Descripción
El mecanismo de Chebyshev fue inventado en el siglo XIX por el matemático Pafnuty Chebyshev, quien realizó una investigación problemas teóricos mecanismos cinemáticos. Uno de esos problemas era el problema de la conversión. movimiento rotatorio en movimiento casi rectilíneo.
El movimiento rectilíneo está determinado por el movimiento del punto P - el punto medio del enlace L 3 ubicado en el medio entre dos puntos extremos acoplamientos de este mecanismo de cuatro enlaces. ( L 1 , L 2 , L 3, y L 4 se muestran en la ilustración). Al moverse a lo largo de la sección que se muestra en la ilustración, el punto P se desvía del movimiento rectilíneo ideal. Las relaciones entre las longitudes de los enlaces son las siguientes:
El punto P se encuentra en el medio del enlace. L 3 . Las proporciones dadas muestran que el enlace L 3 se posiciona verticalmente cuando se encuentra en las posiciones extremas de su movimiento.
Las longitudes están relacionadas matemáticamente de la siguiente manera:
Basado en el mecanismo descrito, Chebyshev fabricó el primer mecanismo para caminar del mundo, que se utilizó gran éxito en la Exposición Universal de París de 1878.
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Otras formas de convertir el movimiento de rotación en un movimiento aproximadamente rectilíneo son las siguientes:
- el mecanismo de Heuken es una variación del mecanismo de Chebyshev;
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Un extracto que caracteriza el mecanismo de Chebyshev
- Sobre… ¡si es un lobo!… ¡cazadores! - Y como si no honrara al conde avergonzado y asustado con más conversación, él, con toda la ira preparada para el conde, golpeó al castrado marrón en los costados húmedos hundidos y corrió tras los perros. El conde, como castigado, se quedó mirando a su alrededor y tratando con una sonrisa de suscitar en Semyon arrepentimiento por su posición. Pero Semyon ya no estaba allí: él, en un desvío entre los arbustos, saltó a un lobo de la muesca. Los galgos también saltaron sobre la bestia desde dos lados. Pero el lobo se metió entre los arbustos y ni un solo cazador lo interceptó.Nikolai Rostov, mientras tanto, estaba en su lugar, esperando a la bestia. Por la cercanía y lejanía de la rodera, por el sonido de las voces de los perros que conocía, por la cercanía, lejanía y elevación de las voces de los que llegaban, sintió lo que pasaba en la isla. Sabía que había sobrevivientes (jóvenes) y lobos experimentados (viejos) en la isla; sabía que los sabuesos se habían dividido en dos manadas, que se estaban envenenando en alguna parte y que algo malo había sucedido. Siempre estaba esperando a la bestia de su lado. Hizo miles de suposiciones diferentes sobre cómo y de qué lado correría la bestia y cómo la envenenaría. La esperanza fue reemplazada por la desesperación. Varias veces se dirigió a Dios con una oración para que el lobo saliera sobre él; rezaba con ese sentimiento apasionado y concienzudo con que la gente reza en momentos de gran excitación, dependiendo de una causa insignificante. “Bueno, ¿qué te cuesta”, le dijo a Dios, “hacer esto por mí! sé que eres grande y que es pecado preguntarte por ello; pero por el amor de Dios, haz que uno experimentado se arrastre sobre mí, y que Karay, frente a los ojos del "tío", que mira desde allí, lo golpee en la garganta con un apretón de muerte. Mil veces en esa media hora, con una mirada obstinada, tensa e inquieta, Rostov lanzó una mirada al borde de los bosques con dos robles raros sobre un asiento de álamo, y un barranco con un borde deslavado, y la casa de un tío. sombrero, apenas visible desde detrás de un arbusto a la derecha.
"No, no habrá esta felicidad", pensó Rostov, pero ¡cuánto costaría! ¡No! Yo siempre, y en las cartas, y en la guerra, en toda desgracia. Austerlitz y Dolokhov brillantemente, pero cambiando rápidamente, parpadearon en su imaginación. “¡Solo una vez en mi vida para cazar un lobo endurecido, no quiero más!” pensó, aguzando el oído y la vista, mirando a la izquierda y otra vez a la derecha, y escuchando los más mínimos matices de los sonidos de la rutina. Volvió a mirar a la derecha y vio que algo corría hacia él por el campo desierto. "¡No, no puede ser!" pensó Rostov, suspirando pesadamente, como suspira un hombre cuando hace lo que ha esperado durante mucho tiempo. La mayor felicidad sucedió, y tan simplemente, sin ruido, sin brillo, sin conmemoración. Rostov no dio crédito a sus ojos, y esta duda duró más de un segundo. El lobo se adelantó corriendo y saltó pesadamente sobre el bache que había en su camino. Era una bestia vieja, de lomo gris y vientre rojizo que se comía. Corrió lentamente, aparentemente convencido de que nadie lo miraba. Rostov miró a los perros sin respirar. Yacieron, se pararon, sin ver al lobo y sin entender nada. Viejo Karay, girando la cabeza y enseñando los dientes Dientes amarillos, buscando furiosamente una pulga, se las partió en los muslos traseros.
mecanismo de Chebyshev
mecanismo de Chebyshev Es un mecanismo que convierte el movimiento de rotación en un movimiento cercano al movimiento rectilíneo.
Fue inventado en el siglo XIX por el matemático Pafnuty Chebyshev, quien realizó una investigación sobre los problemas teóricos de los mecanismos cinemáticos. Uno de estos problemas era el problema de convertir el movimiento de rotación en un movimiento aproximado al movimiento rectilíneo.
El movimiento rectilíneo está determinado por el movimiento del punto P - el punto medio del enlace L 3, ubicado en el medio entre los dos puntos extremos del acoplamiento de este mecanismo de cuatro brazos. ( L 1 , L 2 , L 3, y L 4 se muestran en la ilustración). Al moverse a lo largo de la sección que se muestra en la ilustración, el punto P se desvía del movimiento rectilíneo ideal. Las relaciones entre las longitudes de los enlaces son las siguientes:
El punto P se encuentra en el medio del enlace. L 3 . Las proporciones dadas muestran que el enlace L 3 se posiciona verticalmente cuando se encuentra en las posiciones extremas de su movimiento.
Las longitudes están relacionadas matemáticamente de la siguiente manera:
Sobre la base del mecanismo descrito, Chebyshev fabricó el primer mecanismo para caminar del mundo, que fue un gran éxito en la Exposición Universal de París en 1878.
Otras formas de convertir el movimiento de rotación en un movimiento aproximadamente rectilíneo son las siguientes:
- el mecanismo de Heuken es una variación del mecanismo de Chebyshev;
- mecanismo Lipkin - Posselier;
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- (eng. Hoekens linkage) es un mecanismo de cuatro enlaces que convierte el movimiento de rotación en aproximadamente rectilíneo. Este mecanismo es similar al mecanismo de Chebyshev. Las relaciones entre los eslabones del mecanismo se muestran en la ilustración. ... ... Wikipedia
Un sistema especial de polinomios ortogonales con un peso (polinomio de Chebyshev de 1er tipo) o con un peso (polinomio de Chebyshev de 2do tipo) en un segmento del PARALELOGRAMA DE CHEBYSHEV un mecanismo articulado plano de 4 eslabones para reproducir el movimiento de un cierto punto ... ... Gran diccionario enciclopédico
Un mecanismo de bisagra propuesto por P. L. Chebyshev en 1868 para reproducir el movimiento de un punto determinado del mecanismo en línea recta. Ch. p. es un ABCD de cuatro enlaces articulado plano (Fig.), También llamado rectilíneo ... ... Grande enciclopedia sovietica
- (llamado así por el matemático y mecánico ruso P. L. Chebyshev; 1821 1894) un mecanismo articulado plano de 4 eslabones para reproducir el movimiento de algunos puntos del eslabón (punto M en la figura) en línea recta sin el uso de guías. Propuesto en 1868. Utilizado en ... ... Gran diccionario politécnico enciclopédico
El primer mecanismo para caminar del mundo, inventado por un matemático ruso, recibió la aprobación general en la Exposición Mundial de París en 1878.
Pafnuty Lvovich Chebyshev es un destacado matemático ruso cuya investigación una amplia gama problemas científicos.
En sus escritos buscó combinar las matemáticas con los fundamentos de las ciencias naturales y la tecnología. Varios de los descubrimientos de Chebyshev están relacionados con la investigación aplicada, principalmente relacionados con la teoría de los mecanismos. Además, Chebyshev es uno de los fundadores de la teoría de la mejor aproximación de funciones mediante polinomios. El probó en forma general ley números grandes en teoría de probabilidad y en teoría de números: la ley asintótica de distribución de números primos, etc. La investigación de Chebyshev fue la base para el desarrollo de nuevas secciones de la ciencia matemática.
El futuro matemático que se hizo famoso en todo el mundo nació el 26 de mayo de 1821 en el pueblo de Okatovo, provincia de Kaluga. Su padre, Lev Pavlovich, era un rico terrateniente. La madre, Agrafena Ivanovna, se dedicó a la crianza y educación del niño. Cuando Pafnuty tenía 11 años, la familia se mudó a Moscú para continuar enseñando a los niños. Aquí Chebyshev conoció a algunos de los mejores maestros: P. N. Pogorevsky, N. D. Brashman.
En 1837 Pafnuty ingresó en la Universidad de Moscú. En 1841, Chebyshev escribió el trabajo "Cálculo de las raíces de las ecuaciones", y se le otorgó que medalla de plata. En el mismo año, Chebyshev se graduó de la universidad.
En 1846, Pafnuty Lvovich defendió su tesis de maestría y un año después se mudó a San Petersburgo. Aquí comenzó a enseñar en la Universidad de San Petersburgo.
En 1849, Chebyshev defendió su tesis doctoral "Teoría de las comparaciones" (fue galardonada con el Premio Demidov). De 1850 a 1882, Chebyshev fue profesor en la Universidad de San Petersburgo.
Un número significativo de los trabajos de Chebyshev están relacionados con problemas de análisis matemático. Así, la tesis de un científico por el derecho a disertar está dedicada a la integrabilidad de algunas expresiones irracionales en funciones algebraicas y logaritmos. Demostración del famoso teorema sobre las condiciones de integrabilidad de un binomio diferencial en funciones elementales expuesto en la obra de 1853 "Sobre la integración de binomios diferenciales". Varios otros trabajos de Chebyshev están dedicados a la integración de funciones algebraicas.
En 1852, durante un viaje a Europa, Chebyshev se familiarizó con el dispositivo del regulador de la máquina de vapor: el paralelogramo de J. Watt. El científico ruso se propuso “deducir las reglas para la construcción de paralelogramos directamente de las propiedades de este mecanismo”. Los resultados de la investigación sobre este problema se presentaron en el trabajo "La teoría de los mecanismos conocidos como paralelogramos" (1854). Este trabajo simultáneamente sentó las bases de una de las ramas de la teoría constructiva de funciones: la teoría de la mejor aproximación de funciones.
En La teoría de los mecanismos, Chebyshev introdujo polinomios ortogonales, que más tarde recibieron su nombre. Cabe señalar que, además de la aproximación por polinomios algebraicos, el científico estudió la aproximación por polinomios trigonométricos y funciones racionales.
Más tarde, Chebyshev desarrolló teoría general polinomios ortogonales basados en la integración de mínimos cuadrados mediante parábolas, uno de los métodos de la teoría del error que se utiliza para estimar cantidades desconocidas a partir de mediciones que contienen errores aleatorios. Este método se utiliza cuando se procesan observaciones.
Como miembro de la rama de artillería del comité científico militar, Chebyshev resolvió una serie de problemas relacionados con las fórmulas de cuadratura (los resultados se presentan en el trabajo "Sobre cuadraturas" (1873) - y la teoría de la interpolación. Las fórmulas de cuadratura se utilizan para el cálculo aproximado de integrales sobre los valores del integrando en un número finito de puntos.
La interpolación en matemáticas y estadística es un método para encontrar valores intermedios de una cantidad a partir de algunos de sus valores conocidos.
La cooperación de Chebyshev con el departamento de artillería tenía como objetivo mejorar el alcance y la precisión del fuego de artillería. La fórmula de Chebyshev es conocida para calcular el alcance de un proyectil. Los trabajos de Chebyshev tuvieron un impacto significativo en el desarrollo de la ciencia de la artillería rusa.
El interés de investigación de Chebyshev fue atraído no solo por los paralelogramos de Watt, sino también por otros mecanismos articulados. Varios trabajos del científico están dedicados a su estudio: "Sobre alguna modificación del paralelogramo acodado de Watt" (1861), "Sobre los paralelogramos" (1869), "Sobre los paralelogramos que consisten en tres elementos" (1879), etc.
Chebyshev no solo estudió los mecanismos ya existentes, sino que también los diseñó él mismo, en particular, creó la llamada "máquina plantígrada", que reproduce los movimientos de un animal al caminar, una máquina sumadora automática, mecanismos con paradas, etc.
En 1868, Chebyshev propuso un dispositivo especial: un mecanismo articulado plano de cuatro eslabones para reproducir el movimiento de un cierto punto del eslabón en línea recta sin el uso de guías. Este dispositivo lleva el nombre del paralelogramo del matemático ruso Chebyshev.
El científico también se interesó por los temas de la cartografía, la búsqueda de formas de obtener la proyección cartográfica óptima del país, que permita la reproducción más precisa de la proporción de objetos. El trabajo de Chebyshev "Sobre la construcción de mapas geograficos» (1856).
Chebyshev logrado éxito significativo para resolver el problema de la distribución de los números primos. Presentó los resultados de su investigación en las obras: "Sobre la determinación del número de números primos que no excedan de un valor dado" (1849) y "Sobre los números primos" (1852).
Pafnuty Lvovich Chebyshev estaba muy interesado en la enseñanza. Organizó una escuela de matemáticos rusos, cuyos graduados se convirtieron en matemáticos famosos: D. A. Zolotarev, A. N. Lyapunov, K. A. Sokhotsky y otros.
Además, en el trabajo "Sobre una cuestión aritmética" (1866), el científico analizó el problema de aproximar números por números racionales, lo que desempeñó un papel importante en el desarrollo de la teoría de las aproximaciones diofánticas. Cabe señalar que en teoría de números Chebyshev fue el fundador de toda una escuela de científicos rusos.
Las obras de Chebyshev en esta dirección marcaron hito en el desarrollo de la teoría de la probabilidad. El matemático ruso comenzó a utilizar sistemáticamente variables aleatorias, demostró la desigualdad que más tarde lleva su nombre, desarrolló una nueva técnica para demostrar los teoremas de los límites de la teoría de la probabilidad, el llamado método de los momentos, y también justificó la ley de los grandes números de forma general. formulario.
Chebyshev posee una serie de obras sobre la teoría de la probabilidad. Entre ellos se encuentran "Un intento de un análisis elemental de la teoría de la probabilidad" (1845), "Una prueba elemental de una posición general teoría de la probabilidad” (1846), “Sobre los valores medios” (1867), “Sobre dos teoremas sobre probabilidades” (1887). Sin embargo, no logró completar el estudio de las condiciones para la convergencia de las funciones de distribución de sumas de variables aleatorias independientes a la ley normal. Esto fue hecho por A. A. Markov, uno de los estudiantes del científico. La investigación de Chebyshev en el campo de la teoría de la probabilidad fue una etapa importante en su desarrollo y se convirtió en la base para la formación de la escuela rusa de teoría de la probabilidad, que inicialmente estaba formada por estudiantes de Chebyshev.
Chebyshev también trabajó en la teoría de la aproximación. Este es el nombre de la rama de las matemáticas que estudia la posibilidad de una representación aproximada de algunos objetos matemáticos otros, normalmente de carácter más sencillo, así como el problema de estimación del error introducido en este caso.
Las fórmulas aproximadas para calcular funciones como la raíz o las constantes se desarrollaron en la antigüedad.
Sin embargo, el comienzo teoría moderna El trabajo de Chebyshev "Sur les questiones de minima qui se rattachent a la represent aproximative des fonctions" (1857), que está dedicado a los polinomios que se desvían menos de cero, se considera actualmente como "polinomios de Chebyshev del primer tipo".
La teoría de la aproximación ha encontrado aplicación en la construcción de algoritmos numéricos, así como en la compresión de información. Actualmente hay varios revistas científicas, ir a idioma en Inglés y dedicado a problemas de teoría de aproximación: Journal on Approximation Theory (EE. UU.), East Journal on Approximation (Rusia y Bulgaria), Constructive Approximation (EE. UU.).
Chebyshev hizo una gran contribución al desarrollo de la artillería. Hasta ahora, los libros de texto sobre balística contienen una fórmula derivada de Chebyshev para calcular el alcance de un proyectil.
Por sus méritos, Chebyshev fue elegido miembro de las Academias de Ciencias de San Petersburgo, Berlín y Bolonia, París, miembro correspondiente de la Royal Society de Londres, la Academia Sueca de Ciencias, etc. Además, un destacado matemático fue un miembro honorario de todas las universidades del país.
En el otoño de 1894, Chebyshev enfermó de gripe y pronto murió. Sin embargo, el nombre del destacado matemático ruso no se ha olvidado hasta el día de hoy.
En 1944, la Academia de Ciencias estableció el Premio P. L. Chebyshev.
Desde la invención de la máquina de vapor por James Watt, el problema ha sido construir un mecanismo articulado que traduzca el movimiento circular en movimiento rectilíneo.
El gran matemático ruso Pafnuty Lvovich Chebyshev no pudo resolver con exactitud el problema original, sin embargo, mientras lo investigaba, desarrolló la teoría de aproximación de funciones y la teoría de síntesis de mecanismos. Usando este último, eligió las dimensiones del mecanismo lambda para que... Pero más sobre eso a continuación.
Dos bisagras rojas fijas, tres eslabones tienen la misma longitud. Por su apariencia, similar a letra griega lambda, este mecanismo obtuvo su nombre. La bisagra gris suelta del eslabón impulsor pequeño gira en círculo, mientras que la bisagra azul impulsada describe una trayectoria similar al perfil del sombrero. hongo blanco.
En un círculo a lo largo del cual la bisagra principal gira uniformemente, colocamos marcas a intervalos regulares y las marcas correspondientes a ellas en la trayectoria de la bisagra libre.
El borde inferior de la "tapa" corresponde exactamente a la mitad del tiempo de movimiento del eslabón principal alrededor de la circunferencia. Donde Parte inferior la trayectoria azul difiere muy poco del movimiento estrictamente en línea recta (la desviación de una línea recta en esta sección es una fracción de un porcentaje de la longitud del eslabón principal corto).
¿Qué más, además de una gorra de hongo, se ve la trayectoria azul? ¡Pafnuty Lvovich vio un parecido con la trayectoria del casco de un caballo!
Adjuntemos una "pata" con un pie al mecanismo lambda. Adjunte a los mismos ejes fijos en la fase opuesta uno más de lo mismo. Para mayor estabilidad, agreguemos una copia reflejada de la parte del mecanismo de dos patas ya construida. Enlaces adicionales coordinan sus fases de rotación, y los ejes del mecanismo están conectados por una plataforma común. Hemos recibido, como dicen en mecánica, un diagrama cinemático del primer mecanismo andante del mundo.
Pafnuty Lvovich Chebyshev, siendo profesor en la Universidad de San Petersburgo, más gastó su salario en la fabricación de mecanismos inventados. Encarnó el mecanismo descrito "en madera y hierro" y lo llamó "La máquina andante". Este primer mecanismo para caminar del mundo, inventado por un matemático ruso, recibió la aprobación universal en la Exposición Universal de París de 1878.
Gracias al Museo Politécnico de Moscú, que conservó el original de Chebyshev e hizo posible que Mathematical Etudes lo midiera, tenemos la oportunidad de ver un modelo 3D preciso de la máquina de pie de Pafnuty Lvovich Chebyshev en movimiento.
Artículos originales de P. L. Chebyshev:
- Sobre la transformación del movimiento de rotación en movimiento a lo largo de ciertas líneas con la ayuda de sistemas articulados / Según el libro: Obras completas de P. L. Chebyshev. Volumen IV. Teoría de los mecanismos. - M.-L.: Editorial de la Academia de Ciencias de la URSS. 1948, págs. 161–166.
Museos y archivos:
- El mecanismo se almacena en el Museo Politécnico (Moscú); Departamento de Automatización; MP n.º 19472.
- Dos modelos en bruto de madera de una máquina plantígrada marcada por P. L. Chebyshev se almacenan en el Departamento de Mecánica Teórica y Aplicada de la Universidad Estatal de San Petersburgo.
Investigación:
- I. I. Artobolevsky, N. I. Levitsky. Mecanismos de P. L. Chebyshev / En el libro: Patrimonio científico de P. L. Chebyshev. Asunto. II. Teoría de los mecanismos. - M.-L.: Editorial de la Academia de Ciencias de la URSS. 1945, págs. 52–54.
- I. I. Artobolevsky, N. I. Levitsky. Modelos de mecanismos de P. L. Chebyshev / En el libro: Obras completas de P. L. Chebyshev. Volumen IV. Teoría de los mecanismos. - M.-L.: Editorial de la Academia de Ciencias de la URSS. 1948, págs. 227–228.
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