Функциите за начертаване е една от най-интересните теми в училищната математика. Дробна линейна функция

1. Дробна линейна функцияи нейния график

Функция от вида y = P (x) / Q (x), където P (x) и Q (x) са полиноми, се нарича дробна рационална функция.

Вероятно вече сте запознати с концепцията за рационалните числа. По същия начин рационални функцииТова са функции, които могат да бъдат представени като частно от два полинома.

Ако дробна рационална функция е частно от две линейни функции - полиноми от първа степен, т.е. функция на формата

y = (ax + b) / (cx + d), тогава се нарича дробно линейно.

Обърнете внимание, че във функцията y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (в противен случай функцията става линейна y = ax / d + b / d) и че a / c ≠ b / d (в противен случай функцията функцията е константа). Линейната дробна функция е дефинирана за всички реални числа с изключение на x = -d / c. Графиките на линейно-дробни функции не се различават по форма от графиката, която знаете за y = 1 / x. Извиква се кривата, която е графиката на функцията y = 1 / x хипербола... С неограничено увеличение на x in абсолютна стойностфункцията y = 1 / x намалява неограничено по абсолютна стойност и двата клона на графиката се приближават към оста на абсцисата: десният се приближава отгоре, а левият - отдолу. Правите линии, към които се приближават клоните на хиперболата, се наричат ​​нейни асимптоти.

Пример 1.

y = (2x + 1) / (x - 3).

Решение.

Нека изберем цялата част: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

Сега е лесно да се види, че графиката на тази функция се получава от графиката на функцията y = 1 / x чрез следните трансформации: изместване с 3 единични сегмента надясно, разтягане по оста Oy 7 пъти и изместване с 2 единични сегмента нагоре.

Всяка дроб y = (ax + b) / (cx + d) може да бъде написана по подобен начин, подчертавайки "цялата част". Следователно графиките на всички линейно-дробни функции са хиперболи, по различни начиниизместен по координатните оси и разтегнат по оста Oy.

Да се ​​начертае графика на произволно дробно линейна функцияизобщо не е необходимо да се трансформира дробът, който дефинира тази функция. Тъй като знаем, че графиката е хипербола, ще бъде достатъчно да намерим правите линии, към които се приближават клоните й - асимптотите на хиперболата x = -d / c и y = a / c.

Пример 2.

Намерете асимптотите на графиката на функцията y = (3x + 5) / (2x + 2).

Решение.

Функцията е недефинирана, когато x = -1. Следователно, правата x = -1 служи като вертикална асимптота. За да намерим хоризонталната асимптота, нека да разберем какви стойности на функцията y (x) се приближават, когато аргументът x се увеличава по абсолютна стойност.

За да направите това, разделете числителя и знаменателя на дроба на x:

y = (3 + 5 / x) / (2 + 2 / x).

Тъй като x → ∞, дробът ще се стреми към 3/2. Следователно, хоризонталната асимптота е правата линия y = 3/2.

Пример 3.

Начертайте графика на функцията y = (2x + 1) / (x + 1).

Решение.

Нека изберем "цялата част" на дроба:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) - 1 / (x + 1) =

2 - 1 / (x + 1).

Сега е лесно да се види, че графиката на тази функция се получава от графиката на функцията y = 1 / x чрез следните трансформации: изместване с 1 единица наляво, симетричен дисплей по отношение на Ox и изместване с 2 единични сегмента нагоре по оста Oy.

Домейн D (y) = (-∞; -1) ᴗ (-1; + ∞).

Диапазонът от стойности е E (y) = (-∞; 2) ᴗ (2; + ∞).

Точки на пресичане с осите: c Oy: (0; 1); c Ох: (-1/2; 0). Функцията се увеличава на всеки от интервалите от областта на дефиниране.

Отговор: Фигура 1.

2. Дробна рационална функция

Да разгледаме дробна рационална функция от вида y = P (x) / Q (x), където P (x) и Q (x) са полиноми от степен, по-висока от първата.

Примери за такива рационални функции:

y = (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) или y = (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Ако функцията y = P (x) / Q (x) е частно от два полинома със степен, по-висока от първата, тогава нейната графика, като правило, ще бъде по-трудна и да се начертае точно, с всички подробности понякога е трудно. Често обаче е достатъчно да приложим техники, подобни на тези, с които вече се запознахме по-горе.

Нека дробът е правилен (n< m). Известно, что любую несократимую рационална дробможе да се представи и по уникален начин като сума от краен брой елементарни дроби, чиято форма се определя чрез разширяване на знаменателя на дроб Q (x) в произведение от реални фактори:

P (x) / Q (x) = A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 +… + A m1 / (x - K 1) +… +

L 1 / (x - K s) ms + L 2 / (x - K s) ms-1 +… + L ms / (x - K s) +… +

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 + p 1 x + q 1) m1 +… + (B m1 x + C m1) / (x 2 + p 1 x + q 1) +… +

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 +… + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Очевидно графиката на дробно-рационална функция може да се получи като сума от графиките на елементарните дроби.

Построяване на дробни рационални функции

Нека разгледаме няколко начина за изграждане на графики на дробна рационална функция.

Пример 4.

Начертайте графика на функцията y = 1 / x 2.

Решение.

Използваме графиката на функцията y = x 2, за да начертаем графиката y = 1 / x 2 и използваме техниката на "разделяне" на графиките.

Домейн D (y) = (-∞; 0) ᴗ (0; + ∞).

Диапазон от стойности E (y) = (0; + ∞).

Няма пресечни точки с осите. Функцията е равномерна. Увеличава се за всички x от интервала (-∞; 0), намалява за x от 0 до + ∞.

Отговор: Фигура 2.

Пример 5.

Начертайте графика на функцията y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).

Решение.

Област D (y) = (-∞; 3) ᴗ (3; + ∞).

y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) = (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) = - (x - 1) / 3 = -x / 3 + 1/3.

Тук използвахме трика за факторизиране, отмяна и линеаризиране.

Отговор: Фигура 3.

Пример 6.

Начертайте графиката на функцията y = (x 2 - 1) / (x 2 + 1).

Решение.

Област на дефиниция D (y) = R. Тъй като функцията е четна, графиката е симетрична спрямо оста на ординатите. Преди да изградим графиката, нека трансформираме израза отново, подчертавайки цялата част:

y = (x 2 - 1) / (x 2 + 1) = 1 - 2 / (x 2 + 1).

Имайте предвид, че изборът на цялата част във формулата на дробно-рационална функция е един от основните при изграждането на графики.

Ако x → ± ∞, то y → 1, т.е. правата y = 1 е хоризонталната асимптота.

Отговор: Фигура 4.

Пример 7.

Разгледайте функцията y = x / (x 2 + 1) и се опитайте да намерите най-голямата й стойност точно, т.е. повечето висока точкадясната половина на графиката. За да се начертае точно тази графика, днешните знания не са достатъчни. Очевидно нашата крива не може да се "издигне" много високо, т.к знаменателят започва да "изпреварва" числителя доста бързо. Нека видим дали стойността на функцията може да бъде равна на 1. За да направите това, трябва да решите уравнението x 2 + 1 = x, x 2 - x + 1 = 0. Това уравнение няма реални корени. Това означава, че нашето предположение не е вярно. За да намерите най-много голямо значениефункция, трябва да разберете при кое най-голямо A уравнението A = x / (x 2 + 1) ще има решение. Заменете оригиналното уравнение с квадратно: Ax 2 - x + A = 0. Това уравнение има решение, когато 1 - 4A 2 ≥ 0. От тук намираме най-голяма стойност A = 1/2.

Отговор: Фигура 5, max y (x) = ½.

Все още имате въпроси? Не сте сигурни как да начертаете функционални графики?
За да получите помощ от преподавател - регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!

сайт, с пълно или частично копиране на материала, е необходима връзка към източника.

“СУБАШКО ОСНОВНО ОБРАЗОВАТЕЛНО УЧИЛИЩЕ „ОБЛ.БАЛТАСИН

РЕПУБЛИКА ТАТАРСТАН

Разработка на урока - 9 клас

Тема: Fractional - Linear Funkция

квалификационна категория

ГарифулинаЖелезопътенАз съмРифкатовна

201 4

Тема на урока: Дробно - линейна функция.

Целта на урока:

Образователна: Да запознае учениците с понятиятадробно - линейна функция и уравнение на асимптоти;

Разработване: Формиране на техники логично мислене, развитие на интерес към предмета; да развие определянето на зоната на дефиниция, областта на значението на дробно-линейната функция и формиране на умения за изграждане на нейната графика;

- мотивационна цел:насърчаване на математическата култура на учениците, внимание, поддържане и развиване на интерес към изучаването на предмета чрез приложението различни формиовладяване на знанието.

Оборудване и литература: Лаптоп, проектор, интерактивна дъска, координатно пространство и графика на функцията y = , карта за отражение, мултимедийна презентация,Алгебра: учебник за 9 клас осн общообразователно училище/ Ю.Н. Макаричев, Н. Г. Мендюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под редакцията на С. А. Теляковски / М: "Образование", 2004 г. с допълнения.

Тип урок:

урок за усъвършенстване на знания, умения, умения.

По време на занятията.

аз Организиране на времето:

Цел: - развитие на устни изчислителни умения;

повторение на теоретични материали и определения, необходими за изучаване на нова тема.

Добър ден! Започваме урока с проверка на домашното:

Внимание към екрана (слайд 1-4):

Упражнение 1.

Моля, отговорете според графика на тази функция на 3 въпроса (намерете най-голямата стойност на функцията, ...)

( 24 )

Задача -2. Изчислете стойността на израза:

- =

Задача -3: Намерете утроената сума на корените квадратно уравнение:

NS 2 -671 ∙ X + 670 = 0.

Сумата от коефициентите на квадратното уравнение е нула:

1 + (- 671) +670 = 0. Следователно, x 1 = 1 и x 2 = следователно,

3 ∙ (х 1 + х 2 )=3∙671=2013

А сега нека запишем последователно отговорите на всичките 3 задачи през точките. (24.12.2013 г.)

Резултат: Да, точно така! И така, темата на днешния урок:

Дробно - линейна функция.

Преди да влезе на пътя, водачът трябва да знае правилата пътен трафик: забранителни и разрешителни знаци. Днес също трябва да си припомним някои забранителни и разрешителни знаци. Внимание към екрана! (Слайд 6 )

Изход:

Изразът е безсмислен;

Правилен израз, отговор: -2;

правилен израз, отговор: -0;

не може да се раздели на нула 0!

Забележете дали всичко е записано правилно? (слайд - 7)

1) ; 2) = ; 3) = а .

(1) истинско равенство, 2) = - ; 3) = - а )

II. Изучаване на нова тема: (слайд - 8).

Цел: Да научи уменията за намиране на областта на дефиниция и областта на стойността на дробно-линейна функция, изграждане на нейната графика с помощта на паралелно прехвърляне на графиката на функцията по осите на абсцисата и ординатите.

Определете коя функционална графика е зададена координатна равнина?

Графиката на функцията е поставена в координатната равнина.

Въпрос

Очакван отговор

Намерете домейна на функцията, (д( г)=?)

X ≠ 0, или(-∞; 0] UUU

Преместете функционалната графика, използвайки паралелно преместване по оста Ox (абсцисата) 1 единица вдясно;

Каква функция е начертана?

Преместете функционалната графика, използвайки паралелно преместване по оста Oy (ординатната) с 2 единици нагоре;

Сега, каква функция сте начертали?

Начертайте прави линии x = 1 и y = 2

Какво мислиш? Какви директни линии получихме с вас?

Това са направо, към която точките от кривата на графиката на функцията се приближават, като се отдалечават до безкрайност.

И те се наричат- асимптоти.

Тоест една асимптота на хиперболата върви успоредно на оста y на разстояние 2 единици вдясно от нея, а втората асимптота върви успоредно на оста x на разстояние 1 единица над нея.

Много добре! И сега да заключим:

Графиката на линейна дробна функция е хипербола, която може да се получи от хиперболата y =като се използва паралелно пренасянепо координатните оси. За това трябва да бъде представена формулата на линейната дробна функция както следва: y =

където n е броят на единиците, с които хиперболата се измества надясно или наляво, m е броят на единиците, с които хиперболата се измества нагоре или надолу. В този случай асимптотите на хиперболата се изместват към правите x = m, y = n.

Нека дадем примери за дробна линейна функция:

; .

Линейна дробна функция е функция от вида y = , където x е променлива, a, b, c, d са някои числа и c ≠ 0, ad - bc ≠ 0.

с ≠ 0 иреклама- пр. н. е≠ 0, тъй като при с = 0 функцията се превръща в линейна.

Акореклама- пр. н. е= 0, получавате отменена дроб, която е равна на (т.е. константа).

Свойствата на линейната дробна функция:

1. Възходящо положителни стойностиаргумент, стойностите на функцията намаляват и клонят към нула, но остават положителни.

2. С увеличаването на положителните стойности на функцията, стойностите на аргумента намаляват и клонят към нула, но остават положителни.

III - затвърждаване на преминатия материал.

Цел: - развиват умения и презентационни уменияформули на линейна дробна функция във формата:

Засилване на уменията за съставяне на асимптотни уравнения и начертаване на дробна линейна функция.

Пример -1:

Решение: Използвайки трансформации, ние представяме тази функция във формата .

= (слайд 10)

Физическо възпитание:

(подгрявката се провежда от дежурния)

Цел: - премахване на психическото напрежение и укрепване здравето на учениците.

Работа с учебника: №184.

Решение: Използвайки трансформации, ние представяме тази функция като y = k / (x-m) + n.

= de x ≠ 0.

Записваме уравнението на асимптотата: x = 2 и y = 3.

Следователно, графиката на функцията се движи по оста Ox на разстояние 2 единици вдясно от нея и по оста Oy на разстояние 3 единици над нея.

Групова работа:

Цел: - формиране на умения да изслушвате другите и в същото време да изразявате конкретно мнението си;

възпитание на личност, способна за лидерство;

възпитаване на култура на математическа реч сред учениците.

Вариант номер 1

Дадена функция:

.

.

Вариант номер 2

Функцията е дадена

1. Намалете линейно-дробната функция до стандартния й вид и запишете уравнението на асимптотите.

2. Намерете домейна на функцията

3. Намерете набора от стойности на функцията

1. Намалете линейно-дробната функция до стандартния й вид и запишете уравнението на асимптотите.

2. Намерете домейна на функцията.

3. Намерете набора от стойности на функцията.

(Групата, завършила работата първа, се подготвя за защита на груповата работа на черната дъска. Извършва се анализ на работата.)

IV. Обобщаване на урока.

Цел: - анализ на теоретичните и практически дейностина урока;

Формиране на умения за самооценка на учениците;

Рефлексия, самооценка на дейността и съзнанието на учениците.

И така, скъпи мои ученици! Урокът е към своя край. Трябва да попълните картата за рефлексия. Пишете вашите мнения внимателно и четливо

Фамилия и собствено име _______________________________________

Стъпки на урока

Определяне на нивото на сложност на стъпките на урока

Твоите ние-трима

Оценка на вашата дейност в урока, 1-5 точки

светлина

Ср тежка

трудно

Организационен етап

Изучаване на нов материал

Формиране на умения за изграждане на графика на дробно-линейна функция

Работа в групи

Общо мнение за урока

Домашна работа:

Цел: - проверка на нивото на овладяване на тази тема.

[стр.10 *, # 180 (а), 181 (б).]

Подготовка за GIA: (Работи върху "Виртуален избираем“ )

Упражнение от поредицата GIA (№ 23 - максимален резултат):

Начертайте графика на функцията Y =и определете при какви стойности на c линията y = c има точно една обща точка с графиката.

Въпросите и задачите ще бъдат публикувани от 14.00 до 14.30 часа.

В този урок ще разгледаме линейно-дробна функция, ще решаваме задачи, използвайки линейно-дробна функция, модул, параметър.

Тема: Повторение

Урок: Линейна дробна функция

определение:

Функция на формата се нарича дробно-линейна:

Например:

Нека докажем, че графиката на тази линейна дробна функция е хипербола.

Нека извадим двете в числителя извън скобите, получаваме:

Имаме x както в числителя, така и в знаменателя. Сега нека трансформираме така, че изразът да се появи в числителя:

Сега нека намалим частния член по член:

Очевидно графиката на тази функция е хипербола.

Можем да предложим втори начин за доказване, а именно разделяне на числителя на знаменателя в колона:

Има:

Важно е да можете лесно да начертаете линейна дробна функция, по-специално да намерите центъра на симетрия на хипербола. Нека решим проблема.

Пример 1 - Начертайте графика на функция:

Вече трансформирахме тази функция и получихме:

За да изградим тази графика, няма да изместваме осите или самата хипербола. Използваме стандартен метод за изобразяване на функции, използвайки наличието на интервали с постоянен знак.

Действаме според алгоритъма. Нека първо разгледаме дадената функция.

По този начин имаме три интервала на постоянство: в крайния десен () функцията има знак плюс, след това знаците се редуват, тъй като всички корени имат първа степен. И така, на интервала функцията е отрицателна, на интервала функцията е положителна.

Изграждаме скица на графиката в близост до корените и точките на прекъсване на ODZ. Имаме: тъй като в точката знакът на функцията се променя от плюс на минус, кривата първо се намира над оста, след това преминава през нула и след това се намира под оста x. Когато знаменателят на дроб е практически нула, това означава, че когато стойността на аргумента клони към три, стойността на дроба клони към безкрайност. V в такъв случай, когато аргументът се доближи до тройката отляво, функцията е отрицателна и клони към минус безкрайност, отдясно функцията е положителна и излиза от плюс безкрайност.

Сега изграждаме скица на графиката на функцията в околността на безкрайно отдалечени точки, т.е. когато аргументът се приближи до плюс или минус безкрайност. В този случай постоянните членове могат да бъдат пренебрегнати. Ние имаме:

По този начин имаме хоризонтална асимптота и вертикална, центърът на хиперболата е точка (3; 2). Нека илюстрираме:

Ориз. 1. Графика на хипербола за пример 1

Дробните линейни задачи могат да бъдат усложнени от наличието на модул или параметър. За да начертаете, например графика на функция, трябва да следвате следния алгоритъм:

Ориз. 2. Илюстрация към алгоритъма

Получената графика има разклонения, които са над оста x и под оста x.

1. Приложете посочения модул. В този случай частите на графиката, които са над оста x, остават непроменени, а тези, които са под оста, се отразяват огледално около оста x. Получаваме:

Ориз. 3. Илюстрация към алгоритъма

Пример 2 - начертайте графика на функцията:

Ориз. 4. Графика на функциите например 2

Помислете за следната задача - да начертаете графика на функцията. За да направите това, трябва да следвате следния алгоритъм:

1. Начертайте функцията на подмодула

Да предположим, че имате следната графика:

Ориз. 5. Илюстрация за алгоритъма

1. Приложете посочения модул. За да разберем как да направите това, нека разширим модула.

По този начин за стойностите на функцията за неотрицателни стойности на аргумента няма да настъпят промени. За второто уравнение знаем, че се получава чрез симетрично картографиране около оста y. имаме графика на функцията:

Ориз. 6. Илюстрация към алгоритъма

Пример 3 - начертайте графика на функцията:

Според алгоритъма първо трябва да изградите графика на субмодуларната функция, ние вече я изградихме (вижте фигура 1)

Ориз. 7. Графика на функциите например 3

Пример 4 - намерете броя на корените на уравнение с параметър:

Припомнете си, че решаването на уравнение с параметър означава да преминете през всички стойности на параметрите и да посочите отговор за всеки от тях. Действаме според методиката. Първо, изграждаме графика на функцията, вече направихме това в предишния пример (вижте фигура 7). След това трябва да дисектирате графиката по семейство прави линии за различни a, да намерите пресечните точки и да запишете отговора.

Разглеждайки графиката, ние изписваме отговора: за и уравнението има две решения; когато уравнението има едно решение; при, уравнението няма решения.

брадва +б
Линейна дробна функция е функция на формата г = --- ,
cx +д

където х- променлива, а,б,° С,д- някои цифри, освен това ° С ≠ 0, реклама -пр. н. е ≠ 0.

Свойствата на линейната дробна функция:

Графиката на линейната дробна функция е хипербола, която може да бъде получена от хиперболата y = k / x с помощта на паралелни транслации по координатните оси. За това формулата за линейно-дробна функция трябва да бъде представена в следната форма:

к
y = n + ---
х - м

където н- броят на единиците, с които хиперболата се измества надясно или наляво, м- броят на единиците, с които хиперболата се измества нагоре или надолу. В този случай асимптотите на хиперболата се изместват към правите x = m, y = n.

Асимптотата е права линия, към която точките на кривата се приближават, докато се отдалечават до безкрайност (вижте фигурата по-долу).

За паралелно пренасяне вижте предишните раздели.

Пример 1.Намерете асимптотите на хиперболата и начертайте графиката на функцията:

х + 8
г = ---
х – 2

Решение:

к
Представяме дроба като n + ---
х - м

За това х+ 8 се записва в следната форма: x - 2 + 10 (т.е. 8 се представя като –2 + 10).

х+ 8 x - 2 + 10 1 (x - 2) + 10 10
--- = ----- = ------ = 1 + ---
х – 2 х – 2 х – 2 х – 2

Защо изразът е приел тази форма? Отговорът е прост: направете събирането (привеждайки двата термина в общ знаменател) и ще се върнете към предишния израз. Тоест, това е резултат от трансформирането на дадения израз.

И така, получихме всички необходими стойности:

k = 10, m = 2, n = 1.

Така намерихме асимптотите на нашата хипербола (приемайки, че x = m, y = n):

Тоест една асимптота на хиперболата върви успоредно на оста гна разстояние 2 единици вдясно от него, а втората асимптота върви успоредно на оста х 1 единица над него.

Нека построим графика на тази функция. За да направите това, нека направим следното:

1) начертайте асимптотите в координатната равнина с пунктирана линия - правата x = 2 и правата y = 1.

2) тъй като хиперболата се състои от два клона, тогава за конструиране на тези клонове съставяме две таблици: една за x<2, другую для x>2.

Първо избираме стойностите на x за първата опция (x<2). Если x = –3, то:

10
y = 1 + --- = 1 - 2 = –1
–3 – 2

Избиране на други стойности произволно х(например -2, -1, 0 и 1). Изчислете съответните стойности г... Въвеждаме резултатите от всички получени изчисления в таблицата:

Сега нека създадем таблица за опцията x> 2:

Дробна рационална функция

Формула y = k / x, графиката е хипербола. Част 1 GIA тази функцияпредлага се без аксиални измествания. Следователно той има само един параметър к... Най-голямата разлика е външен видграфиката зависи от знака к.

Разликите в графиките са по-трудни за установяване кедин знак:

Както виждаме, толкова повече к, толкова по-високо е хиперболата.

Фигурата показва функции, за които параметърът k се различава значително. Ако разликата не е толкова голяма, тогава е доста трудно да се определи на око.

В това отношение просто "шедьовър" е следната задача, която открих в общо взето добро ръководство за подготовка за GIA:

Не само това, в доста малка картина, близко разположените графики просто се сливат. Така също хиперболите с положително и отрицателно k са изобразени в една и съща координатна равнина. Което е напълно дезориентиращо за всеки, който погледне тази рисунка. Просто "готина звезда" ви хваща окото.

Слава Богу, това е само тренировъчна задача. В реални версии бяха предложени по-правилни формулировки и очевидни чертежи.

Нека да разберем как да определим коефициента кспоред графика на функциите.

От формулата: y = k / xследва това k = y x... Тоест, можем да вземем всяка точка с удобни координати и да ги умножим - получаваме к.

к= 1 (- 3) = - 3.

Следователно формулата за тази функция е: y = - 3 / x.

Интересно е да се разгледа ситуацията с дробно k. В този случай формулата може да бъде написана по няколко начина. Това не трябва да е подвеждащо.

Например,

На тази графика е невъзможно да се намери нито една точка с цяло число. Следователно стойността кможе да се определи много приблизително.

к= 1 · 0,7≈0,7. Все пак може да се разбере, че 0< к< 1. Если среди предложенных вариантов есть такое значение, то можно считать, что оно и является ответом.

И така, нека обобщим.

к> 0 хиперболата се намира в 1-ви и 3-ти координатни ъгли (квадранти),

к < 0 - во 2-м и 4-ом.

Ако кпо модул по-голям от 1 ( к= 2 или к= - 2), тогава графиката е разположена над 1 (под - 1) по оста y, изглежда по-широка.

Ако кпо модул по-малко от 1 ( к= 1/2 или к= - 1/2), тогава графиката се намира под 1 (над - 1) по оста y и изглежда по-тясна, "натисната" до нула: