Aritmetisk rot av andra graden
Definition 1
Den andra roten (eller kvadratroten) av $a$ ring ett tal som, när det är kvadratiskt, blir lika med $a$.
Exempel 1
$7^2=7 \cdot 7=49$, vilket betyder att talet $7$ är den andra roten av talet $49$;
$0.9^2=0.9 \cdot 0.9=0.81$, vilket betyder att talet $0.9$ är den andra roten av talet $0.81$;
$1^2=1 \cdot 1=1$, vilket betyder att talet $1$ är den andra roten av talet $1$.
Anteckning 2
Enkelt uttryckt, för vilket nummer som helst $a
$a=b^2$ för negativ $a$ är felaktig, eftersom $a=b^2$ kan inte vara negativt för något värde på $b$.
Man kan dra slutsatsen att för reella tal kan det inte finnas en 2:a rot av ett negativt tal.
Anmärkning 3
Därför att $0^2=0 \cdot 0=0$, så av definitionen följer att noll är den andra roten av noll.
Definition 2
Aritmetisk rot av 2:a graden av talet $a$($a \ge 0$) är ett icke-negativt tal som, i kvadrat, är lika med $a$.
Rötter av 2: a graden kallas också kvadratrötter.
Den aritmetiska roten av 2:a graden av talet $a$ betecknas som $\sqrt(a)$ eller så kan du se notationen $\sqrt(a)$. Men oftast är talet $2$ för kvadratroten rotexponent- ej angivet. Tecknet "$\sqrt( )$" är ett tecken aritmetisk rot 2:a graden, som också kallas " radikalt tecken" Begreppen "rot" och "radikal" är namn på samma objekt.
Om det finns ett tal under det aritmetiska rottecknet, så kallas det radikalt nummer, och om uttrycket, då – radikalt uttryck.
Posten $\sqrt(8)$ läses som "arithmetisk rot av 2:a graden av åtta", och ordet "arithmetic" används ofta inte.
Definition 3
Enligt definition aritmetisk rot av 2:a graden kan skrivas:
För alla $a \ge 0$:
$(\sqrt(a))^2=a$,
$\sqrt(a)\ge 0$.
Vi visade skillnaden mellan en andrarot och en aritmetisk andrarot. Vidare kommer vi endast att överväga rötter av icke-negativa tal och uttryck, dvs. bara aritmetik.
Aritmetisk rot av tredje graden
Definition 4
Aritmetisk rot av 3:e graden (eller kubrot) av talet $a$($a \ge 0$) är ett icke-negativt tal som, när det kuberas, blir lika med $a$.
Ofta utelämnas ordet aritmetik och de säger "den tredje roten av talet $a$".
Den aritmetiska roten av den 3:e graden av $a$ betecknas som $\sqrt(a)$, tecknet "$\sqrt( )$" är tecknet för den aritmetiska roten av den 3:e graden, och talet $3$ i denna notation kallas rotindex. Talet eller uttrycket som visas under rottecknet kallas radikal.
Exempel 2
$\sqrt(3,5)$ – aritmetisk rot av 3:e graden av $3,5$ eller kubrot av $3,5$;
$\sqrt(x+5)$ – aritmetisk rot av den tredje graden av $x+5$ eller kubrot av $x+5$.
Aritmetisk n:te rot
Definition 5
Aritmetisk n:te roten grader från talet $a \ge 0$ anropas ett icke-negativt tal som, när det höjs till $n$:te potensen, blir lika med $a$.
Notation för den aritmetiska roten av grad $n$ av $a \ge 0$:
där $a$ är ett radikalt tal eller uttryck,
Att upprätthålla din integritet är viktigt för oss. Av denna anledning har vi tagit fram en integritetspolicy som beskriver hur vi använder och lagrar din information. Läs igenom vår sekretesspraxis och låt oss veta om du har några frågor.
Insamling och användning av personlig information
Med personuppgifter avses uppgifter som kan användas för att identifiera eller kontakta en specifik person.
Du kan bli ombedd att lämna din personliga information när som helst när du kontaktar oss.
Nedan finns några exempel på de typer av personlig information vi kan samla in och hur vi kan använda sådan information.
Vilken personlig information samlar vi in:
- När du skickar in en ansökan på webbplatsen kan vi samla in olika uppgifter, inklusive ditt namn, telefonnummer, adress E-post etc.
Hur vi använder din personliga information:
- Samlas av oss personlig information tillåter oss att kontakta dig och informera dig om unika erbjudanden, kampanjer och andra evenemang och kommande evenemang.
- Från tid till annan kan vi använda din personliga information för att skicka viktiga meddelanden och kommunikationer.
- Vi kan också använda personlig information för interna ändamål såsom revision, dataanalys och olika studier för att förbättra de tjänster vi tillhandahåller och förse dig med rekommendationer angående våra tjänster.
- Om du deltar i en prisdragning, tävling eller liknande kampanj kan vi använda informationen du tillhandahåller för att administrera sådana program.
Utlämnande av information till tredje part
Vi lämnar inte ut informationen från dig till tredje part.
Undantag:
- Vid behov, i enlighet med lagen, rättsligt förfarande, V rättegång, och/eller baserat på offentliga förfrågningar eller förfrågningar från statliga myndigheter på Ryska federationens territorium - lämna ut din personliga information. Vi kan också komma att avslöja information om dig om vi fastställer att ett sådant avslöjande är nödvändigt eller lämpligt för säkerhets-, brottsbekämpande eller andra offentliga ändamål.
- I händelse av en omorganisation, sammanslagning eller försäljning kan vi komma att överföra den personliga information vi samlar in till tillämplig efterträdande tredje part.
Skydd av personlig information
Vi vidtar försiktighetsåtgärder - inklusive administrativa, tekniska och fysiska - för att skydda din personliga information från förlust, stöld och missbruk, såväl som obehörig åtkomst, avslöjande, ändring och förstörelse.
Respektera din integritet på företagsnivå
För att säkerställa att din personliga information är säker kommunicerar vi sekretess- och säkerhetsstandarder till våra anställda och tillämpar strikt sekretesspraxis.
I den här artikeln kommer vi att presentera begreppet roten till ett tal. Vi fortsätter sekventiellt: vi börjar med kvadratroten och därifrån går vi vidare till beskrivningen kubikroten, efter det generaliserar vi begreppet rot genom att definiera en rot av n:e graden. Samtidigt kommer vi att introducera definitioner, notationer, ge exempel på rötter och ge nödvändiga förklaringar och kommentarer.
Kvadratrot, aritmetisk kvadratrot
För att förstå definitionen av roten till ett tal, och kvadratroten i synnerhet, måste du ha . Vid denna tidpunkt kommer vi ofta att möta andra potensen av ett tal - kvadraten av ett tal.
Låt oss börja med kvadratrotsdefinitioner.
Definition
Kvadratroten ur aär ett tal vars kvadrat är lika med a.
För att ta med exempel kvadratrötter , ta flera tal, till exempel 5, −0,3, 0,3, 0, och kvadrera dem, får vi talen 25, 0,09, 0,09 respektive 0 (5 2 =5·5=25, (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09(0,3)2=0,3·0,3=0,09 och 02=0,0=0). Sedan, enligt definitionen ovan, är talet 5 kvadratroten ur talet 25, talen −0,3 och 0,3 är kvadratrötterna av 0,09, och 0 är kvadratroten ur noll.
Det bör noteras att det inte för något tal a finns en vars kvadrat är lika med a. För varje negativt tal a finns det nämligen inget reellt tal b vars kvadrat är lika med a. Faktum är att likheten a=b 2 är omöjlig för något negativt a, eftersom b 2 är ett icke-negativt tal för vilket b som helst. Således, det finns ingen kvadratrot ur ett negativt tal i mängden av reella tal. Med andra ord, på mängden reella tal är kvadratroten ur ett negativt tal inte definierad och har ingen betydelse.
Detta leder till en logisk fråga: "Finns det en kvadratrot av a för något icke-negativt a"? Svaret är ja. Detta faktum kan motiveras med den konstruktiva metod som används för att hitta värdet på kvadratroten.
Då uppstår nästa logiska fråga: "Vad är antalet av alla kvadratrötter av ett givet icke-negativt tal a - ett, två, tre eller till och med mer"? Här är svaret: om a är noll så är den enda kvadratroten av noll noll; om a är något positivt tal, då är antalet kvadratrötter av talet a två, och rötterna är . Låt oss motivera detta.
Låt oss börja med fallet a=0 . Låt oss först visa att noll verkligen är kvadratroten ur noll. Detta följer av den uppenbara likheten 0 2 =0·0=0 och definitionen av kvadratroten.
Låt oss nu bevisa att 0 är den enda kvadratroten ur noll. Låt oss använda den motsatta metoden. Anta att det finns ett nummer b som inte är noll som är kvadratroten ur noll. Då måste villkoret b 2 =0 vara uppfyllt, vilket är omöjligt, eftersom för varje b 2 som inte är noll är värdet på uttrycket b 2 positivt. Vi har kommit fram till en motsägelse. Detta bevisar att 0 är den enda kvadratroten ur noll.
Låt oss gå vidare till fall där a är ett positivt tal. Vi sa ovan att det alltid finns en kvadratrot av ett icke-negativt tal, låt kvadratroten av a vara talet b. Låt oss säga att det finns ett tal c, som också är kvadratroten ur a. Då, enligt definitionen av en kvadratrot, är likheterna b 2 =a och c 2 =a sanna, varav det följer att b 2 −c 2 =a−a=0, men eftersom b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c), sedan (b−c)·(b+c)=0 . Den resulterande jämlikheten är giltig egenskaper för operationer med reella tal endast möjligt när b−c=0 eller b+c=0 . Således är talen b och c lika eller motsatta.
Om vi antar att det finns ett tal d, som är en annan kvadratrot av talet a, så bevisas det genom resonemang som liknar de redan givna att d är lika med talet b eller talet c. Så antalet kvadratrötter av ett positivt tal är två, och kvadratrötterna är motsatta tal.
För att underlätta arbetet med kvadratrötter är den negativa roten "separerad" från den positiva. För detta ändamål introduceras den definition av aritmetisk kvadratrot.
Definition
Aritmetisk kvadratrot ur ett icke-negativt tal aär ett icke-negativt tal vars kvadrat är lika med a.
Notationen för den aritmetiska kvadratroten ur a är . Tecknet kallas det aritmetiska kvadratrottecknet. Det kallas också för det radikala tecknet. Därför kan du ibland höra både "root" och "radikal", vilket betyder samma objekt.
Talet under det aritmetiska kvadratrottecknet kallas radikalt nummer, och uttrycket under rottecknet är radikalt uttryck, medan termen "radikalt antal" ofta ersätts med "radikalt uttryck". Till exempel, i notationen är talet 151 ett radikalt tal, och i notationen är uttrycket a ett radikalt uttryck.
Vid läsning utelämnas ofta ordet "aritmetik", till exempel läses posten som "kvadratroten ur sju komma tjugonio". Ordet "aritmetik" används bara när de vill betona det vi pratar om specifikt om den positiva kvadratroten ur ett tal.
I ljuset av den införda notationen följer det av definitionen av en aritmetisk kvadratrot att för alla icke-negativa tal a .
Kvadratrötter av ett positivt tal a skrivs med det aritmetiska kvadratrottecknet som och . Till exempel är kvadratrötterna av 13 och . Den aritmetiska kvadratroten ur noll är noll, det vill säga . För negativa tal a kommer vi inte att tillskriva notationen betydelse förrän vi studerar komplexa tal. Till exempel är uttrycken och meningslösa.
Utifrån definitionen av kvadratroten bevisas kvadratrötternas egenskaper, som ofta används i praktiken.
Som avslutning på denna punkt noterar vi att kvadratrötterna av talet a är lösningar av formen x 2 =a med avseende på variabeln x.
Kubroten av ett tal
Definition av kubrot av talet a ges på samma sätt som definitionen av kvadratroten. Bara det är baserat på konceptet med en kub av ett tal, inte en kvadrat.
Definition
Kubrot av enär ett tal vars kub är lika med a.
Låt oss ge exempel på kubrötter. För att göra detta, ta flera tal, till exempel 7, 0, −2/3, och kub dem: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, 
. Sedan kan vi, baserat på definitionen av en kubrot, säga att talet 7 är kubroten av 343, 0 är kubroten av noll och −2/3 är kubroten av −8/27.
Det kan visas att kubroten av ett tal, till skillnad från kvadratroten, alltid existerar, inte bara för icke-negativa a, utan även för valfritt reellt tal a. För att göra detta kan du använda samma metod som vi nämnde när vi studerade kvadratrötter.
Dessutom finns det bara en enda kubrot av ett givet tal a. Låt oss bevisa det sista påståendet. För att göra detta, överväg tre fall separat: a är ett positivt tal, a=0 och a är ett negativt tal.
Det är lätt att visa att om a är positivt kan kubroten av a varken vara ett negativt tal eller noll. Låt b vara kubroten till a, då kan vi per definition skriva likheten b 3 =a. Det är tydligt att denna likhet inte kan vara sann för negativ b och för b=0, eftersom b 3 =b·b·b i dessa fall blir ett negativt tal respektive noll. Så kubikroten av ett positivt tal a är ett positivt tal.
Antag nu att det förutom talet b finns en annan kubikrot av talet a, låt oss beteckna det c. Då c3 =a. Därför är b 3 −c 3 =a−a=0, men b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(detta är den förkortade multiplikationsformeln skillnad på kuber varav (b−c)·(b2 +b·c+c2)=0. Den resulterande likheten är möjlig endast när b−c=0 eller b 2 +b·c+c 2 =0. Från den första likheten har vi b=c, och den andra likheten har inga lösningar, eftersom dess vänstra sida är ett positivt tal för alla positiva tal b och c som summan av tre positiva termer b 2, b·c och c 2. Detta bevisar det unika hos kubroten av ett positivt tal a.
När a=0 är kubikroten av talet a endast talet noll. Faktum är att om vi antar att det finns ett tal b, som är en kubrot av noll som inte är noll, måste likheten b 3 =0 gälla, vilket är möjligt endast när b=0.
För negativt a kan argument som liknar fallet för positivt a ges. Först visar vi att kubroten av ett negativt tal inte kan vara lika med varken ett positivt tal eller noll. För det andra antar vi att det finns en andra kubrot av ett negativt tal och visar att det nödvändigtvis kommer att sammanfalla med det första.
Så det finns alltid en kubrot av ett givet reellt tal a, och en unik.
Låt oss ge definition av aritmetisk kubrot.
Definition
Aritmetisk kubrot av ett icke-negativt tal aär ett icke-negativt tal vars kub är lika med a.
Den aritmetiska kubroten av ett icke-negativt tal a betecknas som , tecknet kallas tecknet för den aritmetiska kubroten, talet 3 i denna notation kallas rotindex. Siffran under rottecknet är radikalt nummer, är uttrycket under rottecknet radikalt uttryck.
Även om den aritmetiska kubroten endast definieras för icke-negativa tal a, är det också bekvämt att använda notationer där under tecknet för den aritmetiska kubroten står negativa tal. Vi kommer att förstå dem på följande sätt: , där a är ett positivt tal. Till exempel, 
.
Vi kommer att prata om egenskaperna hos kubrötter i den allmänna artikeln egenskaper hos rötter.
Att beräkna värdet på en kubrot kallas att extrahera en kubrot. Denna åtgärd diskuteras i artikeln extrahera rötter: metoder, exempel, lösningar.
För att avsluta denna punkt, låt oss säga att kubroten av talet a är en lösning av formen x 3 =a.
n:e roten, aritmetisk rot av grad n
Låt oss generalisera begreppet roten till ett tal - vi introducerar definition av n:te roten för n.
Definition
n:te roten av enär ett tal vars n:te potens är lika med a.
Från denna definition det är tydligt att den första gradroten av talet a är talet a i sig, eftersom när vi studerade graden med en naturlig exponent tog vi en 1 =a.
Ovan tittade vi på specialfall av n:te roten för n=2 och n=3 - kvadratrot och kubrot. Det vill säga en kvadratrot är en rot av andra graden och en kubrot är en rot av tredje graden. För att studera rötter av den n:e graden för n=4, 5, 6, ... är det bekvämt att dela upp dem i två grupper: den första gruppen - rötter av jämna grader (det vill säga för n = 4, 6, 8 , ...), den andra gruppen - rötter udda grader (det vill säga med n=5, 7, 9, ...). Detta beror på det faktum att rötter av jämna potenser liknar kvadratrötter, och rötter av udda potenser liknar kubikrötter. Låt oss ta itu med dem en efter en.
Låt oss börja med rötterna vars potenser är de jämna talen 4, 6, 8, ... Som vi redan sa, de liknar kvadratroten av talet a. Det vill säga, roten till en jämn grad av talet a existerar endast för icke-negativ a. Dessutom, om a=0, är roten av a unik och lika med noll, och om a>0, så finns det två rötter av jämn grad av talet a, och de är motsatta tal.
Låt oss underbygga det sista påståendet. Låt b vara en rot av jämn grad (vi betecknar det som 2 m, där m är något naturligt nummer) från nummer a . Antag att det finns ett tal c - en annan rot av grad 2·m från talet a. Då b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Men vi känner till formen b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +...+c 2 m−2), sedan (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +...+c 2 m−2)=0. Av denna likhet följer att b−c=0, eller b+c=0, eller b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +...+c 2 m−2 =0. De två första likheterna betyder att talen b och c är lika eller b och c är motsatta. Och den sista likheten är endast giltig för b=c=0, eftersom det på dess vänstra sida finns ett uttryck som är icke-negativt för alla b och c som summan av icke-negativa tal.
När det gäller rötterna av den n:e graden för udda n, liknar de kubikroten. Det vill säga roten till vilken udda grad som helst av talet a finns för vilket reellt tal a som helst, och för ett givet tal a är det unikt.
Det unika hos en rot med udda grad 2·m+1 av talet a bevisas i analogi med beviset på unikheten hos kubroten av a. Bara här istället för jämlikhet a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2) en likhet av formen b 2 m+1 −c 2 m+1 = används (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +... +c 2·m). Uttrycket i sista parentes kan skrivas om som b 2 m + c 2 m + b c (b 2 m−2 + c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (...+(b 2 +c 2 +b c)))). Till exempel, med m=2 har vi b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). När a och b båda är positiva eller båda negativa är deras produkt ett positivt tal, då uttrycket b 2 +c 2 +b·c inom parentes själv hög grad kapsling, är positiv som summan av positiva tal. När vi nu sekventiellt går till uttrycken inom parentes för de tidigare häckningsgraderna är vi övertygade om att de också är positiva som summan av positiva tal. Som ett resultat får vi att likheten b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +... +c 2·m)=0 endast möjligt när b−c=0, det vill säga när talet b är lika med talet c.
Det är dags att förstå notationen av n:te rötter. För detta ändamål ges den definition av aritmetisk rot av n:e graden.
Definition
Aritmetisk rot av den n:e graden av ett icke-negativt tal aär ett icke-negativt tal vars n:te potens är lika med a.
Rotgrad n från ett verkligt tal a, Var n- naturligt tal, ett sådant reellt tal kallas x, n vars th potens är lika med a.
Rotgrad n från numret a indikeras av symbolen. Enligt denna definition.
Att hitta roten n e graden bland a kallas rotextraktion. siffra A kallas ett radikalt tal (uttryck), n- rotindikator. För udda n det finns en rot n-e potens för valfritt reellt tal a. När ens n det finns en rot n-th potens endast för icke-negativa tal a. För att disambiguera roten n e graden bland a, introduceras begreppet en aritmetisk rot n e graden bland a.
Begreppet en aritmetisk rot av grad N
Om n- naturligt antal, större 1 , då finns det, och bara ett, icke-negativt tal X, så att jämställdheten tillgodoses. Detta nummer X kallas en aritmetisk rot n potensen av ett icke-negativt tal A och är betecknad. siffra A kallas ett radikalt tal, n- rotindikator.
Så enligt definitionen betyder notationen , där , för det första att och för det andra att, dvs. .
Begreppet en examen med en rationell exponent
Grad med naturlig exponent: låt Aär ett reellt tal, och n- ett naturligt tal större än ett, n-te potensen av talet A ring arbetet n faktorer som var och en är lika A, dvs. . siffra A- grunden för examen, n- exponent. En potens med nollexponent: per definition, om , då . Nollpotens för ett tal 0 inte vettigt. En grad med en negativ heltalsexponent: antas per definition om och när ett naturligt tal, alltså . En grad med bråkexponent: det antas per definition om och n- naturligt nummer, mär ett heltal, alltså .
Verksamhet med rötter.
I alla formlerna nedan betyder symbolen en aritmetisk rot (det radikala uttrycket är positivt).
1. Roten av produkten av flera faktorer är lika med produkten av rötterna av dessa faktorer:
2. Roten till attityd lika med förhållandet rötter till utdelning och divisor:
3. När man höjer en rot till en makt räcker det att höja det radikala talet till denna makt: 
4. Om du ökar graden av roten n gånger och samtidigt höjer det radikala talet till n:te potensen, kommer rotens värde inte att ändras: 
5. Om du minskar graden av roten med n gånger och samtidigt extraherar den n:te roten av radikaltalet, ändras inte rotens värde:
Utvidgar begreppet grad. Hittills har vi bara betraktat grader med naturliga exponenter; men operationer med potenser och rötter kan också leda till negativa, noll- och bråkexponenter. Alla dessa exponenter kräver ytterligare definition.
En grad med negativ exponent. Potensen för ett visst tal med en negativ (heltals) exponent definieras som en dividerad med potensen av samma tal med en exponent lika med absolutvärde negativ indikator:
Nu kan formeln a m: a n = a m - n användas inte bara för m större än n, utan också för m mindre än n.
EXEMPEL a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Om vi vill att formeln a m: a n = a m - n ska vara giltig för m = n behöver vi en definition av grad noll.
En grad med nollindex. Potensen för ett tal som inte är noll med exponent noll är 1.
EXEMPEL. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Grad med bråkexponent. För att höja ett reellt tal a till potensen m / n, måste du extrahera den n:te roten av den månte potensen av detta tal a:
Om uttryck som inte har någon mening. Det finns flera sådana uttryck.
Fall 1.
Där a ≠ 0 inte finns.
Faktum är att om vi antar att x är ett visst tal, så har vi i enlighet med definitionen av divisionsoperationen: a = 0 x, dvs. a = 0, vilket motsäger villkoret: a ≠ 0
Fall 2.
Vilket nummer som helst.
Faktum är att om vi antar att detta uttryck är lika med ett visst tal x, så har vi enligt definitionen av divisionsoperationen: 0 = 0 · x. Men denna likhet gäller för vilket tal x som helst, vilket är vad som behövde bevisas.
Verkligen,
Lösning Låt oss överväga tre huvudfall:
1) x = 0 – detta värde uppfyller inte denna ekvation
2) för x > 0 får vi: x / x = 1, dvs. 1 = 1, vilket betyder att x är vilket tal som helst; men med hänsyn till att i vårt fall x > 0 är svaret x > 0;
3) vid x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,
i detta fall finns det ingen lösning. Alltså x > 0.
En aritmetisk rot av den n:e graden av ett icke-negativt tal är ett icke-negativt tal n:e graden som är lika med:
Potensen för en rot är ett naturligt tal större än 1.
3. 
4. 
Speciella fall:
1. Om rotexponenten inte är ett heltal jämnt nummer (), då kan det radikala uttrycket vara negativt.
I fallet med en udda exponent, ekvationen för alla verkliga värden och heltal har ALLTID en enda rot:
För en rot av udda grad gäller följande identitet:
,
2. Om rotexponenten är ett jämnt heltal (), då kan inte det radikala uttrycket vara negativt.
I fallet med en jämn exponent, Ekv. Det har
på enda rot
och, om och
För en rot av jämn grad gäller följande identitet:
För en rot av jämn grad gäller följande likheter::
Power funktion, dess egenskaper och graf.
Power funktion och dess egenskaper.
Power funktion med naturlig exponent. Funktionen y = x n, där n är ett naturligt tal, kallas en potensfunktion med en naturlig exponent. För n = 1 får vi funktionen y = x, dess egenskaper:
Direkt proportionalitet. Direkt proportionalitet är en funktion som definieras av formeln y = kx n, där talet k kallas proportionalitetskoefficienten.
Låt oss lista egenskaperna för funktionen y = kx.
En funktions domän är mängden av alla reella tal.
y = kx - inte jämn funktion(f(-x) = k(-x)= -kx = -k(x)).
3) För k > 0 ökar funktionen, och för k< 0 убывает на всей числовой прямой.
Grafen (rät linje) visas i figur II.1.
Ris. II.1.
När n=2 får vi funktionen y = x 2, dess egenskaper:
Funktion y -x 2. Låt oss lista egenskaperna för funktionen y = x 2.
y = x 2 - jämn funktion (f(- x) = (- x) 2 = x 2 = f (x)).
Funktionen minskar under intervallet.
Faktum är att om , då - x 1 > - x 2 > 0, och därför
(-x 1) 2 > (- x 2) 2, dvs och detta betyder att funktionen minskar.
Grafen för funktionen y=x2 är en parabel. Denna graf visas i figur II.2.
Ris. II.2.
När n = 3 får vi funktionen y = x 3, dess egenskaper:
Definitionsdomänen för en funktion är hela tallinjen.
y = x 3 - udda funktion(f (- x) = (- x) 2 = - x 3 = - f (x)).
3) Funktionen y = x 3 ökar längs hela tallinjen. Grafen för funktionen y = x 3 visas i figuren. Det kallas en kubisk parabel.
Grafen (kubisk parabel) visas i figur II.3.
Ris. II.3.
Låt n vara ett godtyckligt jämnt naturligt tal större än två:
n = 4, 6, 8,... . I detta fall har funktionen y = x n samma egenskaper som funktionen y = x 2. Grafen för en sådan funktion liknar en parabel y = x 2, endast grenarna av grafen vid |n| >1 ju brantare de går uppåt, desto större n, och ju mer "pressade" till x-axeln, desto större n.
Låt n vara ett godtyckligt udda tal större än tre: n = = 5, 7, 9, ... . I detta fall har funktionen y = x n samma egenskaper som funktionen y = x 3. Grafen för en sådan funktion liknar en kubisk parabel (endast grafens grenar går upp och ner desto brantare, desto större n är. Observera också att på intervallet (0; 1) rör sig grafen för potensfunktionen y = x n bort från x-axeln långsammare när x ökar, desto mer än n.
Potensfunktion med negativ heltalsexponent. Betrakta funktionen y = x - n, där n är ett naturligt tal. När n = 1 får vi y = x - n eller y = Egenskaper för denna funktion:
Grafen (hyperbol) visas i figur II.4.
