de Saturno. La luna es solo un poco más pequeña que Mercurio, el más pequeño de los planetas, y la mitad del tamaño de Marte. En relación al tamaño de su planeta, la Luna ocupa el primer lugar entre los satélites.
Dimensiones
Debido a la rotación alrededor del eje, está ligeramente "aplanado" en los polos, su diámetro en la línea de los polos es de 3471,94 km y en la línea del ecuador: 3476,28 km, que es aproximadamente una cuarta parte del diámetro de la Tierra. Dado que nuestro satélite tiene forma esférica, también se pueden calcular otras dimensiones geométricas: la longitud del ecuador de la Luna es de 10920 km, el volumen de nuestro satélite es 1/50 del de la Tierra y el área de la superficie es 13 veces menor que la de la Tierra. .
diámetro angular
Dado que la órbita lunar es una elipse, el diámetro angular de la Luna varía de 33'40" en su punto más cercano, apogeo, a 29'24" en su punto más lejano, perigeo. Cuando está bajo en el horizonte, parece más grande que en su cenit, debido a una ilusión óptica que aún no se ha explicado. Las dimensiones angulares del satélite casi coinciden con las dimensiones angulares, por lo que los eclipses solares totales son posibles cuando el disco de la luna cubre completamente al sol.
como se mide
El primero en intentar determinar el diámetro de la luna fue Aristarco de Samos en el siglo III a.C. mi. en base a las medidas tomadas durante Eclipse solar y cálculos posteriores basados en la geometría euclidiana. Debido al error de medición, los cálculos resultaron ser inexactos. Cien años después
El cielo arriba es el libro de texto de geometría más antiguo. De ahí vienen los primeros conceptos, como punto y círculo. Más bien, ni siquiera un libro de texto, sino un libro de problemas. En el que no hay una página con respuestas. Dos círculos del mismo tamaño, el Sol y la Luna, se mueven por el cielo, cada uno a su propia velocidad. Los objetos restantes, puntos luminosos, se mueven todos juntos, como si estuvieran unidos a una esfera que gira a una velocidad de 1 revolución cada 24 horas. Es cierto que hay excepciones entre ellos: 5 puntos se mueven como les plazca. Recogieron una palabra especial para ellos: "planeta", en griego, "vagabundo". Desde que existe la humanidad, ha estado tratando de desentrañar las leyes de este movimiento perpetuo. El primer avance ocurrió en el siglo III a. C., cuando los científicos griegos, que adoptaron una ciencia joven: la geometría, pudieron obtener los primeros resultados sobre la estructura del Universo. Esto será discutido.
Para tener una idea de la complejidad de la tarea, considere el siguiente ejemplo. Imagine una bola luminosa con un diámetro de 10 cm, suspendida inmóvil en el espacio. llamémoslo S. A su alrededor, a una distancia de poco más de 10 metros, circula una pequeña pelota Z 1 mm de diámetro, y alrededor Z a una distancia de 6 cm circula una bola muy pequeña L su diámetro es de un cuarto de milímetro. En la superficie de la bola del medio. Z viven criaturas microscópicas. Tienen una mente determinada, pero no pueden salir de los límites de su bola. Todo lo que pueden hacer es mirar las otras dos bolas. S y l La pregunta es, ¿pueden saber los diámetros de estas bolas y medir las distancias a ellas? No importa cuánto pienses, parece que el caso no tiene remedio. Dibujamos un modelo muy reducido sistema solar (S- Sol, Z- Tierra, L- Luna).
Este es el desafío al que se enfrentan los antiguos astrónomos. ¡Y lo resolvieron! Hace más de 22 siglos, usando nada más que la geometría más elemental, en el nivel de grado 8 (propiedades de una línea recta y un círculo, triángulos similares y el teorema de Pitágoras). Y, por supuesto, observar la Luna y el Sol.
Varios científicos trabajaron en la solución. Destacaremos dos. Este es el matemático Eratóstenes, quien midió el radio el mundo, y el astrónomo Aristarco, quien calculó el tamaño de la Luna, el Sol y las distancias a ellos. ¿Cómo lo hicieron?
Cómo se midió el globo
El hecho de que la Tierra no es plana, la gente lo sabe desde hace mucho tiempo. Los antiguos navegantes observaron cómo la imagen del cielo estrellado cambia gradualmente: se hacen visibles nuevas constelaciones, mientras que otras, por el contrario, van más allá del horizonte. Los barcos que navegan en la distancia "se sumergen en el agua", lo último en desaparecer de la vista son las puntas de sus mástiles. Se desconoce quién propuso por primera vez la idea de la esfericidad de la Tierra. Lo más probable es que fueran los pitagóricos, que consideraban que la pelota era la figura más perfecta. Un siglo y medio después, Aristóteles da varias pruebas de que la Tierra es una esfera. La principal: durante un eclipse lunar, la sombra de la Tierra es claramente visible en la superficie de la Luna, ¡y esta sombra es redonda! Desde entonces, se han hecho intentos constantes para medir el radio del globo. Dos maneras simples se exponen en los ejercicios 1 y 2. Las medidas, sin embargo, eran inexactas. Aristóteles, por ejemplo, se equivocó más de una vez y media. Se cree que la primera persona que hizo esto con gran precisión fue el matemático griego Eratóstenes de Cirene (276-194 a. C.). Su nombre ahora es conocido por todos gracias a tamiz de Eratóstenes una forma de encontrar números primos (Fig. 1).
Si elimina una unidad de la serie natural, elimine todas Números pares, excepto el primero (el propio número 2), luego todos los números que son múltiplos de tres, excepto el primero de ellos (el número 3), etc., entonces como resultado solo habrá números primos. Eratóstenes fue famoso entre sus contemporáneos como el mayor científico y enciclopedista, que se dedicó no solo a las matemáticas, sino también a la geografía, la cartografía y la astronomía. Él por mucho tiempo dirigió la Biblioteca de Alejandría, el centro de la ciencia mundial de esa época. Trabajando en la compilación del primer atlas de la Tierra (por supuesto, se trataba de la parte conocida en ese momento), decidió hacer una medición precisa del globo. La idea era esta. En Alejandría, todos sabían que en el sur, en la ciudad de Siena (actual Asuán), un día al año, al mediodía, el Sol llega a su cenit. La sombra del poste vertical desaparece, el fondo del pozo se ilumina durante varios minutos. Esto sucede el día del solsticio de verano, el 22 de junio, el día de la posición más alta del Sol en el cielo. Eratóstenes envía a sus ayudantes a Siena, y éstos establecen que exactamente al mediodía (según reloj de sol) El sol está exactamente en su cenit. A la misma hora (como está escrito en la fuente original: “a la misma hora”), es decir, al mediodía según el reloj de sol, Eratóstenes mide la longitud de la sombra desde el polo vertical en Alejandría. Resultó un triángulo. A B C (C.A.- seis, AB- sombra, fig. 2).
Entonces, un rayo de sol en Siena ( norte) es perpendicular a la superficie de la Tierra, lo que significa que pasa por su centro - el punto Z. Una viga paralela a ella en Alejandría ( PERO) forma un ángulo γ = ACB con verticales. Usando la igualdad de los ángulos cruzados en los paralelos, concluimos que AZN= γ. Si se denota por yo circunferencia, y a través X la longitud de su arco UN, entonces obtenemos la proporción . Ángulo γ en un triángulo A B C Eratóstenes midió, resultó 7.2 °. Valor X - nada más que la longitud del camino de Alejandría a Siena, unos 800 km. Eratóstenes lo calcula con precisión, basándose en el tiempo de viaje promedio de las caravanas de camellos que viajaban regularmente entre las dos ciudades, además de usar datos Bematistas - personas de una profesión especial que medían distancias con pasos. Ahora queda resolver la proporción, obteniendo la circunferencia (es decir, la longitud del meridiano terrestre) yo= 40000 kilómetros. Entonces el radio de la tierra R es igual yo/(2π), esto es aproximadamente 6400 km. El hecho de que la longitud del meridiano terrestre se exprese como un número redondo de 40.000 km no es de extrañar, si recordamos que se introdujo la unidad de longitud de 1 metro (en Francia en finales del XVIII siglo) como una cuarentamillonésima parte de la circunferencia de la Tierra (¡por definición!). Eratóstenes, por supuesto, usó una unidad de medida diferente: etapas(unos 200 m). Hubo varias etapas: egipcia, griega, babilónica, y se desconoce cuál de ellas usó Eratóstenes. Por lo tanto, es difícil juzgar con certeza la precisión de su medición. Además, se produjo un error inevitable debido a localización geográfica dos ciudades. Eratóstenes razonó de la siguiente manera: si las ciudades están en el mismo meridiano (es decir, Alejandría está ubicada exactamente al norte de Syene), entonces el mediodía ocurre en ellas al mismo tiempo. Por lo tanto, al realizar mediciones en el momento de la posición más alta del Sol en cada ciudad, deberíamos obtener el resultado correcto. Pero, de hecho, Alejandría y Siena están lejos de estar en el mismo meridiano. Ahora es fácil verificar esto mirando el mapa, pero Eratóstenes no tuvo esa oportunidad, solo trabajó en la compilación de los primeros mapas. Por lo tanto, su método (¡absolutamente correcto!) llevó a un error al determinar el radio de la Tierra. Sin embargo, muchos investigadores confían en que la precisión de la medición de Eratóstenes fue alta y que se equivocó en menos del 2%. La humanidad pudo mejorar este resultado solo después de 2 mil años, en mediados del siglo XIX siglo. Un grupo de científicos en Francia y la expedición de V. Ya. Struve en Rusia trabajaron en esto. Incluso en la era de los grandes descubrimientos geográficos, en el siglo XVI, la gente no pudo lograr el resultado de Eratóstenes y utilizó el valor incorrecto de la circunferencia de la tierra de 37.000 km. Ni Colón ni Magallanes sabían cuáles eran las verdaderas dimensiones de la Tierra y qué distancias tendrían que salvar. Pensaron que la longitud del ecuador era 3.000 km menos de lo que realmente era. Si lo hubieran sabido, es posible que no hubieran nadado.
¿Cuál es la razón de una precisión tan alta del método de Eratóstenes (por supuesto, si usó el derecho escenario)? Antes de él, las medidas eran local, sobre el distancias visibles al ojo humano, es decir, no más de 100 km. Estos son, por ejemplo, los métodos de los ejercicios 1 y 2. En este caso, los errores son inevitables debido al terreno, fenómenos atmosféricos, etc. Para lograr una mayor precisión, es necesario tomar medidas globalmente, a distancias comparables al radio de la Tierra. La distancia de 800 km entre Alejandría y Siena resultó ser suficiente.
Ejercicios
1. ¿Cómo calcular el radio de la Tierra según los siguientes datos: desde una montaña de 500 m de altura, el vecindario es visible a una distancia de 80 km?
2. ¿Cómo calcular el radio de la Tierra a partir de los siguientes datos: un barco de 20 m de altura, habiendo navegado a 16 km de la costa, desaparece por completo de la vista?
3. Dos amigos, uno en Moscú, el otro, en Tula, toman un poste de un metro de largo y los colocan verticalmente. En el momento, durante el día, cuando la sombra del poste alcanza su menor longitud, cada uno de ellos mide la longitud de la sombra. Sucedió en Moscú a cm, y en Tula - b ver Expresar el radio de la Tierra en términos de a y b. Las ciudades están ubicadas en el mismo meridiano a una distancia de 185 km.
Como se puede ver en el ejercicio 3, el experimento de Eratóstenes también se puede hacer en nuestras latitudes, donde el Sol nunca está en su cenit. Es cierto que esto requiere dos puntos necesariamente en el mismo meridiano. Si repetimos la experiencia de Eratóstenes para Alejandría y Siena, y al mismo tiempo hacemos mediciones en estas ciudades al mismo tiempo (ahora hay posibilidades técnicas para esto), obtendremos la respuesta correcta, y no importará cuál el meridiano Siena está encendido (¿por qué?).
Cómo se midieron la Luna y el Sol. Los tres pasos de Aristarco
La isla griega de Samos en el Egeo es ahora una provincia remota. Cuarenta kilómetros de largo, ocho kilómetros de ancho. En esta pequeña isla diferente tiempo nacieron tres los mayores genios- matemático Pitágoras, filósofo Epicuro y astrónomo Aristarco. Poco se sabe sobre la vida de Aristarco de Samos. Las fechas de vida son aproximadas: nació alrededor del 310 a. C., murió alrededor del 230 a. Lo que parecía, no lo sabemos, no ha sobrevivido ni una sola imagen (el monumento moderno a Aristarco en ciudad griega Tesalónica es solo la fantasía de un escultor). Pasó muchos años en Alejandría, donde trabajó en la biblioteca y en el observatorio. Su principal logro, el libro "Sobre las magnitudes y distancias del Sol y la Luna", según la opinión unánime de los historiadores, es una verdadera hazaña científica. En él calcula el radio del Sol, el radio de la Luna y las distancias de la Tierra a la Luna y al Sol. Lo hizo solo, usando una geometría muy simple y los conocidos resultados de las observaciones del Sol y la Luna. Aristarco no se detiene en esto, hace varias resultados clave sobre la estructura del universo, que estaban muy por delante de su tiempo. No es casualidad que posteriormente se le llamara el "Copérnico de la antigüedad".
El cálculo de Aristarchus se puede dividir condicionalmente en tres pasos. Cada paso se reduce a un simple problema geométrico. Los primeros dos pasos son bastante elementales, el tercero es un poco más complicado. En construcciones geométricas, denotaremos por Z, S y L centros de la Tierra, el Sol y la Luna, respectivamente, y a través R, $ y Rl son sus radios. Consideraremos a todos los cuerpos celestes como bolas, y a sus órbitas como círculos, como consideraba el propio Aristarco (aunque, como ahora sabemos, esto no es del todo cierto). Empezamos con el primer paso, y para ello observaremos un poco la luna.
Paso 1. ¿Cuántas veces más lejos está el Sol que la Luna?
Como sabes, la luna brilla reflejada luz de sol. Si toma una pelota y la ilumina desde un lado con un foco grande, en cualquier posición se iluminará exactamente la mitad de la superficie de la pelota. El límite del hemisferio iluminado es un círculo que se encuentra en un plano perpendicular a los rayos de luz. Así, el Sol siempre ilumina exactamente la mitad de la superficie de la Luna. La forma de la luna que vemos depende de cómo se encuentre esta mitad iluminada. A Luna nueva cuando la luna no es visible en el cielo, el sol la ilumina reverso. Luego, el hemisferio iluminado gira gradualmente hacia la Tierra. Comenzamos a ver una hoz delgada, luego un mes ("luna creciente"), luego un semicírculo (esta fase de la luna se llama "cuadratura"). Luego, día a día (o más bien, noche a noche) el semicírculo crece hasta Luna llena. Entonces comienza el proceso inverso: el hemisferio iluminado se aleja de nosotros. La luna "envejece", convirtiéndose gradualmente en un mes, gira hacia nosotros con su lado izquierdo, como la letra "C", y, finalmente, desaparece en la noche de la luna nueva. El período de una luna nueva a la siguiente dura aproximadamente cuatro semanas. Durante este tiempo, la luna hace turno completo alrededor de la Tierra. Desde la luna nueva hasta la mitad de la luna, pasa una cuarta parte del período, de ahí el nombre de "cuadratura".
La notable conjetura de Aristarco fue que, en cuadratura, los rayos del sol que iluminan la mitad de la Luna son perpendiculares a la línea recta que conecta la Luna con la Tierra. Entonces en un triangulo ZLSángulo de vértice L- recta (Fig. 3). Si ahora medimos el ángulo LZS, lo denotamos por α, entonces obtenemos que = cos α. Para simplificar, asumimos que el observador está en el centro de la Tierra. Esto no afectará mucho el resultado, ya que las distancias de la Tierra a la Luna y al Sol son mucho mayores que el radio de la Tierra. Entonces, habiendo medido el ángulo α entre los rayos ZL y ZS durante la cuadratura, Aristarco calcula la relación de las distancias a la Luna y al Sol. ¿Cómo atrapar simultáneamente el Sol y la Luna en el cielo? Esto se puede hacer temprano en la mañana. La dificultad surge por otra razón inesperada. En la época de Aristarco no había cosenos. Los primeros conceptos de trigonometría aparecerán más tarde, en las obras de Apolonio y Arquímedes. Pero Aristarco sabía qué eran los triángulos semejantes y eso era suficiente. Dibujar un pequeño triángulo rectángulo Z"L"S" con el mismo ángulo agudo α = L"Z"S" y midiendo sus lados, encontramos que , y esta razón es aproximadamente igual a 1/400.
Paso 2. ¿Cuántas veces más grande es el Sol que la Luna?
Para encontrar la razón de los radios del Sol y la Luna, Aristarco usa los eclipses solares (Fig. 4). Ocurren cuando la luna bloquea el sol. Con parcial, o, como dicen los astrónomos, privado, durante un eclipse, la Luna solo pasa sobre el disco del Sol, sin cubrirlo por completo. A veces, un eclipse de este tipo ni siquiera se puede ver a simple vista, el Sol brilla como en un día normal. Solo a través de un fuerte oscurecimiento, por ejemplo, vidrio ahumado, se puede ver cómo parte del disco solar está cubierto por un círculo negro. Con mucha menos frecuencia, un eclipse total ocurre cuando la Luna cubre completamente el disco solar durante varios minutos.
En este momento, oscurece, aparecen estrellas en el cielo. Los eclipses aterrorizaban a los pueblos antiguos, se consideraban presagios de tragedias. Un eclipse solar se observa de diferentes maneras en partes diferentes Tierra. Durante un eclipse total, aparece una sombra de la Luna en la superficie de la Tierra, un círculo cuyo diámetro no supera los 270 km. Sólo en aquellas regiones del globo por las que pasa esta sombra, se puede observar un eclipse total. Por lo tanto, en el mismo lugar, un eclipse total ocurre muy raramente, en promedio, una vez cada 200 a 300 años. Aristarco tuvo suerte: pudo observar un eclipse solar total con sus propios ojos. En un cielo sin nubes, el Sol gradualmente comenzó a oscurecerse y a disminuir de tamaño, llegó el crepúsculo. Por unos instantes el sol desapareció. Entonces apareció el primer rayo de luz, el disco solar comenzó a crecer, y pronto el Sol brilló con toda su fuerza. ¿Por qué es tan largo el eclipse? un tiempo corto? Aristarco responde: la razón es que la Luna tiene las mismas dimensiones aparentes en el cielo que el Sol. ¿Qué significa? Dibujemos un plano a través de los centros de la Tierra, el Sol y la Luna. La sección resultante se muestra en la Figura 5 a. Ángulo entre tangentes trazadas desde un punto Z a la circunferencia de la luna se le llama tamaño angular la luna, o ella diámetro angular. También se determina el tamaño angular del Sol. Si los diámetros angulares del Sol y la Luna son iguales, entonces tienen el mismo tamaño aparente en el cielo, y durante un eclipse, la Luna realmente bloquea completamente al Sol (Fig. 5 b), pero solo por un momento, cuando los rayos coinciden ZL y ZS. La fotografía de un eclipse solar total (ver Fig. 4) muestra claramente la igualdad de tamaños.
¡La conclusión de Aristarco resultó ser asombrosamente precisa! En realidad, los diámetros angulares promedio del Sol y la Luna difieren solo en un 1,5%. Nos vemos obligados a hablar de diámetros medios, ya que cambian durante el año, ya que los planetas no se mueven en círculos, sino en elipses.
Conectando el centro de la tierra Z con los centros del sol S y luna L, así como con puntos de contacto R y q, obtenemos dos triángulos rectángulos ZSP y ZLQ(ver figura 5 a). Son semejantes porque tienen un par de iguales Esquinas filosasβ/2. Como consecuencia, 
. De este modo, la razón de los radios del sol y la luna es igual a la razón de las distancias de sus centros al centro de la Tierra. Asi que, $/Rl= κ = 400. A pesar de que sus tamaños aparentes son iguales, el Sol resultó ser luna mas grande¡400 veces!
La igualdad de los tamaños angulares de la Luna y el Sol es una feliz coincidencia. No se sigue de las leyes de la mecánica. Muchos planetas del sistema solar tienen satélites: Marte tiene dos, Júpiter tiene cuatro (y varias decenas de más pequeños), y todos tienen diferentes tamaños angulares que no coinciden con el solar.
Ahora procedemos al paso decisivo y más difícil.
Paso 3. Calcular los tamaños del Sol y la Luna y sus distancias
Entonces, conocemos la proporción de los tamaños del Sol y la Luna y la proporción de sus distancias a la Tierra. Esta informacion pariente: restaura la imagen del mundo circundante solo hasta la similitud. Puedes quitar la Luna y el Sol de la Tierra 10 veces, aumentando su tamaño por el mismo factor, y la imagen visible desde la Tierra seguirá siendo la misma. Para encontrar las dimensiones reales cuerpos celestiales, es necesario correlacionarlos con algún tamaño conocido. Pero de todas las cantidades astronómicas, Aristarco todavía conoce solo el radio del globo. R= 6400 kilometros ¿Ayudará? ¿Aparece el radio de la Tierra en alguno de los fenómenos visibles que ocurren en el cielo? No es casualidad que digan "cielo y tierra", queriendo decir dos cosas incompatibles. Y, sin embargo, tal fenómeno existe. Este es un eclipse lunar. Con su ayuda, utilizando una construcción geométrica bastante ingeniosa, Aristarco calcula la relación entre el radio del Sol y el radio de la Tierra, y el circuito se cierra: ahora encontramos simultáneamente el radio de la Luna, el radio del Sol y al mismo tiempo las distancias de la Luna y del Sol a la Tierra.
A Eclipse lunar La luna entra en la sombra de la tierra. Escondiéndose detrás de la Tierra, la Luna se ve privada de la luz solar y, por lo tanto, deja de brillar. No desaparece por completo de la vista, ya que una pequeña parte de la luz solar es dispersada por la atmósfera terrestre y llega a la Luna, sin pasar por la Tierra. La luna se oscurece, adquiriendo un tono rojizo (los rayos rojos y naranjas atraviesan mejor la atmósfera). Al mismo tiempo, la sombra de la Tierra es claramente visible en el disco lunar (Fig. 6). forma redonda sombras confirma una vez más la esfericidad de la Tierra. Aristarco estaba interesado en el tamaño de esta sombra. Para determinar el radio del círculo de la sombra terrestre (lo haremos a partir de la fotografía de la figura 6), basta con resolver un sencillo ejercicio.
Ejercicio 4 Se da un arco de círculo en un plano. Usando un compás y una regla, construya un segmento de línea igual a su radio.
Habiendo completado la construcción, encontramos que el radio de la sombra de la tierra es aproximadamente el doble del radio de la luna. Pasemos ahora a la figura 7. grisárea sombreada de la sombra de la tierra en la que cae la luna durante un eclipse. Supongamos que los centros de los círculos S, Z y L acostarse en la misma línea. Dibujemos el diámetro de la luna. METRO 1 METRO 2, perpendicular a la línea LS. La continuación de este diámetro corta las circunferencias tangentes comunes del Sol y la Tierra en puntos D 1 y D 2. Entonces el segmento D 1 D 2 es aproximadamente igual al diámetro de la sombra de la Tierra. Hemos llegado al siguiente problema.
Tarea 1. Dadas tres circunferencias con centros S, Z y L acostado en la misma línea recta. Segmento de línea D 1 D 2 de paso L, perpendicular a la recta SL, y sus extremos se encuentran en las tangentes externas comunes a los círculos primero y segundo. Se sabe que la razón del segmento D 1 D 2 al diámetro del tercer círculo es igual a t, y la razón de los diámetros del primer y tercer círculo es ZS/ZL= k. Encuentra la razón de los diámetros del primer y segundo círculo.
Si resuelves este problema, entonces se encontrará la relación de los radios del Sol y la Tierra. Esto quiere decir que se hallará el radio del Sol, y con él el radio de la Luna. Pero no se puede solucionar. Puede intentarlo: la tarea carece de uno dado. Por ejemplo, el ángulo entre las tangentes externas comunes a los dos primeros círculos. Pero incluso si se conociera este ángulo, la solución usaría la trigonometría, que Aristarco desconocía (formulamos el problema correspondiente en el ejercicio 6). Él encuentra una manera más fácil. Dibujemos un diámetro A 1 A 2 primero circunferencia y diámetro B 1 B 2 el segundo, ambos son paralelos al segmento D 1 D 2 . Dejar C 1 y DE 2 - puntos de intersección del segmento D 1 D 2 con recto A 1 B 1 y PERO 2 A 2 respectivamente (Fig. 8). Entonces, como el diámetro de la sombra de la tierra, tomamos el segmento C 1 C 2 en lugar de un segmento D 1 D 2. ¡Para para! ¿Qué significa "tomar un segmento en lugar de otro"? ¡No son iguales! Segmento de línea C 1 C 2 se encuentra dentro del segmento D 1 D 2 medios C 1 C 2 <D 1 D 2. Sí, los segmentos son diferentes, pero casi igual. El hecho es que la distancia de la Tierra al Sol es muchas veces mayor que el diámetro del Sol (alrededor de 215 veces). Por lo tanto, la distancia ZS entre los centros del primer y segundo círculo excede significativamente sus diámetros. Esto significa que el ángulo entre las tangentes externas comunes a estos círculos es cercano a cero (en realidad es de aproximadamente 0,5°), es decir, las tangentes son "casi paralelas". Si fueran exactamente paralelos, entonces los puntos A 1 y B 1 coincidiría con los puntos de contacto, por lo tanto, el punto C 1 coincidiría D 1, y C 2 segundos D 2, lo que significa C 1 C 2 =D 1 D 2. Entonces los cortes C 1 C 2 y D 1 D 2 son casi iguales. La intuición tampoco le falló a Aristarco aquí: de hecho, ¡la diferencia entre las longitudes de los segmentos es menos de una centésima de un por ciento! Esto no es nada comparado con posibles errores de medición. Habiendo eliminado las líneas adicionales, incluidos los círculos y sus tangentes comunes, llegamos al siguiente problema.
Tarea 1". En los lados del trapecio PERO 1 PERO 2 DE 2 DE 1 puntos tomados B 1 y A 2 para que corte A 1 A 2 es paralelo a las bases. Dejar S, Z tu L- puntos medios de los segmentos PERO 1 PERO 2 , B 1 B 2 y C 1 C 2 respectivamente. Establecido C 1 C 2 mentiras un segmento METRO 1 METRO 2 con medio L. Se sabe que
y . Encontrar PERO 1 PERO 2 /B 1 B 2 .
Solución. Dado que , entonces , y por lo tanto triángulos A 2 SZ y METRO 1 LZ similar con coeficiente SZ/LZ= k. Como consecuencia, A 2 SZ= M 1 LZ, y así el punto Z se encuentra en la línea METRO 1 A 2 .
Igualmente, Z se encuentra en la línea METRO 2 PERO 1
(Figura 9). Porque C 1 C 2 = t METRO 1 METRO 2
y 
, después .
Como consecuencia,
Por otra parte,
Medio, 
. De esta igualdad obtenemos inmediatamente que .
Entonces, la razón de los diámetros del Sol y la Tierra es igual, y la Luna y la Tierra son iguales.
Sustituyendo las cantidades conocidas κ = 400 y t= 8/3, obtenemos que la Luna es aproximadamente 3,66 veces más pequeña que la Tierra, y el Sol es 109 veces más grande que la Tierra. Dado que el radio de la tierra R sabemos, encontramos el radio de la luna Rl= R/3.66 y el radio del Sol $= 109R.
Ahora las distancias de la Tierra a la Luna y al Sol se calculan en un solo paso, esto se puede hacer usando el diámetro angular. El diámetro angular β del Sol y la Luna es de aproximadamente medio grado (0,53° para ser exactos). Cómo lo midieron los antiguos astrónomos, hablaremos de esto más adelante. Dejar caer la tangente ZQ en la circunferencia de la luna, obtenemos un triángulo rectángulo ZLQ con un ángulo agudo β/2 (Fig. 10).
De ella encontramos 
, que es aproximadamente igual a 215 Rl, o 62 R. Del mismo modo, la distancia al Sol es 215 $ = 23 455R.
Todo. Se encuentran los tamaños del Sol y la Luna y las distancias a ellos.
Ejercicios
5. Demostrar que las rectas A 1 B 1 , A 2 B 2 y dos tangentes externas comunes a los círculos primero y segundo (ver Fig. 8) se cortan en un punto.
6. Resuelve el problema 1 si además conoces el ángulo entre las tangentes entre el primer y el segundo círculo.
7. Un eclipse solar puede observarse en algunas partes del globo y no observarse en otras. ¿Qué pasa con un eclipse lunar?
8. Demuestre que un eclipse solar solo se puede observar durante la luna nueva y que un eclipse lunar solo se puede observar durante la luna llena.
9. ¿Qué sucede en la Luna cuando ocurre un eclipse lunar en la Tierra?
Sobre los beneficios de los errores
De hecho, todo fue algo más complicado. La geometría recién se estaba formando, y muchas cosas que nos eran familiares desde el octavo grado de la escuela no eran del todo obvias en ese momento. Aristarco tuvo que escribir un libro completo para presentar lo que hemos presentado en tres páginas. Y con mediciones experimentales, tampoco todo fue fácil. Primero, Aristarco cometió un error al medir el diámetro de la sombra de la tierra durante un eclipse lunar, obteniendo la relación t= 2 en lugar de . Además, parecía proceder del valor erróneo del ángulo β, el diámetro angular del Sol, asumiendo que es de 2°. Pero esta versión es controvertida: Arquímedes en su tratado "Psammit" escribe que, por el contrario, Aristarchus usó el valor casi correcto de 0,5 °. Sin embargo, el error más terrible ocurrió en el primer paso, al calcular el parámetro κ, la relación entre las distancias de la Tierra al Sol y la Luna. En lugar de κ = 400, Aristarco obtuvo κ = 19. ¿Cómo podría estar más de 20 veces equivocado? Volvamos de nuevo al paso 1, Figura 3. Para encontrar la relación κ = ZS/ZL, Aristarco midió el ángulo α = SZL, y luego κ = 1/cos α. Por ejemplo, si el ángulo α fuera igual a 60°, entonces obtendríamos κ = 2, y el Sol estaría el doble de lejos de la Tierra que la Luna. Pero el resultado de la medición resultó ser inesperado: el ángulo α resultó ser casi correcto. Esto significaba que la pierna ZS muchas veces superior ZL. Aristarco obtuvo α = 87°, y luego cos α = 1/19 (recuerde que todos nuestros cálculos son aproximados). El verdadero valor del ángulo , y cos α =1/400. ¡Así que un error de medición de menos de 3° llevó a un error de 20 veces! Habiendo completado los cálculos, Aristarco llega a la conclusión de que el radio del Sol es 6,5 radios de la Tierra (en lugar de 109).
Los errores eran inevitables debido a los imperfectos instrumentos de medición de la época. Más importante aún, el método resultó ser correcto. Pronto (según los estándares históricos, es decir, después de unos 100 años), el destacado astrónomo de la antigüedad Hiparco (190 - ca. 120 a. C.) eliminará todas las imprecisiones y, siguiendo el método de Aristarco, calculará los tamaños correctos del Sol y la Luna. . Quizás el error de Aristarco resultó ser incluso útil al final. Antes de él, la opinión predominante era que el Sol y la Luna tienen el mismo tamaño (como le parece a un observador terrestre) o difieren ligeramente. Incluso la diferencia de 19 veces sorprendió a los contemporáneos. Por tanto, es posible que si Aristarco hubiera encontrado la razón correcta κ = 400, nadie hubiera creído en ella, y quizás el propio científico hubiera abandonado su método, considerando absurdo el resultado. Un principio bien conocido dice que la geometría es el arte de razonar bien a partir de dibujos mal ejecutados. Parafraseando, podemos decir que la ciencia en general es el arte de sacar conclusiones correctas de observaciones inexactas o incluso erróneas. Y Aristarco llegó a tal conclusión. 17 siglos antes que Copérnico, se dio cuenta de que el centro del mundo no es la Tierra, sino el Sol. Así, apareció por primera vez el modelo heliocéntrico y el concepto del sistema solar.
¿Qué hay en el centro?
La idea de la estructura del Universo que prevalecía en el Mundo Antiguo, que nos es familiar por las lecciones de la historia, era que en el centro del mundo hay una Tierra inmóvil, 7 planetas giran alrededor de ella en órbitas circulares, incluidos la Luna y el Sol (que también era considerado un planeta). Termina con una esfera celeste con estrellas unidas a ella. La esfera gira alrededor de la Tierra, dando una vuelta completa en 24 horas. A lo largo de los años, este modelo ha sido modificado muchas veces. Entonces, comenzaron a creer que la esfera celeste está inmóvil y que la Tierra gira alrededor de su eje. Luego comenzaron a corregir las trayectorias de los planetas: los círculos fueron reemplazados por cicloides, es decir, líneas que describen los puntos del círculo a medida que se mueve a lo largo de otro círculo (puedes leer sobre estas maravillosas líneas en los libros de G. N. Berman " Cycloid", A. I. Markushevich "Remarkable curves", así como en "Quantum": artículo de S. Verov "Secrets of the cycloid" No. 8, 1975, y artículo de S. G. Gindikin "Star Age of the cycloid", No. 6, 1985). Los cicloides estaban más de acuerdo con los resultados de las observaciones, en particular, explicaban los movimientos "hacia atrás" de los planetas. Eso - geocéntrico el sistema del mundo, en cuyo centro está la Tierra ("gay"). En el siglo II tomó su forma definitiva en el libro "Almagesto" de Claudio Ptolomeo (87-165), destacado astrónomo griego, homónimo de los reyes egipcios. Con el tiempo, algunas cicloides se volvieron más complicadas, se agregaron más y más círculos intermedios nuevos. Pero, en general, el sistema ptolemaico dominó durante aproximadamente un milenio y medio, hasta el siglo XVI, antes de los descubrimientos de Copérnico y Kepler. En un principio, Aristarco también se adhirió al modelo geocéntrico. Sin embargo, después de calcular que el radio del Sol era 6,5 veces el de la Tierra, planteó una simple pregunta: ¿por qué un Sol tan grande debería girar alrededor de una Tierra tan pequeña? Después de todo, si el radio del Sol es 6,5 veces mayor, ¡entonces su volumen es casi 275 veces mayor! Esto significa que el Sol debe estar en el centro del mundo. 6 planetas giran a su alrededor, incluida la Tierra. Y el séptimo planeta, la Luna, gira alrededor de la Tierra. así que había heliocéntrico sistema del mundo ("helios" - el Sol). Ya Aristarchus mismo notó que tal modelo explica mejor el movimiento aparente de los planetas en órbitas circulares, y está mejor de acuerdo con los resultados de las observaciones. Pero ni los científicos ni las autoridades oficiales lo aceptaron. Aristarco fue acusado de impiedad y perseguido. De todos los astrónomos de la antigüedad, solo Seleucus se convirtió en partidario del nuevo modelo. Nadie más lo aceptó, al menos los historiadores no tienen información sólida sobre este asunto. Incluso Arquímedes e Hiparco, que veneraban a Aristarco y desarrollaron muchas de sus ideas, no se atrevieron a colocar al Sol en el centro del mundo. ¿Por qué?
¿Por qué el mundo no adoptó el sistema heliocéntrico?
¿Cómo sucedió que durante 17 siglos los científicos no aceptaron el sistema simple y lógico del mundo propuesto por Aristarco? Y esto a pesar del hecho de que el sistema geocéntrico de Ptolomeo oficialmente reconocido fallaba a menudo, al no ser consistente con los resultados de las observaciones de los planetas y las estrellas. Tuve que agregar más y más círculos nuevos (los llamados bucles anidados) para la descripción "correcta" del movimiento de los planetas. El mismo Ptolomeo no temía las dificultades, escribió: "¿Por qué sorprenderse del complejo movimiento de los cuerpos celestes si su esencia nos es desconocida?" Sin embargo, para el siglo XIII, ¡estos círculos habían acumulado 75! El modelo se volvió tan engorroso que comenzaron a escucharse cautelosas objeciones: ¿realmente el mundo es tan complicado? Es ampliamente conocido el caso de Alfonso X (1226-1284), rey de Castilla y León, estado que ocupó parte de la España moderna. Él, el patrón de las ciencias y las artes, que reunió en su corte a cincuenta de los mejores astrónomos del mundo, dijo en una de las conversaciones científicas que “si el Señor me hubiera honrado y pedido mi consejo durante la creación del mundo, mucho habría sido arreglado de manera más simple.” Tal insolencia no fue perdonada ni siquiera a los reyes: Alfonso fue depuesto y enviado a un monasterio. Pero las dudas permanecieron. Algunos de ellos podrían resolverse colocando el Sol en el centro del Universo y adoptando el sistema de Aristarco. Sus obras eran bien conocidas. Sin embargo, durante muchos siglos, ninguno de los científicos se atrevió a dar ese paso. Las razones no fueron solo el miedo a las autoridades y la iglesia oficial, que consideraba que la teoría de Ptolomeo era la única verdadera. Y no sólo en la inercia del pensamiento humano: no es tan fácil admitir que nuestra Tierra no es el centro del mundo, sino un planeta cualquiera. Aún así, para un verdadero científico, ni el miedo ni los estereotipos son obstáculos en el camino hacia la verdad. El sistema heliocéntrico fue rechazado por razones bastante científicas, incluso podría decirse geométricas. Si suponemos que la Tierra gira alrededor del Sol, entonces su trayectoria es un círculo con un radio igual a la distancia de la Tierra al Sol. Como sabemos, esta distancia equivale a 23.455 radios terrestres, es decir, más de 150 millones de kilómetros. Esto significa que la Tierra se mueve 300 millones de kilómetros en medio año. ¡Tamaño gigante! Pero la imagen del cielo estrellado para el observador terrestre sigue siendo la misma. La Tierra se acerca o se aleja de las estrellas 300 millones de kilómetros, pero ni las distancias aparentes entre las estrellas (por ejemplo, la forma de las constelaciones) ni su brillo cambian. Esto significa que las distancias a las estrellas deben ser varios miles de veces mayores, es decir, ¡la esfera celeste debe tener dimensiones completamente inimaginables! Esto, por cierto, fue realizado por el mismo Aristarco, quien escribió en su libro: "El volumen de la esfera de estrellas fijas es tantas veces mayor que el volumen de una esfera con un radio Tierra-Sol, ¿cuántas veces el volumen de este último es mayor que el volumen del globo”, es decir, según Aristarco resultó que la distancia a las estrellas es (23 455) 2 R, esto es más de 3,5 billones de kilómetros. En realidad, la distancia del Sol a la estrella más cercana sigue siendo unas 11 veces mayor. (En el modelo que presentamos al principio, cuando la distancia de la Tierra al Sol es de 10 m, la distancia a la estrella más cercana es... ¡2700 kilómetros!) En lugar de un mundo compacto y acogedor, en el centro del cual se ubica la Tierra y que se coloca dentro de una esfera celeste relativamente pequeña, Aristarco dibujó el abismo. Y este abismo asustó a todos.
Venus, Mercurio y la imposibilidad de un sistema geocéntrico
Mientras tanto, la imposibilidad de un sistema geocéntrico del mundo, con movimientos circulares de todos los planetas alrededor de la Tierra, puede establecerse mediante un simple problema geométrico.
Tarea 2. Al plano se le dan dos circunferencias con un centro común. O, dos puntos se mueven uniformemente a lo largo de ellos: el punto METRO un circulo y un punto V en el otro. Demuestre que, o se mueven en la misma dirección con la misma velocidad angular, o en algún momento el ángulo MOVIMIENTO tonto.
Solución. Si los puntos se mueven en la misma dirección con diferentes velocidades, luego de un rato los rayos OM y V.O. estará alineado. próxima esquina MOVIMIENTO comienza a aumentar monótonamente hasta la siguiente coincidencia, es decir, hasta 360°. Por lo tanto, en algún punto es igual a 180°. El caso en que los puntos se mueven en diferentes direcciones se considera de la misma manera.
Teorema. Una situación en la que todos los planetas del sistema solar giren uniformemente alrededor de la Tierra en órbitas circulares es imposible.
Prueba. Dejar O- centro de la tierra METRO es el centro de Mercurio, y V- centro de Venus. Según observaciones a largo plazo, Mercurio y Venus tienen diferentes períodos de revolución y el ángulo MOVIMIENTO nunca supera los 76°. En virtud del resultado del Problema 2, se demuestra el teorema.
Por supuesto, los antiguos griegos se encontraron repetidamente con paradojas similares. Por eso, para salvar el modelo geocéntrico del mundo, obligaron a los planetas a moverse no en círculos, sino en cicloides.
La demostración del teorema no es del todo justa, ya que Mercurio y Venus no giran en el mismo plano, como en el problema 2, sino en diferentes. Aunque los planos de sus órbitas casi coinciden: el ángulo entre ellos es de solo unos pocos grados. En el Ejercicio 10, le sugerimos que elimine esta deficiencia y resuelva un análogo del Problema 2 para puntos que giran en diferentes planos. Otra objeción: tal vez el ángulo MOVIMIENTO a veces estúpido, pero no lo vemos, porque es día en la Tierra en este momento? Aceptamos esto también. En el ejercicio 11, debe probar que para Tres radios giratorios, siempre llegará un momento en el que formarán ángulos obtusos entre sí. Si Mercurio, Venus y el Sol están en los extremos de los radios, en ese momento Mercurio y Venus serán visibles en el cielo, pero el Sol no, es decir, será de noche en la Tierra. Pero ten cuidado: los ejercicios 10 y 11 son mucho más difíciles que el problema 2. Finalmente, en el ejercicio 12 te invitamos a calcular las distancias de Venus al Sol y de Mercurio al Sol (que, por supuesto, giran alrededor del Sol, no alrededor de la Tierra). Comprueba por ti mismo lo fácil que es después de haber aprendido el método de Aristarco.
Ejercicios
10. Dadas dos circunferencias en el espacio con un centro común O, dos puntos se mueven uniformemente a lo largo de ellos con diferentes velocidades angulares: el punto METRO un círculo y un punto V en el otro. Demostrar que en algún punto el ángulo MOVIMIENTO tonto.
11. Se dan tres circunferencias en un plano con un centro común O, tres puntos se mueven uniformemente a lo largo de ellos con diferentes velocidades angulares. Demostrar que en algún momento los tres ángulos entre rayos con vértice O dirigidos a estos puntos son obtusos.
12. Se sabe que la distancia angular máxima entre Venus y el Sol, es decir, el ángulo máximo entre los rayos dirigidos desde la Tierra hacia los centros de Venus y el Sol, es de 48°. Encuentra el radio de la órbita de Venus. Lo mismo para Mercurio, si se sabe que la distancia angular máxima entre Mercurio y el Sol es de 28°.
Toque final: medir los tamaños angulares del sol y la luna
Siguiendo paso a paso el razonamiento de Aristarco, sólo se nos pasó por alto un aspecto: ¿cómo se midió el diámetro angular del Sol? Aristarchus mismo no hizo esto, utilizando las medidas de otros astrónomos (aparentemente no del todo correcto). Recuerde que pudo calcular los radios del Sol y la Luna sin involucrar sus diámetros angulares. Mire nuevamente los pasos 1, 2 y 3: ¡en ninguna parte se usa el valor del diámetro angular! Solo se necesita calcular las distancias al Sol ya la Luna. Un intento de determinar el tamaño angular "a simple vista" no tiene éxito. Si le pide a algunas personas que calculen el diámetro angular de la Luna, la mayoría le dará un ángulo de 3 a 5 grados, que es muchas veces mayor que el valor real. La ilusión óptica afecta: la Luna blanca brillante contra el fondo del cielo oscuro parece enorme. Arquímedes (287-212 a. C.) fue el primero en llevar a cabo una medida matemáticamente rigurosa del diámetro angular del Sol y la Luna, y esbozó su método en el libro "Psammit" ("Cálculo de los granos de arena"). Era consciente de la complejidad de la tarea: “Obtener el valor exacto de este ángulo no es fácil, porque ni los ojos, ni las manos, ni los instrumentos con los que se hace la lectura dan la precisión suficiente”. Por tanto, Arquímedes no se propone calcular el valor exacto del diámetro angular del Sol, sólo lo estima por arriba y por abajo. Coloca un cilindro redondo al final de una regla larga, frente al ojo del observador. La regla se dirige hacia el Sol, y el cilindro se mueve hacia el ojo hasta que oscurece completamente al Sol. Luego, el observador se va y se marca un segmento al final de la regla. Minnesota, igual al tamaño de la pupila humana (Fig. 11).
Entonces el ángulo α 1 entre las líneas SRES y NQ menor que el diámetro angular del Sol, y el ángulo α 2 = POQ- más. hemos designado por PQ el diámetro de la base del cilindro, y a través de O - la mitad del segmento Minnesota. Entonces α 1< β < α 2 (докажите это в упражнении 13). Так Архимед находит, что угловой диаметр Солнца заключен в пределах от 0,45° до 0,55°.
No está claro por qué Arquímedes mide el Sol y no la Luna. Conocía bien el libro de Aristarco y sabía que los diámetros angulares del Sol y la Luna son iguales. La luna es mucho más conveniente de medir: no ciega los ojos y sus límites son más claramente visibles.
Algunos astrónomos antiguos midieron el diámetro angular del Sol en función de la duración de un eclipse solar o lunar. (Intente restaurar este método en el ejercicio 14). O puede hacer lo mismo sin esperar los eclipses, sino simplemente mirando la puesta de sol. Elijamos para este día el equinoccio de primavera del 22 de marzo, cuando el Sol sale exactamente por el este y se pone exactamente por el oeste. Esto significa que los puntos ascendentes mi y puesta de sol W diametralmente opuesta. Para un observador terrestre, el Sol se mueve en un círculo con un diámetro nuevo. El plano de este círculo forma un ángulo de 90° - γ con el plano del horizonte, donde γ es la latitud geográfica del punto METRO donde se encuentra el observador (por ejemplo, para Moscú γ = 55,5°, para Alejandría γ = 31°). La demostración se muestra en la Figura 12. La línea recta ZP- el eje de rotación de la Tierra, perpendicular al plano del ecuador. Latitud del punto METRO- ángulo entre segmento ZP y el plano del ecuador. Dibuja a través del centro del sol. S plano α, perpendicular al eje ZP.
El plano del horizonte toca el globo en un punto METRO. Para un observador en un punto METRO, el Sol durante el día se mueve en un círculo en el plano α con el centro R y radio PD. El ángulo entre el plano α y el plano del horizonte es igual al ángulo MZP, que es igual a 90° - γ, ya que el plano α es perpendicular a ZP, y el plano horizontal es perpendicular ZM. Entonces, en el día del equinoccio, el Sol se pone debajo del horizonte en un ángulo de 90 ° - γ. Por lo tanto, durante la puesta del sol, pasa por un arco de círculo igual a β/cos γ, donde β es el diámetro angular del Sol (Fig. 13). En cambio, en 24 horas pasa por este círculo una revolución completa, es decir, 360°.
Obtenemos la proporción donde Exactamente seis, no nueve, ya que Urano, Neptuno y Plutón se descubrieron mucho más tarde. Más recientemente, el 13 de septiembre de 2006, por decisión de la Unión Astronómica Internacional (IAU), Plutón perdió su estatus de planeta. Así que ahora hay ocho planetas en el sistema solar.
La verdadera razón de la caída en desgracia del rey Alfonso fue, aparentemente, la habitual lucha por el poder, pero su comentario irónico sobre la estructura del mundo sirvió como una buena razón para sus enemigos.
Nuestro satélite natural, la Luna, lleva más de un milenio atrayendo la atención de las personas. Es el segundo objeto más brillante en el cielo después del Sol y de muchas maneras influye en la vida en la tierra, por ejemplo, es gracias a la Luna que hay flujos y reflujos. La distancia a la luna fue medida por primera vez por el antiguo astrónomo y matemático griego Hiparco en el siglo II a.
Tamaño angular de la Luna
Primero, definamos los datos de entrada que necesitamos para los cálculos. Durante un eclipse solar total, podemos ver que el disco de la Luna se superpone a la superficie del Sol casi a la perfección. Para los astrónomos, esta observación sugiere que las dimensiones angulares de la Luna y el Sol son casi iguales. El diámetro angular es el ángulo entre dos rayos emitidos por los ojos del observador, que pasan a través de los puntos extremos opuestos del objeto medido (ver la figura a continuación).
El principio básico de medir el diámetro angular del Sol (se puede hacer clic).
No necesita ninguna herramienta especial para tomar medidas. En luna llena, dobla un pequeño trozo de papel para que cubra completamente el disco de la luna. Al dividir el ancho de la hoja por la distancia entre ella y tus ojos, obtienes el tamaño angular expresado en radianes. En este caso, no hay necesidad de aplicar una fórmula matemáticamente exacta, ya que para ángulos pequeños tgα ≈ α. ¡No tome tales medidas para el Sol! Puedes dañar seriamente tus ojos.
Determinar los tamaños angulares de objetos distantes y las distancias angulares entre objetos es una parte importante de las observaciones astronómicas y se mencionará repetidamente en futuros materiales. Se suelen utilizar minutos y segundos de arco para indicarlos. Para convertir minutos de arco a grados, simplemente divida el valor por 60, por ejemplo, el diámetro aparente de la Luna es de aproximadamente 30′ o 0,5 grados. La segunda unidad de medida, que se usa con frecuencia, son los radianes, le permite simplificar los cálculos preliminares y deshacerse de la trigonometría. Un radián es un ángulo que corresponde a un arco, cuya longitud es el radio del círculo (ver figura). Para convertir minutos de arco a radianes, multiplique por p/10800, por lo que obtenemos un valor de ~0.0087 para la Luna.
Ya conocemos el aproximado del artículo anterior, y también sabemos de la existencia de eclipses lunares, durante los cuales nuestro planeta proyecta una sombra sobre la superficie de la Luna. Para más cálculos, también necesitamos el tamaño angular de la sombra de la tierra en un eclipse lunar total. Es más de dos veces y media el diámetro de la Luna y, en consecuencia, es algo problemático medir la sombra directamente. Sin embargo, en el curso de las observaciones, es posible detectar el tiempo durante el cual la Luna estará completamente cubierta por la sombra de un borde de la Tierra por primera vez, y luego medir el tiempo hasta que comience la sombra del borde opuesto. para salir del disco lunar. Resolviendo la proporción, obtenemos un valor aproximado de 80′ o 0,023 radianes. Ahora que tenemos todos los datos de entrada necesarios, podemos comenzar los cálculos.
Distancia a la Luna
Todos los cálculos se basan en la geometría euclidiana simple que se muestra en la siguiente figura, que muestra esquemáticamente un eclipse lunar. Nos basaremos en la suposición de que la distancia entre la Tierra y el Sol es mucho mayor que la distancia a la Luna. Por lo tanto, podemos considerar el ángulo α igual al diámetro angular del Sol, que, a su vez, es aproximadamente igual al diámetro lunar.
El esquema para determinar la distancia a la luna según el método de Aristarco. Los cálculos fueron realizados por primera vez por Giparchus.
Revista "Naturaleza", No. 7, 2008
el diametro de la tierra es la base del triangulo A B C, pero por ahora, la longitud de la sombra desconocida para nosotros durante un eclipse lunar sirve como base A B C'. Estos triángulos isósceles son semejantes, ya que tienen los mismos ángulos, por lo tanto, la razón de sus alturas es igual al coeficiente de semejanza. Hacemos una proporción:
Si denotamos la distancia a la luna como L, entonces el diámetro de la sombra de la tierra será igual a RE ST = L * β. También la altura del triángulo. A B C' es igual a H L \u003d H Z - L, y la altura A B C es igual a H Ç = D Ç / α. Hagamos una serie de sustituciones:
Multiplicando la distancia a la Luna por su tamaño angular, obtenemos un diámetro aproximado de 3497 km, muy cercano a la realidad. A modo de comparación, proporcionamos datos modernos precisos: el semieje mayor es de 384 399 km, el diámetro promedio es de 3474 km. Resultó bastante bien, teniendo en cuenta la baja precisión de las medidas angulares. Puede calcular el diámetro de la sombra de la tierra usted mismo, ya hemos recibido todos los datos necesarios para esto.
Por el momento sabemos que la órbita de la Luna es elíptica con una excentricidad de 0,0549. En su punto más cercano (perigeo), el satélite se acerca a nosotros 356.400 km, y su distancia máxima (apogeo) es de 406.700 km. La distancia a la luna en nuestro tiempo se determina con una precisión fantástica utilizando la medición láser. El 21 de julio de 1969, los astronautas del programa Apolo 11 dejaron en la superficie de la Luna el primer reflector angular diseñado para este tipo de mediciones. La esencia del método es que se envía un rayo láser enfocado desde la Tierra al reflector (en la superficie lunar, el área del rayo es de aproximadamente 25 km 2), parte de la luz regresa al detector. Conociendo el tiempo exacto que tarda la luz en viajar de un lado a otro, así como la velocidad de la luz, se puede determinar fácilmente la distancia.
Casi todos sabemos que la Luna siempre está vuelta hacia la Tierra con el mismo lado. De los cursos de física de la escuela, también sabemos que la razón de esto son las mareas de la Tierra, que siempre nos ocultaron el lado "oscuro" de atrás de la Luna. El principio de captura de mareas postula que el planeta anfitrión casi siempre está ubicado en un punto del cielo de su satélite. Sin embargo, lo dije demasiado claro, porque de hecho esto es posible solo en condiciones ideales. El mundo, para nuestra felicidad, está lejos de ser ideal, lo que nos permite observar amaneceres y atardeceres completos de la Tierra en la Luna ...
Los astrónomos han notado durante mucho tiempo que la Luna "se balancea" de una manera peculiar durante el mes lunar, exponiéndonos al 10% del área del lado "oscuro". Como resultado, incluso antes del vuelo de la estación Luna 3, los astrónomos tenían mapas del 60 % de la superficie lunar.
Este fenómeno se llamó libración. Por el momento, hay 4 tipos de libraciones, pero nos centraremos en las dos principales: libraciones en latitud y longitud.
1. Las libraciones en latitud son causadas por la inclinación del eje de la rotación diaria de la Luna al plano de su órbita (amplitud de 6 ° 50 min), como resultado de lo cual la Luna nos "sustituye" o el norte o el polo Sur.
2. Las libraciones en longitud son causadas por la excentricidad distinta de cero de la órbita lunar.
La excentricidad de la órbita en una versión simplificada refleja el grado de desviación de la órbita de un satélite o planeta de un círculo perfecto. 0 significa una órbita perfectamente redonda. Más de 0, pero menos de 1, una órbita más o menos alargada (elíptica), con e=1 parabólica, y con e>1 hiperbólica. Como notó, la órbita se estira gradualmente a medida que la excentricidad aumenta de 0 a 1, rompiéndose en e=1 (alcanzando la segunda órbita espacial en esta órbita).
Libraciones de la Luna vistas desde la Tierra. 
La excentricidad de la Luna es en promedio de 0,05, lo que es suficiente para que aparezcan pequeñas desviaciones entre la velocidad de rotación de la Luna alrededor de la Tierra y la rotación de la propia Luna alrededor de su eje. Esto provoca una libración en longitud con una amplitud de 7° y 54 min.
Obviamente, ambos tipos de libración provocan el movimiento de la Tierra en el cielo de la Luna -donde el planeta azul describe una enorme elipse con un diámetro máximo de 18° durante el mes-. Teniendo en cuenta que las dimensiones angulares de la Tierra desde la Luna son “solo” de unos 2° (cuatro veces más grandes que las dimensiones de la Luna vista desde la Tierra), esto permitirá a los futuros colonos lunares observar, aunque lentos, pero espectaculares amaneceres y atardeceres de su planeta natal en ciertas zonas de la Luna.
Salida de la Tierra en "zonas de libración", polo lunar, latitudes medias y ecuador (programa Stellarium).
Sin embargo, los colonos menos pacientes bien pueden observar esto "en avance rápido" desde la órbita de la Luna (sonda Kaguya / JAXA).
Y una pequeña bonificación. Aunque Iapetus, la luna de Saturno, muy probablemente no tiene una puerta estelar donde el héroe del libro de Arthur Clarke "A Space Odyssey 2001" logró complacer, pero aún así, gracias a las irregularidades de la órbita de este satélite, uno puede observar hay amaneceres bastante épicos de El Señor de los Anillos.
