Regeln för addition och subtraktion av algebraiska bråk. Addition av algebraiska bråk

Ytterligare material
Kära användare, glöm inte att lämna dina kommentarer, feedback, förslag. Allt material kontrolleras av ett antivirusprogram.

Utbildnings- och träningshjälpmedel i onlinebutiken "Integral"
Manual till läroboken Muravina G.K. Manual för läroboken Makarychev Yu.N.

Vad är en algebraisk bråkdel?

En algebraisk bråkdel är ett uttryck av formen: $\frac(P)(Q)$.

Var:
P är täljaren för en algebraisk bråkdel.
Q är nämnaren för en algebraisk bråkdel.

Här är några exempel algebraiska bråk:

$\frac(a)(b)$, $\frac(12)(q-p)$, $\frac(7y-4)(y)$.

Grundläggande egenskaper för algebraiska bråk

Fastighet 1.
Både täljaren och nämnaren för ett bråk kan multipliceras med samma tal (antingen med ett monom eller med ett polynom). Som ett resultat kommer vi att få samma bråkdel, men presenterad i en annan form.

Annars kallas denna transformation identisk. Det används för att få ett algebraiskt (och inte bara) uttryck till en enklare form, och det blir bekvämare att arbeta med detta uttryck.

$\frac(a)(4b^2)=\frac(a*3b)(4b^2*3b)=\frac(3ab)(12b^3)$.

Vi har multiplicerat både täljaren och nämnaren med den monomiala $3b$. Som ett resultat fick vi en bråkdel identisk med den ursprungliga.

$\frac(a^2)(6b^3)=\frac(a^2*2)(6b^3*2)=\frac(2a^2)(12b^3)$.

Vid behov kan en algebraisk bråkdel multipliceras med ett primtal. I det här exemplet multiplicerade vi både täljaren och nämnaren med talet 2. Och återigen fick vi en bråkdel identisk med den ursprungliga.

Fastighet 2.
Både täljaren och nämnaren för ett bråk kan delas med samma tal (antingen ett monom eller ett polynom). Som ett resultat får vi samma bråk, men presenteras i en annan form.

Liksom i fallet med multiplikation, tillgrips denna identiska transformation för att representera en bråkdel i mer enkel form och göra det lättare att arbeta med.

Addition och subtraktion av algebraiska bråk med samma nämnare

Om algebraiska bråk har samma nämnare läggs de till som vanliga bråk (endast täljare läggs till, och nämnaren förblir gemensam).

Allmän regel:

$\frac(a)(d)+\frac(b)(d)-\frac(c)(d)=\frac(a+b-c)(d)$.

Exempel.

Förenkla uttrycket:

$\frac(2a^2+5)(a^2-ab)+\frac(2ab+b)(a^2-ab)-\frac(b+5)(a^2-ab)$.

Lösning.

Vi använder regeln för att addera bråk, som beskrivs ovan, det vill säga vi adderar täljarna och skriver ner den gemensamma nämnaren.

$\frac(2a^2+5)(a^2-ab)+\frac(2ab+b)(a^2-ab)-\frac(b+5)(a^2-ab)=\frac ((2a^2+5)+(2ab+b)-(b+5))(a^2-ab)$.

Låt oss arbeta med täljaren.

$(2a^2+5)+(2ab+b)-(b+5)=$
$2a^2+5+2ab+b-b-5=2a^2+2ab$.

Resultatet är en bråkdel:

$\frac(2a^2+2ab)(a^2-ab)$.

Killar, innan du avslutar lösningen, kontrollera om det är möjligt att ytterligare förenkla resultatet. Det är trots allt hela poängen med förvandlingen - att förenkla uttrycket.
Om du tittar noga kan du förstå att den resulterande fraktionen kan förenklas ytterligare.

$\frac(2a^2+2ab)(a^2-ab)=\frac(2a(a+b))(a(a-b))=\frac(2(a+b))(a-b)=\ frac(2a+2b)(a-b)$.

Addition och subtraktion av algebraiska bråk med olika nämnare

När man lägger till algebraiska bråk med olika nämnare måste man agera på samma sätt som när man arbetar med vanliga bråk. Först måste du reducera bråket till en gemensam nämnare, och sedan addera eller subtrahera bråkens täljare, i enlighet med allmän regel som vi har granskat.

Exempel.
Beräkna:

$\frac(a)(4b^2)+\frac(a^2)(6b^3)$.

Lösning.
Låt oss ta dessa bråk till en gemensam nämnare. PÅ detta exempel den gemensamma nämnaren är den monomiala $12b^3$.
Sedan.

$\frac(a)(4b^2)+\frac(a^2)(6b^3)=\frac(3ab)(12b^3)+\frac(2a^2)(12b^3)=
\frac(3ab+2a^2)(12b^3)$.

Det svåraste är att hitta den gemensamma nämnaren för bråken. I vissa fall är detta inte det enkel uppgift.
När du hittar en gemensam nämnare kan du följa reglerna:
1. Om båda nämnarna är monomer utan parentes, är det bättre att välja en gemensam nämnare för talet först och sedan för variabeln. I vårt exempel är talet 12 och variabeln $b^3$.
2. Om nämnaren är ett mer komplext uttryck, till exempel $x + 1$, $x + y$ och liknande, så är det bättre att välja nämnaren i form av en produkt av nämnare, till exempel $ (x + y) (x - y) $. En sådan nämnare är delbar med både $x + y$ och $x - y$.

Kom ihåg!
För två algebraiska bråkdelar av gemensamma nämnare kan du välja så många du vill. Men för att förenkla beräkningarna måste du välja den enklaste möjliga.

bilda förmågan att utföra åtgärder (addition och subtraktion) med algebraiska bråk med olika nämnare, baserat på regeln om addition och subtraktion vanliga bråk med olika nämnare;

upprepa och konsolidera addition och subtraktion av bråk med samma nämnare.

Utrustning: Demonstrationsmaterial.

Uppgifter för att uppdatera kunskap:

1) +; 2) -;

3) + ; 4) +; 5) -.

1) Algoritm för att addera och subtrahera vanliga bråk med olika nämnare.

Så här lägger du till eller subtraherar vanliga bråk med olika nämnare:

1. Konvertera dessa bråk till minsta gemensamma nämnare.
2. Addera eller subtrahera de resulterande bråken.

2) Algoritm för att reducera algebraiska bråk till en gemensam nämnare.

1. Låt oss hitta ytterligare faktorer för var och en av bråken: dessa kommer att vara produkterna av de faktorer som finns i den gemensamma (nya) nämnaren, men som inte finns i den gamla nämnaren.

3) Standarder för självständigt arbete med självtest:

3) Kort för reflektionsstadiet.

1. Detta ämne är klart för mig.
2. Jag vet hur man hittar ytterligare faktorer för var och en av bråken.
3. Jag kan hitta nya täljare för vart och ett av bråken.
4. I självständigt arbete lyckades jag.
5. Jag kunde förstå orsaken till det misstag som jag gjorde i mitt självständiga arbete.
6. Jag är nöjd med mitt arbete i klassrummet.

UNDER KLASSERNA

1. Självbestämmande till aktivitet.

Etappmål:

1. Inkludering av studenter i lärandeaktiviteter: fortsättning på resan genom landet "Algebraiska uttryck".
2. Bestämma innehållet i lektionen: fortsätta att arbeta med algebraiska bråk.

Organisation utbildningsprocess vid steg 1:

God morgon killar! Vi fortsätter vår fascinerande resa genom landet "Algebraic Expressions".

Vilka ”invånare” i landet träffade vi på tidigare lektioner? (Med algebraiska uttryck.)

Vad kan vi göra med välbekanta algebraiska uttryck? (Addition och subtraktion.)

Som framträdande funktion algebraiska bråk som vi redan vet hur man adderar och subtraherar? (Vi adderar och subtraherar bråk som har samma nämnare.)

Höger. Men vi förstår alla väl tillsammans att färdigheterna att utföra handlingar med algebraiska bråk som har samma nämnare inte räcker. Vad mer tycker du att vi behöver lära oss att göra? (Utför åtgärder med bråk som har olika nämnare.)

Bra gjort! Ska vi fortsätta vår resa då? (Ja!)

2. Aktualisering av kunskap och fixering av svårigheter i aktiviteter.

Etappmål:

1. Uppdatera kunskap om att utföra handlingar med bråk med samma nämnare, metoder för muntliga beräkningar.
2. Fixa svårighet.

Organisation av utbildningsprocessen i steg 2:

Det finns flera exempel på tavlan för att utföra åtgärder med bråk:

5) -=-==.

Eleverna uppmuntras att uttrycka sina lösningar i ett högt tal.

I det första exemplet ger killarna lätt det korrekta svaret och kommer ihåg algoritmen för att utföra åtgärder med algebraiska bråk som har samma nämnare.

När kommentaren till exempel #2 redan har gjorts fokuserar läraren på exempel #2:

Killar, titta vad vi har intressant i exempel nummer 2? (Vi utförde inte bara åtgärder med algebraiska bråk som har samma nämnare, utan utförde också reduktionen av den resulterande algebraiska bråkdelen: vi tog minustecknet ur parentes, vi fick samma faktorer i täljaren och nämnaren, med vilket vi sedan minskade resultatet.)

Det är mycket bra att du inte har glömt att den grundläggande egenskapen för ett bråk är tillämplig inte bara på vanliga, utan även på algebraiska bråk!

Vem kommer att kommentera lösningen av följande tre exempel för alla?

Troligtvis kommer det att finnas en elev som enkelt kan lösa exempel nummer 3.

Vad använde du när du löste exempel nummer 3? (Algoritmen för att addera och subtrahera vanliga bråk med olika nämnare hjälpte mig.)

Hur exakt agerade du? (Jag reducerade algebraiska bråk till den minsta gemensamma nämnaren av 15 och la sedan till dem.)

Underbar! Och hur gör vi med de två sista exemplen?

När det kommer till de två kommande exemplen fixar killarna (var för sig) svårigheten som har uppstått.

Elevernas ord är ungefär så här:

Jag har svårt att komplettera exempel 4-5, eftersom före mig finns algebraiska bråk, inte med "samma" nämnare, och dessa olika nämnare inkluderar variabler (nr 4), och i nr 5 finns det bokstavliga uttryck i nämnarna i allmänt!..."

Svar på uppgifterna 4–5 kom inte in.

3. Identifiering av platsen och orsakerna till svårigheter och sätta upp målet för aktiviteten.

Etappmål:

1. Fixera utmärkande drag uppgifter som orsakade svårigheter i inlärningsaktiviteter.
2. Ange syftet och ämnet för lektionen.

Organisation av utbildningsprocessen i steg 3:

Killar? Var uppstod svårigheten? (I exempel 4-5.)

Varför är du inte redo att diskutera lösningen och ge ett svar när du löser dem? (Eftersom de algebraiska bråken som föreslås i dessa uppgifter har olika nämnare, och vi är bekanta med algoritmen för att utföra operationer med algebraiska bråk som har samma nämnare.

Vad mer behöver vi kunna göra? (Du måste lära dig att addera och subtrahera bråk med olika nämnare.)

Jag håller med dig. Hur kan vi formulera ämnet för dagens lektion? (Addition och subtraktion av algebraiska bråk med olika nämnare.)

Ämnet för lektionen är skrivet i anteckningsböcker.

4. Bygg ett projekt för att komma ur svårigheten.

Syftet med scenen:

1. Barn bygger ett nytt sätt att göra saker på.
2. Fixa algoritmen för att reducera algebraiska bråk till en gemensam nämnare.

Organisation av utbildningsprocessen i steg 4:

Vad är syftet med vår lektion idag? (Lär dig lägga till och subtrahera algebraiska bråk med olika nämnare.)

Hur man är? (För detta måste vi bygga en algoritm ytterligare arbete med algebraiska bråk.)

Vad behöver vi hitta på för att nå målet med lektionen? (En algoritm för att reducera algebraiska bråk till en gemensam nämnare, så att vi senare kan arbeta enligt den vanliga regeln för att addera och subtrahera bråk med samma nämnare.)

Arbetet kan organiseras i grupper, varje grupp får ett papper och en markör. Eleverna kan erbjuda sina egna varianter av algoritmen i form av en lista med steg. Du har 5 minuter på dig att arbeta. Grupper publicerar sina alternativ för en algoritm eller regel, och sedan analyseras varje alternativ.

Troligtvis kommer en av eleverna definitivt att dra en analogi av sin algoritm med algoritmen för att addera och subtrahera vanliga bråk med olika nämnare: först tar de bråken till en gemensam nämnare med hjälp av lämpliga ytterligare faktorer, och adderar och subtraherar sedan bråken. resulterande bråk med samma nämnare.

Därefter härleds en enda variant från detta. Det kan vara så här:

1. Vi delar upp alla nämnare i faktorer.
2. Från den första nämnaren skriver vi ut produkten av alla dess faktorer, från de återstående nämnarna tilldelar vi denna produkt de saknade faktorerna. Den resulterande produkten kommer att vara den gemensamma (nya) nämnaren.
3. Låt oss hitta ytterligare faktorer för var och en av bråken: dessa kommer att vara produkterna av de faktorer som finns i den nya nämnaren, men som inte finns i den gamla nämnaren.
4. Låt oss hitta en ny täljare för varje bråkdel: den kommer att vara produkten av den gamla täljaren och en extra faktor.
5. Låt oss skriva varje bråk med en ny täljare och en gemensam (ny) nämnare.

Nåväl, låt oss tillämpa vår regel för att slutföra de olösta föreslagna uppgifterna. Varje uppgift (4, 5) talas i tur och ordning av några elever i klassen, läraren fixar lösningen på tavlan.

Vi är helt enkelt genier! Vi har byggt en algoritm för att addera och subtrahera algebraiska bråk med olika nämnare. Genom gemensamma ansträngningar har vi eliminerat svårigheten, eftersom vi nu har en riktig "guide" (algoritm) i det för oss okända landet "Algebraiska bråk"!

5. Primär konsolidering i externt tal.

Syftet med scenen:

1. Träna upp förmågan att föra algebraiska bråk till en gemensam nämnare.
2. Organisera uttalet av det studerade innehållet i regelalgoritmen i externt tal.

Organisation av utbildningsprocessen i steg 5:

Killar, men vi vet alla väl att bara titta och känna till "kartan över området" inte är en resa. Vad ska vi göra för att tränga djupare och mer in i världen av algebraiska bråk? (Vi måste lösa exempel, och i allmänhet träna på att lösa exempel, för att konsolidera vår nya algoritm.)

Ganska rätt. Därför föreslår jag att vi börjar vår studie.

Eleven uttalar verbalt planen för sitt beslut, läraren korrigerar om några felaktigheter görs.

Ungefär så här låter det:

Vi måste välja ett tal som samtidigt ska delas med 2 och 5. Det här är talet 10. Sedan väljer vi variablerna i den grad vi behöver. Så vår nya nämnare blir 10xy. Vi väljer ytterligare multiplikatorer. Till den första fraktionen: 5y, till den andra: 2x. Vi multiplicerar de valda ytterligare faktorerna med varje gammal täljare. Vi får algebraiska bråk med samma nämnare, utför subtraktionen enligt den regel som redan är bekant för oss.

Jag är glad. Och nu kommer vårt stora team att delas upp i par, och vi kommer att fortsätta vår intressanta väg.

nr 133 (a, d). Eleverna arbetar i par och säger lösningen till varandra:

a) +=+= =;

d) +=+= =.

6. Självständigt arbete med självtest.

Etappmål:

1. Spendera självständigt arbete.
2. Utför ett självtest mot den förberedda självteststandarden.
3. Eleverna kommer att registrera svårigheter, identifiera orsakerna till fel och rätta till fel.

Organisation av utbildningsprocessen i steg 6:

Jag observerade noggrant ditt arbete och kom till slutsatsen att var och en av er redan är redo att självständigt tänka på sätt och hitta lösningar på exempel på vårt dagens ämne. Därför erbjuder jag dig ett litet självständigt arbete, varefter du kommer att erbjudas en standard med rätt lösning och svar.

Nr 134 (a, b): utför arbete på optioner.

Efter avslutat arbete utförs en standardkontroll. När de kontrollerar lösningar markerar eleverna "+" den korrekta lösningen, "?" inte rätt beslut. Det är önskvärt att elever som gör fel förklarar anledningen till att de gjort uppgiften felaktigt.

Fel analyseras och korrigeras.

Så, vilka svårigheter mötte du på din väg? (Jag gjorde ett misstag när jag öppnade parenteser som föregås av ett minustecken.)

Vad är anledningen till detta? (Helt enkelt på grund av ouppmärksamhet, men i framtiden kommer jag att vara mer försiktig!)

Vad mer verkade svårt? (Hade jag svårt att hitta ytterligare faktorer för bråk?)

Du bör definitivt studera steg 3 i algoritmen mer i detalj så att ett sådant problem inte uppstår i framtiden!

Fanns det några andra svårigheter? (Och jag tog bara inte med liknande termer).

Och vi fixar det. När du har gjort allt som är möjligt enligt den nya algoritmen behöver du komma ihåg det studerade materialet under lång tid. I synnerhet minskningen av liknande termer, eller minskningen av bråk etc.

7. Inkludering av ny kunskap i kunskapssystemet.

Syftet med steget: att upprepa och konsolidera algoritmen för att addera och subtrahera algebraiska bråk med olika nämnare som studerats i lektionen.

8. Lektionsreflektion.

Syftet med scenen: att fixa det nya innehållet, utvärdera sina egna aktiviteter.

Organisation av utbildningsprocessen i steg 8:

Vad var vårt mål i början av lektionen? (Lär dig hur du adderar och subtraherar bråk med olika nämnare.)

Vad kom vi fram till för att nå målet? (En algoritm för att addera och subtrahera algebraiska bråk med olika nämnare.)

Vad använde vi mer? (Vi faktoriserade nämnare, valde LCM för koefficienterna och ytterligare faktorer för täljare.)

Ta nu en färgpenna eller tuschpenna och markera med ett "+"-tecken de påståenden med sanningen som du håller med om:

Varje elev har ett kort med fraser. Barn markerar och visar för läraren.

Bra gjort!

Läxa: stycke 4 (lärobok); Nr 126, 127 (uppgiftsbok).

Videolektionen "Addition och subtraktion av algebraiska bråk med olika nämnare" är visuellt hjälpmedel, med hjälp av vilket teoretiskt material ges, förklaras algoritmerna och funktionerna för att utföra subtraktionsoperationer, addition av fraktioner med olika nämnare i detalj. Med hjälp av manualen är det lättare för läraren att forma elevernas förmåga att utföra operationer med algebraiska bråk. Under videohandledningen övervägs ett antal exempel, vars lösning beskrivs i detalj, med uppmärksamhet på viktiga detaljer.

Användningen av en videolektion i en matematiklektion gör det möjligt för läraren att uppnå inlärningsmål snabbare och öka effektiviteten i lärandet. Demonstrationens synlighet hjälper eleverna att komma ihåg materialet, att bemästra det djupare, så att videon kan användas för att åtfölja lärarens förklaring. Om denna video används som en del av lektionen så frigörs lärarens tid för förstärkning enskilt arbete och användningen av andra inlärningsverktyg för att förbättra inlärningseffektiviteten.

Demon börjar med att introducera ämnet för videohandledningen. Det noteras att utförandet av operationer av subtraktion, addition av algebraiska bråk liknar utförandet av operationer med vanliga bråk. Mekanismen för subtraktion, addition för vanliga bråk återkallas - bråk reduceras till en gemensam nämnare, varefter själva operationerna utförs direkt.

Algoritmen för subtraktion, addition av algebraiska bråk uttrycks och beskrivs på skärmen. Den består av två steg - att reducera bråk till samma nämnare och sedan utföra addition (eller subtraktion) av bråk med lika nämnare. Tillämpningen av algoritmen övervägs i exemplet med att hitta värdena för uttrycken a/4b 2 -a 2 /6b 3 , såväl som x/(x+y)-x/(x-y). Det noteras att för att lösa det första exemplet är det nödvändigt att föra båda bråken till samma nämnare. Denna nämnare kommer att vara 12b 3 . Att föra dessa bråk till nämnaren 12b 3 diskuterades i detalj i den senaste videohandledningen. Transformationen resulterar i två bråk med lika nämnare 3ab/12b 3 och 2a 2 /12b 3 . Dessa bråk läggs till enligt regeln för addering av bråk med lika nämnare. Efter att ha lagt till täljarna för bråken blir resultatet bråket (3ab+2a 2)/12b 3 . Följande beskriver lösningen av exemplet x/(x+y)-x/(x-y). Efter att ha reducerat bråken till samma nämnare erhålls bråken (x 2 -xy) / (x 2 -y 2) och (x 2 + xy) / (x 2 -y 2). Enligt regeln för att subtrahera bråk med lika nämnare utför vi en operation med täljare, varefter vi får ett bråk -2xy / (x 2 -y 2).

Det noteras att det svåraste steget för att lösa problem med addition, subtraktion av bråk med olika nämnare, är deras reduktion till en gemensam nämnare. Tips ges om hur du enkelt kan utveckla färdigheter i att lösa dessa problem. Förstå den gemensamma nämnaren för ett bråk. Den består av en numerisk koefficient med en variabel upphöjd till en potens. Det kan ses att uttrycket kan delas med nämnare av den första och andra fraktionen. I detta fall är den numeriska koefficienten 12 den minsta gemensamma multipeln av de numeriska koefficienterna för bråk 4 och 6. Och variabeln b innehåller båda nämnarna 4b 2 och 6b 3 . I detta fall innehåller den gemensamma nämnaren variabeln i störst utsträckning bland de ursprungliga bråkens nämnare. Också övervägt är att hitta en gemensam nämnare för x/(x+y) och x/(x-y). Det noteras att den gemensamma nämnaren (x+y)(x-y) divideras med varje nämnare. Så, lösningen på problemet handlar om att hitta den minsta gemensamma multipeln av de tillgängliga numeriska koefficienterna, samt att hitta den högsta exponenten för en bokstavsvariabel som förekommer flera gånger. Sedan, efter att ha samlat dessa delar till en gemensam produkt, erhålls en gemensam nämnare.

En algoritm för att hitta en gemensam nämnare för flera bråk uttrycks och formuleras på skärmen. Denna algoritm består av fyra steg, i det första av vilka nämnarna faktoriseras. I det andra steget av algoritmen hittas den minsta gemensamma multipeln av tillgängliga data för koefficienterna som ingår i bråkens nämnare. I det tredje steget sammanställs en produkt, som inkluderar de bokstavliga faktorerna för expansionerna av nämnare, medan den bokstavliga indikatorn som finns i flera nämnare väljs i störst utsträckning. I det fjärde steget samlas de numeriska och alfabetiska faktorerna i de tidigare stegen till en produkt. Detta kommer att vara den gemensamma nämnaren. En anmärkning görs till den övervägda algoritmen. I exemplet med att hitta den gemensamma nämnaren för bråken a / 4b 2 och a 2 / 6b 3, noteras att det förutom 12b 3 finns andra nämnare 24b 3 och 48a 2 b 3 . Och för varje uppsättning bråk finns det många gemensamma nämnare. Emellertid är nämnaren 12b 3 den enklaste och mest bekväma, så den kallas också den minsta gemensamma nämnaren av de ursprungliga bråken. Ytterligare faktorer är resultatet av den partiella gemensamma nämnaren och den ursprungliga nämnaren för bråket. Demonstreras i detalj genom animering, hur täljaren, nämnaren av bråk multipliceras med ytterligare en faktor.

Vidare föreslås det att överväga algoritmen för att reducera algebraiska bråk till en gemensam nämnare i en enklare form, så att den blir mer förståelig för eleverna. Den består också av fyra steg, varav det första är faktoriseringen av nämnare. Därefter föreslås att man skriver ut alla faktorer från den första nämnaren, för att komplettera produkten med de saknade faktorerna från de återstående nämnarna. Därmed finns en gemensam nämnare. Ytterligare faktorer hittas för varje bråkdel från de faktorer av nämnaren som inte faller in i den gemensamma nämnaren. Det fjärde steget är att för varje bråk bestämma en ny täljare, som är produkten av den gamla täljaren och en ytterligare faktor. Sedan skrivs varje bråktal med en ny täljare och nämnare.

Följande exempel beskriver en förenkling av uttrycket 3a/(4a 2 -1)-(a+1)/(2a 2 +a). I det första steget av lösningen sönderdelas varje fraktions nämnare i faktorer. För produkter är den gemensamma faktorn (2a + 1). Genom att komplettera produkten med de återstående faktorerna (2a-1) och a, erhålls en gemensam nämnare av formen a (2a-1) (2a + 1). under konstruktion hjälpbord, som anger den gemensamma nämnaren, nämnare, ytterligare faktorer. I det andra steget av lösningen multipliceras varje täljare med en extra faktor, subtraktion utförs. Resultatet är en bråkdel (a 2 -a + 1) / a (2a-1) (2a + 1).

Exempel 3 betraktar en förenkling av uttrycket b/(2a 4 +4a 3 b+2a 2 b 2)-1/(3ab 2 -3a 3)+b/(6a 4 -6a 3 b). Lösningen analyseras också i etapper, uppmärksamheten uppmärksammas på de väsentliga funktionerna i operationerna, minskningen av bråk till en gemensam nämnare, utförandet av operationer med täljaren beskrivs i detalj. Som ett resultat av beräkningar och efter transformation erhålls en fraktion (2a 3 +6a 2 b-ab 2 +b 3)/6a 3 (a-b)(a+b) 2 .

Videolektionen "Addition och subtraktion av algebraiska bråk med olika nämnare" kan tjäna som ett sätt att öka effektiviteten av en matematiklektion om detta ämne. Manualen kommer att vara användbar för läraren som distansutbildning, för visualisering utbildningsmaterial. För studenter kan en videolektion rekommenderas för självstudier, eftersom den förklarar i detalj och tydligt funktionerna i att utföra de operationer som studeras.

Lektionsämne: Addition och subtraktion av algebraiska bråk.

Lektionens mål:

Handledningar:

1. se över reglerna för att addera och subtrahera bråk med samma nämnare
2. införa regler för att addera och subtrahera algebraiska bråk med samma nämnare;
3. att bilda förmågan att utföra addition och subtraktion med algebraiska bråk.

Utvecklande:

1. utveckla tänkande, uppmärksamhet, minne, förmågan att analysera, jämföra, jämföra;
2. vidga elevernas vyer;

1. ordförrådspåfyllning;

Pedagogisk:

1. ta upp kognitivt intresse till ämnet.
2. Odla en kultur av intellektuellt arbete

Utrustning:

1. kort - testuppgifter;
2. en dator;
3. projektor;
4. skärm;
5. lektionspresentation

Motto:

Du kan inte lära dig matematik genom att se din granne göra det!

Bild 2.

Lektionsplanering.

1. Rapportering av syftet och ämnet för lektionen (2 min);
2. Uppdatering grundläggande kunskap och elevernas färdigheter (4 min);
3. Muntligt arbete (5 min);
4. Att lära sig nytt material (8 min);
5. Fysisk utbildning (2 min);
6. Konsolidering av nytt material (10 min);
7. Flervalstest (10 min);
8. Resultatet av lektionen, slutsatser (2 min);
9. Läxa. (2 minuter).

Bild 3.

Under lektionerna.

I. Organisatoriskt ögonblick:

1) budskap om ämnet för lektionen;

2) kommunikation av målen och målen för lektionen.

II. Kunskapsuppdatering:

Vad är en algebraisk bråkdel? Ge exempel.

Vad innebär det att reducera en algebraisk bråkdel?

Hur får man algebraiska bråk till en gemensam nämnare?

glida 4.

III. Muntligt arbete:

1. Läs bråk:
2. Hitta ett uttryck som är redundant a) (a + c) 2; b) ; i) ; G) .
3. Återställ delvis raderade poster: för att reducera till en gemensam nämnare

Bild 5.

1. hitta felet

glida 6.

1. För varje bråk, hitta bråket som är lika med det, med hjälp av korrespondensnumret - bokstaven:

1) ; 2) 3) .

A) b); i) .

glida 7.8

IV. Att lära sig nytt material.
1) Upprepa reglerna för att addera och subtrahera numeriska bråk med samma nämnare. Lös sedan verbalt följande exempel:

2) Kom ihåg reglerna för att addera och subtrahera polynom och skriv följande övningar på tavlan:

3) Eleverna bör föreslå regler för att göra följande exempel skrivna på tavlan:

Lösningen av exemplen diskuteras. Om eleverna inte klarar sig själva, förklarar läraren.

glida 9.

Reglerna för att addera och subtrahera algebraiska bråk med samma nämnare skrivs i en anteckningsbok.
, .

glida 10.

V. Fysisk fostran för ögonen

Övning 1. Gör 15 oscillerande rörelser av ögonen horisontellt från höger till vänster, sedan från vänster till höger.

Övning 2. Gör 15 oscillerande ögonrörelser vertikalt upp - ner och ner - upp.

Övning 3. Även 15, men cirkulär rotationsrörelserögon från vänster till höger.

Övning 4. Samma, men från höger till vänster.

Övning 5. Gör 15 cirkulära rotationsrörelser med ögonen, först till höger, sedan till vänster sida, som om man ritar en åttasiffra som ligger på sidan med ögonen.

VI. Konsolidering av nytt material.
1) Framarbete.

1) Lös uppgifter

№ 462 (1,3)

2) Lägg till fraktioner:

3) Subtrahera bråk:

4) Utför åtgärder.

Bild 11.

2) Individuellt arbete.
Fyra elever utför självständigt arbete på tavlan, föreslagen på korten.

Kort 1.

Kort 2.

Kort 3.

Kort 4.

Resten i anteckningsböcker: Utför addition och subtraktion av bråk:
a) b)
i)

VII. Utföra arbete i grupp och analysera resultaten.

Varje grupp får testuppgifter, efter att de är klara får de ett ord - namnet på en berömd matematiker.

	Träning	Möjligt svar	Brev
		x + 10

	Träning	Möjligt svar	Brev

	Träning	Möjligt svar	Brev

	Träning	Möjligt svar	Brev

Svarstabell:

Jobb nummer
Brev

Kontrollera kvaliteten på jobbet.

Fick du namnet på en känd matematiker från de mottagna breven?

Om du svarade rätt på alla frågorna fick du betyget "UTMÄRKT"!!!

Om du gjorde ett misstag i ett steg - inte illa, men vetenskapsmannen skulle förmodligen bli förolämpad. Du har fått betyget "BRA"!

Om du gjorde ett misstag i två steg, så lyssnade du inte bra på läraren på lektionen och du måste läsa ämnet i algebraläroboken. Du har fått betyget "SATISFACTORY".

Om du gjorde ett misstag i mer än två steg, lyssnade du inte alls på läraren på lektionen och du måste läsa algebraläroboken mycket noggrant. Du har fått betyget "OTILLfredsställande".

Bild 13-17.

När tid finns löses uppgifter:
1. Bevisa att uttrycket
för alla värden av a2 tar positiva värden.
2. Presentera ett bråk som en summa eller skillnad av ett heltalsuttryck och ett bråk:
a); före Kristus)

3. När du vet det, hitta värdet på bråket:
a); före Kristus)

VIII. Sammanfattande.

jag X. Läxor:Läs läroboksmaterialet s.26, lär dig reglerna i detta stycke. Lös problem nr 462(2,4); gör 5 exempel för att addera och subtrahera algebraiska bråk; hitta information om matematikerna vars namn vi hörde idag.

Hur gör man addition av algebraiska (rationella) bråk?

För att lägga till algebraiska bråk, behöver du:

1) Hitta den minsta av dessa fraktioner.

2) Hitta ytterligare en faktor för varje bråktal (för detta måste du dividera den nya nämnaren med den gamla).

3) Multiplicera tilläggsfaktorn med täljaren och nämnaren.

4) Lägg till bråk med samma nämnare

(För att lägga till bråk med samma nämnare måste du lägga till deras täljare och låta nämnaren vara densamma).

Exempel på addition av algebraiska bråk.

Den minsta gemensamma nämnaren är summan av alla faktorer tagna till högsta potens. PÅ det här fallet det är lika med ab.

För att hitta ytterligare en faktor till varje bråk delar vi den nya nämnaren med den gamla. ab:a=b, ab:(ab)=1.

Täljaren har en gemensam faktor a. Vi tar ut den ur konsolen och minskar bråkdelen med en:

Nämnarna för dessa bråk är polynom, så de måste prövas. I nämnaren för det första bråket finns en gemensam faktor x, i den andra - 5. Vi tar dem ur parentes:

Den gemensamma nämnaren består av alla faktorer som ingår i nämnaren och är lika med 5x(x-5).

För att hitta ytterligare en faktor till varje bråk delar vi den nya nämnaren med den gamla.

(Om du inte gillar divisionen kan du göra det annorlunda. Vi resonerar så här: vad behöver du multiplicera den gamla nämnaren för att få en ny? För att få 5x(x-5) från x (x-5) ), måste du multiplicera det första uttrycket med 5. För att komma från 5 (x-5) för att få 5x(x-5), måste du multiplicera det 1:a uttrycket med x. Den extra faktorn till den första bråkdelen är alltså 5, till den andra - x).

Täljaren är hela kvadraten på skillnaden. Vi kollapsar det enligt formeln och minskar bråket med (x-5):

Nämnaren för det första bråket är ett polynom. Det tar inte hänsyn till faktorer, så den gemensamma nämnaren för dessa bråk är lika med produkten av nämnare m (m + 3):

Polynom i bråkens nämnare,. Vi tar ut den gemensamma faktorn x i nämnaren för det första bråket och 2 i nämnaren för det andra bråket:

Nämnaren för det första bråket inom parentes är skillnaden mellan kvadrater.