“СУБАШКО ОСНОВНО ОБРАЗОВАТЕЛНО УЧИЛИЩЕ „ОБЛ.БАЛТАСИН
РЕПУБЛИКА ТАТАРСТАН
Разработка на урока - 9 клас
Тема: Fractional - Linear Funkция
ГарифулинаЖелезопътенАз съмРифкатовна
201 4
Тема на урока: Дробно - линейна функция.
Целта на урока:
Образователна: Да запознае учениците с понятиятадробно - линейна функция и уравнение на асимптоти;
Разработване: Формиране на техники логично мислене, развитие на интерес към предмета; Развийте намирането на областта на дефиницията, районът на стойността е дробен - линейна функцияи формиране на умения за изграждане на нейния график;
- мотивационна цел:насърчаване на математическата култура на учениците, внимание, поддържане и развиване на интерес към изучаването на предмета чрез приложението различни формиовладяване на знанието.
Оборудване и литература: Лаптоп, проектор, интерактивна дъска, координатно пространство и графика на функцията y = , карта за отражение, мултимедийна презентация,Алгебра: учебник за 9 клас осн общообразователно училище/ Ю.Н. Макаричев, Н. Г. Мендюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под редакцията на С. А. Теляковски / М: "Образование", 2004 г. с допълнения.
Тип урок:
урок за усъвършенстване на знания, умения, умения.
По време на занятията.
Цел: - развитие на устни изчислителни умения;
повторение на теоретични материали и определения, необходими за изучаване на нова тема.
Добър ден! Започваме урока с проверка на домашното:
Внимание към екрана (слайд 1-4):
Упражнение 1.
Моля, отговорете според графика на тази функция на 3 въпроса (намерете най-голяма стойностфункции,...)
( 24 )
Задача -2. Изчислете стойността на израза:
-
=
Задача -3: Намерете утроената сума на корените квадратно уравнение:
NS 2 -671 ∙ X + 670 = 0.
Сумата от коефициентите на квадратното уравнение е нула:
1 + (- 671) +670 = 0. Следователно, x 1 = 1 и x 2 = следователно,
3 ∙ (х 1 + х 2 )=3∙671=2013
А сега нека запишем последователно отговорите на всичките 3 задачи през точките. (24.12.2013 г.)
Резултат: Да, точно така! И така, темата на днешния урок:
Дробно - линейна функция.
Преди да влезе на пътя, водачът трябва да знае правилата пътен трафик: забранителни и разрешителни знаци. Днес също трябва да си припомним някои забранителни и разрешителни знаци. Внимание към екрана! (Слайд 6
)
Изход:
Изразът е безсмислен;
Правилен израз, отговор: -2;
правилен израз, отговор: -0;
не може да се раздели на нула 0!
Забележете дали всичко е записано правилно? (слайд - 7)
1) ; 2) = ; 3) = а .
(1) истинско равенство, 2) = - ; 3) = - а )
II. Изучаване на нова тема: (слайд - 8).
Цел: Да се преподават уменията за намиране на областта на дефиниция и областта на стойността на дробно-линейна функция, изграждане на нейната графика с помощта на паралелно прехвърляне на графиката на функцията по осите на абсцисата и ординатите.
Определете коя функционална графика е зададена координатна равнина?
Графиката на функцията е поставена в координатната равнина.
Въпрос
Очакван отговор
Намерете домейна на функцията, (д( г)=?)
X ≠ 0, или(-∞; 0] UUU
Преместете функционалната графика, използвайки паралелно преместване по оста Ox (абсцисата) 1 единица вдясно;
Каква функция е начертана?
Преместете графиката на функциите, като използвате паралелно преместване по оста Oy (ординатната) с 2 единици нагоре;
Сега, каква функция сте начертали?
Начертайте прави линии x = 1 и y = 2
Какво мислиш? Какви директни линии получихме с вас?
Това са направо, към която точките от кривата на графиката на функцията се приближават, като се отдалечават до безкрайност.
И те се наричат- асимптоти.
Тоест една асимптота на хиперболата върви успоредно на оста y на разстояние 2 единици вдясно от нея, а втората асимптота върви успоредно на оста x на разстояние 1 единица над нея.
Много добре! И сега да заключим:
Графиката на линейна дробна функция е хипербола, която може да се получи от хиперболата y =като се използва паралелно пренасянепо координатните оси. За това трябва да бъде представена формулата на линейната дробна функция както следва: y =
където n е броят на единиците, с които хиперболата се измества надясно или наляво, m е броят на единиците, с които хиперболата се измества нагоре или надолу. В този случай асимптотите на хиперболата се изместват към правите x = m, y = n.
Нека дадем примери за дробна линейна функция:
; .
Дробна линейна функцияЕ функция от вида y = , където x е променлива, a, b, c, d са някои числа и c ≠ 0, ad - bc ≠ 0.
с ≠ 0 иреклама- пр. н. е≠ 0, тъй като при с = 0 функцията се превръща в линейна.
Акореклама- пр. н. е= 0, получавате отменена дроб, която е равна на (т.е. константа).
Свойствата на линейната дробна функция:
1. Възходящо положителни стойностиаргумент, стойностите на функцията намаляват и клонят към нула, но остават положителни.
2. С увеличаването на положителните стойности на функцията, стойностите на аргумента намаляват и клонят към нула, но остават положителни.
III - затвърждаване на преминатия материал.
Цел: - развиват умения и презентационни уменияформули на линейна дробна функция във формата:
Засилване на уменията за съставяне на асимптотни уравнения и начертаване на дробна линейна функция.
Пример -1:
Решение: Използване на трансформации тази функцияпредставляват във формата .
=
(слайд 10)
Физическо възпитание:
(подгрявката се провежда от дежурния)
Цел: - премахване на психическото напрежение и укрепване здравето на учениците.
Работа с учебника: №184.
Решение: Използвайки трансформации, ние представяме тази функция като y = k / (x-m) + n.
=
de x ≠ 0.
Записваме уравнението на асимптотата: x = 2 и y = 3.
Следователно, графиката на функцията се движи по оста Ox на разстояние 2 единици вдясно от нея и по оста Oy на разстояние 3 единици над нея.
Групова работа:
Цел: - формиране на умения да изслушвате другите и в същото време да изразявате конкретно мнението си;
възпитание на личност, способна да ръководи;
възпитаване на култура на математическа реч сред учениците.
Вариант номер 1
Дадена функция:
.
.
Вариант номер 2
Функцията е дадена
1. Намалете линейно-дробната функция до стандартния й вид и запишете уравнението на асимптотите.
2. Намерете домейна на функцията
3. Намерете набора от стойности на функцията
1. Намалете линейно-дробната функция до стандартния й вид и запишете уравнението на асимптотите.
2. Намерете домейна на функцията.
3. Намерете набора от стойности на функцията.
(Групата, завършила работата първа, се подготвя за защита на груповата работа на черната дъска. Извършва се анализ на работата.)
IV. Обобщаване на урока.
Цел: - анализ на теоретичните и практически дейностина урока;
Формиране на умения за самооценка на учениците;
Рефлексия, самооценка на дейността и съзнанието на учениците.
И така, скъпи мои ученици! Урокът е към своя край. Трябва да попълните картата за рефлексия. Пишете вашите мнения внимателно и четливо
Фамилия и собствено име _______________________________________
Стъпки на урока
Определяне на нивото на сложност на стъпките на урока
Вашите ние-трима
Оценка на вашата дейност в урока, 1-5 точки
светлина
Ср тежка
трудно
Организационен етап
Изучаване на нов материал
Формиране на умения за изграждане на графика на дробно-линейна функция
Работа в групи
Общо мнение за урока
Цел: - проверка на нивото на овладяване на тази тема.
[стр.10 *, # 180 (а), 181 (б).]
Подготовка за GIA: (Работи върху "Виртуален избираем“ )
Упражнение от поредицата GIA (№ 23 - максимален резултат):
Начертайте графика на функцията Y =
и определете при какви стойности на c линията y = c има точно една обща точка с графиката.
Въпросите и задачите ще бъдат публикувани от 14.00 до 14.30 часа.
Дробна рационална функция
Формула y = k / x, графиката е хипербола. В част 1 на GIA тази функция се предлага без никакви отмествания по осите. Следователно той има само един параметър к... Най-голямата разлика е външен видграфиката зависи от знака к.
Разликите в графиките са по-трудни за установяване кедин знак:
Както виждаме, толкова повече к, толкова по-високо е хиперболата.
Фигурата показва функции, за които параметърът k се различава значително. Ако разликата не е толкова голяма, тогава е доста трудно да се определи на око.
В това отношение просто "шедьовър" е следната задача, която открих в общо взето добро ръководство за подготовка за GIA:
Не само това, в една доста малка картина, близко разположените графики просто се сливат. Така също хиперболите с положително и отрицателно k са изобразени в една и съща координатна равнина. Което е напълно дезориентиращо за всеки, който погледне тази рисунка. Просто "готина звезда" ви хваща окото.
Слава Богу, това е само тренировъчна задача. В реални версии бяха предложени по-правилни формулировки и очевидни чертежи.
Нека да разберем как да определим коефициента кспоред графика на функциите.
От формулата: y = k / xследва това k = y x... Тоест, можем да вземем всяка точка с удобни координати и да ги умножим - получаваме к.
к= 1 (- 3) = - 3.
Следователно формулата за тази функция е: y = - 3 / x.
Интересно е да се разгледа ситуацията с дробно k. В този случай формулата може да бъде написана по няколко начина. Това не трябва да е подвеждащо.
Например,
На тази графика е невъзможно да се намери нито една точка с цяло число. Следователно стойността кможе да се определи много приблизително.
к= 1 · 0,7≈0,7. Все пак може да се разбере, че 0< к< 1. Если среди предложенных вариантов есть такое значение, то можно считать, что оно и является ответом.
И така, нека обобщим.
к> 0 хиперболата се намира в 1-ви и 3-ти координатни ъгли (квадранти),
к < 0 - во 2-м и 4-ом.
Ако кпо модул по-голям от 1 ( к= 2 или к= - 2), тогава графиката е разположена над 1 (под - 1) по оста y, изглежда по-широка.
Ако кпо модул по-малко от 1 ( к= 1/2 или к= - 1/2), тогава графиката се намира под 1 (над - 1) по оста y и изглежда по-тясна, "натисната" до нула:
Помислете за въпросите на методологията за изучаване на такава тема като "почертаване на дробна линейна функция". За съжаление, нейното изследване е премахнато от основна програмаи учител по математика в неговия клас не го докосва толкова често, колкото би искал. Все още никой не е отменил часовете по математика, втората част на GIA също. И в Единния държавен изпит има възможност за проникването му в тялото на задача C5 (чрез параметрите). Затова ще трябва да запретнете ръкави и да работите върху метода да го обясните в урок със среден или умерено силен ученик. По правило учителят по математика разработва техники за обяснение на основните раздели. училищна програмапрез първите 5-7 години работа. През това време десетки ученици от различни категории успяват да преминат през очите и ръцете на преподавателя. От пренебрегнати и слаби по природа деца, безделници и безделници до целенасочени таланти.
С течение на времето майсторството на обяснението идва при учителя по математика. сложни понятия прост езикне в ущърб на математическата пълнота и точност. Разработен е индивидуален стил на представяне на материала, реч, визуален съпровод и регистрация на ноти. Всеки опитен преподавател ще разкаже урока със затворени очи, защото знае предварително какви проблеми възникват при разбирането на материала и какво е необходимо за разрешаването им. Важно е да изберете правилни думии бележки, примери за началото на урока, за средата и края, както и компетентно съставяне на упражнения за домашна работа.
Някои частни техники за работа с темата ще бъдат обсъдени в тази статия.
С какви графики започва учителят по математика?
Трябва да започнем с дефинирането на изучаваната концепция. Нека ви напомня, че дробна линейна функция се нарича функция на формата. Изграждането му се свежда до конструкцията най-често срещаната хиперболас помощта на добре познати прости методи за трансформиране на графики. 
На практика те се оказват прости само за самия преподавател. Дори ако силен ученик дойде при учителя, с достатъчна скорост на изчисления и трансформации, той все пак трябва да разкаже тези техники отделно. Защо? В училище в 9 клас графиките се изграждат само чрез изместване и не се използват методи за добавяне на числови фактори (методи на компресия и разтягане). Какъв график използва учителят по математика? 
Откъде е най-добре да започнете? Цялата подготовка се извършва по примера на най-удобната, според мен, функция 
... Какво друго да използвате? Тригонометрията в 9 клас се изучава без графики (а в преработените учебници при условията на ГИА по математика те изобщо не минават). Квадратична функцияняма същата "методическа тежест" в тази тема като корена. Защо? В 9. клас квадратният тричлен се изучава задълбочено и ученикът е доста способен да решава строителни задачи без измествания. Формата незабавно задейства рефлекс за отваряне на скобите, след което можете да приложите правилото за стандартно начертаване през горната част на параболата и таблицата със стойности. При такава маневра няма да е възможно да се изпълни и за учителя по математика ще бъде по-лесно да мотивира ученика да усвои общите методи на трансформация. Използвайки модула y = | x | също не се оправдава, защото не се изучава толкова внимателно, колкото root и учениците се страхуват от него панически. 
Освен това самият модул (или по-скоро неговото „окачване“) е една от изследваните трансформации.
И така, на преподавателя не остава нищо по-удобно и ефективно как да се подготви за трансформация с помощта на корен квадратен... Необходима е практика, за да се начертаят диаграми на нещо подобно. Нека смятаме, че тази подготовка беше успешна. Детето знае как да измества и дори да свива/разтяга графики. Какво следва?
Следващият етап е да се научите как да изберете цяла част. Може би това е основната задача на учителя по математика, защото след като цялата част е разпределена, тя поема лъвския дял от цялото изчислително натоварване по темата. Изключително важно е да подготвите функцията за изглед, който се вписва в едно от стандартните оформления. Също така е важно да се опише логиката на трансформациите по достъпен и разбираем начин, а от друга страна, математически точно и добре.
Нека ви напомня, че за да построите графика, трябва да преобразувате дроба във формата 
... За това е, а не за 
запазване на знаменателя. Защо? Трудно е да се извършват трансформации на графика, която не само се състои от парчета, но има и асимптоти. Непрекъснатостта се използва за свързване на две или три повече или по-малко ясно изместени точки с една линия. В случай на прекъсната функция не можете веднага да разберете кои точки да свържете. Следователно компресирането или разтягането на хиперболата е изключително неудобно. Учителят по математика просто е длъжен да научи ученика да се справя сам със смени.
За да направите това, освен да подчертаете цялата част, трябва да премахнете и коефициента в знаменателя ° С.
Избиране на цялата част от дроб
Как да преподавам избор на цяла част? Учителите по математика не винаги оценяват адекватно нивото на знания на ученика и въпреки липсата на подробно изучаване на теоремата за разделяне на полиноми с остатък в програмата, прилагат правилото за деление на ъгъл. Ако учителят заеме ъгловото разделение, тогава ще трябва да прекарате почти половината от урока, за да го обясните (ако, разбира се, всичко е внимателно обосновано). За съжаление, преподавателят не винаги разполага с това време. По-добре изобщо да не мислите за никакви ъгли.
Има две форми на работа с ученик:
1) Учителят му показва готов алгоритъм, използвайки някакъв пример за дробна функция.
2) Учителят създава условия за логическо търсене на този алгоритъм.
Изпълнението на втория начин ми се струва най-интересно за обучителна практика и изключително полезно за развитие на мисленето на ученика... С помощта на определени съвети и указания често е възможно да се стигне до откриването на определена последователност от правилни стъпки. За разлика от автоматичното изпълнение на план от някого, ученик от 9 клас се научава да го търси сам. Естествено, всички обяснения трябва да се извършват с примери. Нека вземем функция за това и да разгледаме коментарите на преподавателя към логиката на алгоритъма за търсене. Учителят по математика пита: „Какво ни пречи да извършим стандартна трансформация на графиката, използвайки изместване по осите? Разбира се, едновременното присъствие на х както в числителя, така и в знаменателя. Това означава, че трябва да го премахнете от числителя. Как може да се направи това с помощта на идентични трансформации? Има само един начин - да намалите фракцията. Но нямаме равни фактори (скоби). Така че трябва да се опитате да ги създадете изкуствено. Но как? Не можете да замените числителя със знаменателя без идентичен преход. Нека се опитаме да преобразуваме числителя, за да включим скоба, равна на знаменателя. Нека го сложим там насилаи "наслагване" на коефициентите, така че когато те "действат" върху скобата, тоест, когато тя се разшири и се добавят подобни членове, да се получи линеен полином 2x + 3.
Учителят по математика вмъква пропуските за коефициентите под формата на празни правоъгълници (както често се използва в помагалата за 5-6 клас) и поставя задачата - да ги запълни с числа. Изборът трябва да се извърши от ляво на дяснозапочвайки с първия пас. Ученикът трябва да си представи как ще отвори скобата. Тъй като разкриването му ще доведе до само един член с x, неговият коефициент трябва да бъде равен на водещия коефициент в стария числител 2x + 3. Следователно е очевидно, че първият квадрат съдържа числото 2. То е запълнено. Учителят по математика трябва да вземе доста проста дробна линейна функция с c = 1. Едва след това можете да пристъпите към анализа на примери с неприятен външен вид на числителя и знаменателя (включително тези с дробни коефициенти).
Продължа напред. Учителят отваря скобите и подписва резултата точно над него. 
Можете да засенчвате съответната двойка фактори. Към "отворения термин" е необходимо да добавите такова число от втората празнина, за да получите свободния коефициент на стария числител. Очевидно това е 7.
След това фракцията се разбива на сбора от отделни дроби (обикновено обикалям фракциите с облак, сравнявайки тяхното разположение с крилата на пеперуда). И аз казвам: „Да разбием дроба с пеперуда“. Учениците помнят добре тази фраза. 
Учител по математика показва целия процес на подчертаване на цялата част до изглед, към който вече може да се приложи алгоритъмът за смяна на хипербола: 
Ако знаменателят има водещ коефициент, който не е равен на единица, в никакъв случай не трябва да се оставя там. Това ще донесе екстра както на преподавателя, така и на ученика главоболиесвързани с необходимостта от допълнителна трансформация, и най-трудните: компресия - разтягане. За схематичното изграждане на графика за пряка пропорционалност видът на числителя не е важен. Основното нещо е да знаете неговия знак. Тогава е по-добре да му хвърлите най-високия коефициент на знаменател. Например, ако работим с функцията 
, тогава просто поставяме 3 от скобата и го „вдигаме“ до числителя, като в него конструираме дроб. Получаваме много по-удобен израз за конструкцията: Остава да се премести надясно и 2 нагоре.
Ако между цялата част 2 и останалата част се появи "минус", също е по-добре да го въведете в числителя. В противен случай на определен етап на изграждане ще трябва допълнително да покажете хиперболата спрямо оста Oy. Това само ще усложни процеса.
Златното правило на уроци по математика:
всички неудобни коефициенти, водещи до симетрия, компресия или разтягане на графиката, трябва да бъдат прехвърлени в числителя.
Трудно е да се опишат техники за работа с която и да е тема. Винаги има усещане за някакво подценяване. Колко е възможно да се каже за дробната линейна функция, зависи от вас да прецените. Изпратете вашите коментари и отзиви към статията (можете да ги напишете в полето, което виждате в долната част на страницата). Със сигурност ще ги публикувам.
Колпаков A.N. Учител по математика Москва. Строгино. Техники за преподаватели.
В този урок ще разгледаме линейно-дробна функция, ще решаваме задачи, използвайки линейно-дробна функция, модул, параметър.
Тема: Повторение
Урок: Линейна дробна функция
определение:
Функция на формата се нарича дробно-линейна:
Например:
Нека докажем, че графиката на тази линейна дробна функция е хипербола.
Нека извадим двете в числителя извън скобите, получаваме:
Имаме x както в числителя, така и в знаменателя. Сега нека трансформираме така, че изразът да се появи в числителя:
Сега нека намалим частния член по член:
Очевидно графиката на тази функция е хипербола.
Можем да предложим втори начин за доказване, а именно разделяне на числителя на знаменателя в колона:
Има:
Важно е да можете лесно да начертаете линейна дробна функция, по-специално да намерите центъра на симетрия на хипербола. Нека решим проблема.
Пример 1 - Начертайте графика на функция:
Вече трансформирахме тази функция и получихме:
За да изградим тази графика, няма да изместваме осите или самата хипербола. Използваме стандартен метод за изобразяване на функции, използвайки наличието на интервали с постоянен знак.
Действаме според алгоритъма. Нека първо разгледаме дадената функция.
По този начин имаме три интервала на постоянство: в крайния десен () функцията има знак плюс, след това знаците се редуват, тъй като всички корени имат първа степен. И така, на интервала функцията е отрицателна, на интервала функцията е положителна.
Изграждаме скица на графиката в близост до корените и точките на прекъсване на ODZ. Имаме: тъй като в точката знакът на функцията се променя от плюс на минус, кривата първо се намира над оста, след това преминава през нула и след това се намира под оста x. Когато знаменателят на дроб е практически нула, това означава, че когато стойността на аргумента клони към три, стойността на дроба клони към безкрайност. V в такъв случай, когато аргументът се доближи до тройката отляво, функцията е отрицателна и клони към минус безкрайност, отдясно функцията е положителна и излиза от плюс безкрайност.
Сега изграждаме скица на графиката на функцията в околността на безкрайно отдалечени точки, т.е. когато аргументът се приближи до плюс или минус безкрайност. В този случай постоянните членове могат да бъдат пренебрегнати. Ние имаме:
По този начин имаме хоризонтална асимптота и вертикална, центърът на хиперболата е точка (3; 2). Нека илюстрираме:
Ориз. 1. Графика на хипербола за пример 1
Дробните линейни задачи могат да бъдат усложнени от наличието на модул или параметър. За да начертаете, например графика на функция, трябва да следвате следния алгоритъм:
Ориз. 2. Илюстрация към алгоритъма
Получената графика има разклонения, които са над оста x и под оста x.
1. Приложете посочения модул. В този случай частите на графиката, които са над оста x, остават непроменени, а тези, които са под оста, се отразяват огледално около оста x. Получаваме:
Ориз. 3. Илюстрация към алгоритъма
Пример 2 - начертайте графика на функцията:
Ориз. 4. Графика на функциите например 2
Помислете за следната задача - да начертаете графика на функцията. За да направите това, трябва да следвате следния алгоритъм:
1. Начертайте функцията на подмодула
Да предположим, че имате следната графика:
Ориз. 5. Илюстрация за алгоритъма
1. Приложете посочения модул. За да разберем как да направите това, нека разширим модула.
По този начин за стойностите на функцията за неотрицателни стойности на аргумента няма да настъпят промени. За второто уравнение знаем, че се получава чрез симетрично картографиране около оста y. имаме графика на функцията:
Ориз. 6. Илюстрация към алгоритъма
Пример 3 - начертайте графика на функцията:
Според алгоритъма първо трябва да изградите графика на субмодуларната функция, ние вече я изградихме (вижте фигура 1)
Ориз. 7. Графика на функциите например 3
Пример 4 - намерете броя на корените на уравнение с параметър:
Припомнете си, че решаването на уравнение с параметър означава да преминете през всички стойности на параметрите и да посочите отговор за всеки от тях. Действаме според методиката. Първо, изграждаме графика на функцията, вече направихме това в предишния пример (вижте фигура 7). След това трябва да дисектирате графиката по семейство прави линии за различни a, да намерите пресечните точки и да запишете отговора.
Разглеждайки графиката, ние изписваме отговора: за и уравнението има две решения; когато уравнението има едно решение; при, уравнението няма решения.
