En av de mest svåra ämnen för elever är det att lösa ekvationer som innehåller en variabel under modultecknet. Låt oss först ta reda på vad detta är kopplat till? Varför, till exempel, knäcker de flesta barn andragradsekvationer som nötter, men med den här är det långt ifrån det bästa? komplext koncept Hur har modulen så många problem?
Enligt min mening är alla dessa svårigheter förknippade med avsaknaden av tydligt formulerade regler för att lösa ekvationer med en modul. Så när man löser en andragradsekvation vet eleven med säkerhet att han först måste tillämpa diskriminantformeln och sedan formlerna för andragradsekvationens rötter. Vad ska man göra om en modul finns i ekvationen? Vi ska försöka beskriva tydligt nödvändig planåtgärder i fallet då ekvationen innehåller en okänd under modultecknet. Vi kommer att ge flera exempel för varje fall.
Men först, låt oss komma ihåg moduldefinition. Så, modulo antalet a detta nummer i sig kallas if a icke-negativa och -a, om nummer a mindre än noll. Du kan skriva det så här:
|a| = a om a ≥ 0 och |a| = -a om en< 0
På tal om den geometriska betydelsen av modulen, bör man komma ihåg att varje reellt tal motsvarar en viss punkt på talaxeln - dess 
samordna. Så, modul eller absolutvärde nummer är avståndet från denna punkt till utgångspunkten för talaxeln. Avståndet anges alltid som ett positivt tal. Således modulen av någon negativt talär ett positivt tal. Förresten, även i detta skede börjar många elever bli förvirrade. Modulen kan innehålla vilket nummer som helst, men resultatet av att använda modulen är alltid ett positivt tal.
Låt oss nu gå direkt till att lösa ekvationerna.
1. Betrakta en ekvation av formen |x| = c, där c är ett reellt tal. Denna ekvation kan lösas med hjälp av moduldefinitionen.
Vi delar in alla reella tal i tre grupper: de som är större än noll, de som är mindre än noll, och den tredje gruppen är talet 0. Vi skriver lösningen i form av ett diagram:
(±c, om c > 0
Om |x| = c, sedan x = (0, om c = 0
(inga rötter om med< 0
1) |x| = 5, eftersom 5 > 0, då x = ±5;
2) |x| = -5, eftersom -5< 0, то уравнение не имеет корней;
3) |x| = 0, sedan x = 0.
2. Ekvation av formen |f(x)| = b, där b > 0. För att lösa denna ekvation är det nödvändigt att bli av med modulen. Vi gör det så här: f(x) = b eller f(x) = -b. Nu måste du lösa var och en av de resulterande ekvationerna separat. Om i den ursprungliga ekvationen b< 0, решений не будет.
1) |x + 2| = 4, eftersom 4 > 0, alltså
x + 2 = 4 eller x + 2 = -4
2) |x 2 – 5| = 11, eftersom 11 > 0, alltså
x 2 – 5 = 11 eller x 2 – 5 = -11
x 2 = 16 x 2 = -6
x = ± 4 inga rötter
3) |x 2 – 5x| = -8, eftersom -8< 0, то уравнение не имеет корней.
3. En ekvation av formen |f(x)| = g(x). Enligt innebörden av modulen kommer en sådan ekvation att ha lösningar om dess högra sida är större än eller lika med noll, d.v.s. g(x) ≥ 0. Då kommer vi att ha:
f(x) = g(x) eller f(x) = -g(x).
1) |2x – 1| = 5x – 10. Denna ekvation kommer att ha rötter om 5x – 10 ≥ 0. Det är här lösningen av sådana ekvationer börjar.
1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0
2. Lösning:
2x – 1 = 5x – 10 eller 2x – 1 = -(5x – 10)
3. Vi kombinerar O.D.Z. och lösningen får vi:
Roten x = 11/7 passar inte O.D.Z., den är mindre än 2, men x = 3 uppfyller detta villkor.
Svar: x = 3
2) |x – 1| = 1 – x 2 .
1. O.D.Z. 1 – x 2 ≥ 0. Låt oss lösa denna ojämlikhet med intervallmetoden:
(1 – x)(1 + x) ≥ 0
2. Lösning:
x – 1 = 1 – x 2 eller x – 1 = -(1 – x 2)
x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0
x = -2 eller x = 1 x = 0 eller x = 1
3. Vi kombinerar lösningen och O.D.Z.:
Endast rötter x = 1 och x = 0 är lämpliga.
Svar: x = 0, x = 1.
4. Ekvation av formen |f(x)| = |g(x)|. En sådan ekvation är ekvivalent med följande två ekvationer f(x) = g(x) eller f(x) = -g(x).
1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Denna ekvation motsvarar följande två:
x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 eller x 2 – 5x +7 = -2x + 5
x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0
x = 3 eller x = 4 x = 2 eller x = 1
Svar: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.
5. Ekvationer lösta med substitutionsmetoden (variabelersättning). Den här metoden lösningar är enklast att förklara i specifikt exempel. Så låt oss ges en andragradsekvation med modul:
x 2 – 6|x| + 5 = 0. Med modulegenskapen x 2 = |x| 2, så ekvationen kan skrivas om enligt följande:
|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Låt oss ersätta |x| = t ≥ 0, då kommer vi att ha:
t 2 – 6t + 5 = 0. När vi löser denna ekvation finner vi att t = 1 eller t = 5. Låt oss återgå till ersättningen:
|x| = 1 eller |x| = 5
x = ±1 x = ±5
Svar: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.
Låt oss titta på ett annat exempel:
x 2 + |x| – 2 = 0. Med modulegenskapen x 2 = |x| 2 alltså
|x| 2 + |x| – 2 = 0. Låt oss byta ut |x| = t ≥ 0, då:
t 2 + t – 2 = 0. När vi löser denna ekvation får vi t = -2 eller t = 1. Låt oss återgå till ersättningen:
|x| = -2 eller |x| = 1
Inga rötter x = ± 1
Svar: x = -1, x = 1.
6. En annan typ av ekvationer är ekvationer med en "komplex" modul. Sådana ekvationer inkluderar ekvationer som har "moduler inom en modul." Ekvationer av denna typ kan lösas med hjälp av modulens egenskaper.
1) |3 – |x|| = 4. Vi kommer att agera på samma sätt som i ekvationer av den andra typen. Därför att 4 > 0, då får vi två ekvationer:
3 – |x| = 4 eller 3 – |x| = -4.
Låt oss nu uttrycka modulen x i varje ekvation, sedan |x| = -1 eller |x| = 7.
Vi löser var och en av de resulterande ekvationerna. Det finns inga rötter i den första ekvationen, eftersom -1< 0, а во втором x = ±7.
Svar x = -7, x = 7.
2) |3 + |x + 1|| = 5. Vi löser denna ekvation på liknande sätt:
3 + |x + 1| = 5 eller 3 + |x + 1| = -5
|x + 1| = 2 |x + 1| = -8
x + 1 = 2 eller x + 1 = -2. Inga rötter.
Svar: x = -3, x = 1.
Det finns också en universell metod för att lösa ekvationer med en modul. Detta är intervallmetoden. Men vi ska titta på det senare.
blog.site, vid kopiering av material helt eller delvis krävs en länk till originalkällan.
Ett av de svåraste ämnena för elever är att lösa ekvationer som innehåller en variabel under modultecknet. Låt oss först ta reda på vad detta är kopplat till? Varför, till exempel, knäcker de flesta barn andragradsekvationer som nötter, men har så många problem med ett så långt ifrån komplext koncept som en modul?
Enligt min mening är alla dessa svårigheter förknippade med avsaknaden av tydligt formulerade regler för att lösa ekvationer med en modul. Så när man löser en andragradsekvation vet eleven med säkerhet att han först måste tillämpa diskriminantformeln och sedan formlerna för andragradsekvationens rötter. Vad ska man göra om en modul finns i ekvationen? Vi kommer att försöka att tydligt beskriva den nödvändiga handlingsplanen för det fall då ekvationen innehåller en okänd under modultecknet. Vi kommer att ge flera exempel för varje fall.
Men först, låt oss komma ihåg moduldefinition. Så, modulo antalet a detta nummer i sig kallas if a icke-negativa och -a, om nummer a mindre än noll. Du kan skriva det så här:
|a| = a om a ≥ 0 och |a| = -a om en< 0
På tal om den geometriska betydelsen av modulen, bör man komma ihåg att varje reellt tal motsvarar en viss punkt på talaxeln - dess samordna. Så, modulen eller absolutvärdet för ett tal är avståndet från denna punkt till ursprunget för den numeriska axeln. Avståndet anges alltid som ett positivt tal. Således är modulen för ett negativt tal ett positivt tal. Förresten, även i detta skede börjar många elever bli förvirrade. Modulen kan innehålla vilket nummer som helst, men resultatet av att använda modulen är alltid ett positivt tal.
Låt oss nu gå direkt till att lösa ekvationerna.
1. Betrakta en ekvation av formen |x| = c, där c är ett reellt tal. Denna ekvation kan lösas med hjälp av moduldefinitionen.
Vi delar in alla reella tal i tre grupper: de som är större än noll, de som är mindre än noll, och den tredje gruppen är talet 0. Vi skriver lösningen i form av ett diagram:
(±c, om c > 0
Om |x| = c, sedan x = (0, om c = 0
(inga rötter om med< 0
1) |x| = 5, eftersom 5 > 0, då x = ±5;
2) |x| = -5, eftersom -5< 0, то уравнение не имеет корней;
3) |x| = 0, sedan x = 0.
2. Ekvation av formen |f(x)| = b, där b > 0. För att lösa denna ekvation är det nödvändigt att bli av med modulen. Vi gör det så här: f(x) = b eller f(x) = -b. Nu måste du lösa var och en av de resulterande ekvationerna separat. Om i den ursprungliga ekvationen b< 0, решений не будет.
1) |x + 2| = 4, eftersom 4 > 0, alltså
x + 2 = 4 eller x + 2 = -4
2) |x 2 – 5| = 11, eftersom 11 > 0, alltså
x 2 – 5 = 11 eller x 2 – 5 = -11
x 2 = 16 x 2 = -6
x = ± 4 inga rötter
3) |x 2 – 5x| = -8, eftersom -8< 0, то уравнение не имеет корней.
3. En ekvation av formen |f(x)| = g(x). Enligt innebörden av modulen kommer en sådan ekvation att ha lösningar om dess högra sida är större än eller lika med noll, d.v.s. g(x) ≥ 0. Då kommer vi att ha:
f(x) = g(x) eller f(x) = -g(x).
1) |2x – 1| = 5x – 10. Denna ekvation kommer att ha rötter om 5x – 10 ≥ 0. Det är här lösningen av sådana ekvationer börjar.
1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0
2. Lösning:
2x – 1 = 5x – 10 eller 2x – 1 = -(5x – 10)
3. Vi kombinerar O.D.Z. och lösningen får vi:
Roten x = 11/7 passar inte O.D.Z., den är mindre än 2, men x = 3 uppfyller detta villkor.
Svar: x = 3
2) |x – 1| = 1 – x 2 .
1. O.D.Z. 1 – x 2 ≥ 0. Låt oss lösa denna ojämlikhet med intervallmetoden:
(1 – x)(1 + x) ≥ 0
2. Lösning:
x – 1 = 1 – x 2 eller x – 1 = -(1 – x 2)
x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0
x = -2 eller x = 1 x = 0 eller x = 1
3. Vi kombinerar lösningen och O.D.Z.:
Endast rötter x = 1 och x = 0 är lämpliga.
Svar: x = 0, x = 1.
4. Ekvation av formen |f(x)| = |g(x)|. En sådan ekvation är ekvivalent med följande två ekvationer f(x) = g(x) eller f(x) = -g(x).
1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Denna ekvation motsvarar följande två:
x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 eller x 2 – 5x +7 = -2x + 5
x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0
x = 3 eller x = 4 x = 2 eller x = 1
Svar: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.
5. Ekvationer lösta med substitutionsmetoden (variabelersättning). Denna lösningsmetod är lättast att förklara med ett specifikt exempel. Så låt oss ges en andragradsekvation med modul:
x 2 – 6|x| + 5 = 0. Med modulegenskapen x 2 = |x| 2, så ekvationen kan skrivas om enligt följande:
|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Låt oss ersätta |x| = t ≥ 0, då kommer vi att ha:
t 2 – 6t + 5 = 0. När vi löser denna ekvation finner vi att t = 1 eller t = 5. Låt oss återgå till ersättningen:
|x| = 1 eller |x| = 5
x = ±1 x = ±5
Svar: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.
Låt oss titta på ett annat exempel:
x 2 + |x| – 2 = 0. Med modulegenskapen x 2 = |x| 2 alltså
|x| 2 + |x| – 2 = 0. Låt oss byta ut |x| = t ≥ 0, då:
t 2 + t – 2 = 0. När vi löser denna ekvation får vi t = -2 eller t = 1. Låt oss återgå till ersättningen:
|x| = -2 eller |x| = 1
Inga rötter x = ± 1
Svar: x = -1, x = 1.
6. En annan typ av ekvationer är ekvationer med en "komplex" modul. Sådana ekvationer inkluderar ekvationer som har "moduler inom en modul." Ekvationer av denna typ kan lösas med hjälp av modulens egenskaper.
1) |3 – |x|| = 4. Vi kommer att agera på samma sätt som i ekvationer av den andra typen. Därför att 4 > 0, då får vi två ekvationer:
3 – |x| = 4 eller 3 – |x| = -4.
Låt oss nu uttrycka modulen x i varje ekvation, sedan |x| = -1 eller |x| = 7.
Vi löser var och en av de resulterande ekvationerna. Det finns inga rötter i den första ekvationen, eftersom -1< 0, а во втором x = ±7.
Svar x = -7, x = 7.
2) |3 + |x + 1|| = 5. Vi löser denna ekvation på liknande sätt:
3 + |x + 1| = 5 eller 3 + |x + 1| = -5
|x + 1| = 2 |x + 1| = -8
x + 1 = 2 eller x + 1 = -2. Inga rötter.
Svar: x = -3, x = 1.
Det finns också en universell metod för att lösa ekvationer med en modul. Detta är intervallmetoden. Men vi ska titta på det senare.
webbplats, vid kopiering av material helt eller delvis krävs en länk till källan.
MBOU gymnasieskola nr 17, Ivanovo
« Ekvationer med modul"
Metodutveckling
Sammanställt
mattelärare
Lebedeva N.V.20010
Förklarande anteckning
Kapitel 1 Inledning
Avsnitt 2. Grundegenskaper Avsnitt 3. Geometrisk tolkning av begreppet modul för ett tal Avsnitt 4. Graf över funktionen y = |x| Avsnitt 5. KonventionerKapitel 2. Lösa ekvationer som innehåller en modul
Avsnitt 1. Ekvationer av formen |F(x)| = m (enklast) Avsnitt 2. Ekvationer av formen F(|x|) = m Avsnitt 3. Ekvationer av formen |F(x)| = G(x) Avsnitt 4. Ekvationer av formen |F(x)| = ± F(x) (snyggast) Avsnitt 5. Ekvationer av formen |F(x)| = |G(x)| Avsnitt 6. Exempel på att lösa icke-standardiserade ekvationer Avsnitt 7. Ekvationer av formen |F(x)| + |G(x)| = 0 Avsnitt 8. Ekvationer av formen |a 1 x ± b 1 | ± |a 2 x ± i 2 | ± …|a n x ± i n | = m Avsnitt 9. Ekvationer som innehåller flera modulerKapitel 3. Exempel på att lösa olika ekvationer med modul.
Avsnitt 1. Trigonometriska ekvationer Avsnitt 2. Exponentiella ekvationer Avsnitt 3. Logaritmiska ekvationer Avsnitt 4. Irrationella ekvationer Avsnitt 5. Uppdrag ökad komplexitet Svar på övningarna BibliografiFörklarande anteckning.
Begreppet absolut värde (modul) för ett reellt tal är en av dess väsentliga egenskaper. Detta koncept är utbrett inom olika delar av fysikaliska, matematiska och tekniska vetenskaper. I praktiken att undervisa i matematikkurser i gymnasium i enlighet med programmet för Ryska federationens försvarsministerium förekommer begreppet "absoluta värde av ett nummer" upprepade gånger: i 6:e klass introduceras definitionen av en modul, dess geometrisk betydelse; i 8:an bildas begreppet absolut fel, lösningen av de enklaste ekvationerna och olikheterna innehållande en modul övervägs och den aritmetiska kvadratrotens egenskaper studeras; i 11:e klass finns konceptet i avsnittet ”Root n-te graden." Undervisningserfarenhet visar att elever ofta stöter på svårigheter när de löser uppgifter som kräver kunskap av detta material, och ofta hoppar de över det utan att börja implementera det. I texterna tentamensuppgifter Liknande uppgifter ingår även för årskurs 9 och 11. Dessutom skiljer sig de krav som universiteten ställer på skolutexaminerade, nämligen mer hög nivåän kraven i skolans läroplan. För livet i moderna samhället Det är mycket viktigt att utveckla en matematisk tankestil, som visar sig i vissa mentala färdigheter. I processen att lösa problem med moduler krävs förmåga att använda tekniker som generalisering och specifikation, analys, klassificering och systematisering samt analogi. Genom att lösa sådana uppgifter kan du testa dina kunskaper om huvudsektionerna skolkurs, nivå logiskt tänkande, inledande forskningsfärdigheter. detta jobbägnas åt ett av avsnitten - att lösa ekvationer som innehåller en modul. Den består av tre kapitel. Det första kapitlet introducerar grundläggande begrepp och de viktigaste teoretiska övervägandena. Det andra kapitlet föreslår nio huvudtyper av ekvationer som innehåller en modul, diskuterar metoder för att lösa dem och undersöker exempel olika nivåer svårigheter. Det tredje kapitlet erbjuder mer komplexa och icke-standardiserade ekvationer (trigonometriska, exponentiella, logaritmiska och irrationella). För varje typ av ekvation finns övningar för oberoende beslut(svar och instruktioner bifogas). Huvudsyftet med detta arbete är att ge metodologisk hjälp till lärare vid förberedelser inför lektioner och anordnande av valbara kurser. Materialet kan även användas som läromedel för gymnasieelever. De uppgifter som föreslås i arbetet är intressanta och inte alltid lätta att lösa, vilket gör att du kan lärande motivation studenter att bli mer medvetna, testa sina förmågor och förbättra nivån på förberedelserna för akademiker för att komma in på universitet. Ett differentierat urval av de föreslagna övningarna innebär en övergång från den reproduktiva nivån av att behärska materialet till den kreativa, såväl som möjligheten att lära ut hur du tillämpar dina kunskaper när du löser icke-standardiserade problem.Kapitel 1 Inledning.
Avsnitt 1. Bestämning av absolut värde .
Definition : Det absoluta värdet (modulen) för ett reellt tal A ett icke-negativt tal kallas: A eller -A. Beteckning: │ A │ Posten lyder som följer: "modul för talet a" eller "absolutvärde för talet a"│ a, om a > 0
│a│ = │ 0, om a = 0 (1)
│ - och, om aExempel: 1) │2,5│ = 2,5 2) │-7│ = 7 3) │1 - √2│ = √2 – 1
- Expandera uttrycksmodul:
Avsnitt 2. Grundegenskaper.
Låt oss överväga de grundläggande egenskaperna för absolut värde. Egendom #1: Motsatta tal har lika moduler, d.v.s. │а│=│- а│ Låt oss visa att jämställdheten är sann. Låt oss skriva ner definitionen av numret -A : │- a│= (2) Låt oss jämföra set (1) och (2). Uppenbarligen definitionerna av de absoluta värdena av siffror A Och -A passa ihop. Därav, │а│=│- а│När vi överväger följande egenskaper kommer vi att begränsa oss till deras formulering, eftersom deras bevis ges in Egendom #2: Det absoluta värdet av summan av ett ändligt antal reella tal överstiger inte summan av de absoluta värdena av termerna: │а 1 + а 2 +...+ а n │ ≤│а 1 │+│а 2 │ + … + │а n │ Egendom #3: Det absoluta värdet av skillnaden mellan två reella tal överstiger inte summan av deras absoluta värden: │а - в│ ≤│а│+│в│ Egendom #4: Det absoluta värdet av produkten av ett ändligt antal reella tal är lika med produkten av de absoluta värdena av faktorerna: │а·в│=│а│·│в│ Egendom #5: Det absoluta värdet av kvoten av reella tal är lika med kvoten av deras absoluta värden:
Avsnitt 3. Geometrisk tolkning av begreppet modul för ett tal.
Varje reellt tal kan associeras med en punkt på tallinjen, som blir en geometrisk bild av detta reella tal. Varje punkt på tallinjen motsvarar dess avstånd från origo, d.v.s. längden på segmentet från origo till en given punkt. Detta avstånd betraktas alltid som ett icke-negativt värde. Därför kommer längden på motsvarande segment att vara den geometriska tolkningen av det absoluta värdet av ett givet reellt tal
Den presenterade geometriska illustrationen bekräftar tydligt egenskap nr 1, d.v.s. modulerna för motsatta tal är lika. Härifrån är giltigheten av likheten lätt att förstå: │х – а│= │а – x│. Lösningen till ekvationen │х│= m, där m ≥ 0, nämligen x 1,2 = ± m, blir också mer uppenbar. Exempel: 1) │х│= 4 x 1,2 = ± 4 2) │х - 3│= 1
x 1,2 = 2; 4 Avsnitt 4. Graf över funktionen y = │х│
Domänen för denna funktion är alla reella tal.Avsnitt 5. Konventioner.
I framtiden, när man överväger exempel på att lösa ekvationer, kommer följande att användas symboler: ( - tecken på systemet [ - tecken på helheten När man löser ett ekvationssystem (ojämlikheter) hittas skärningspunkten av lösningar för de ekvationer (ojämlikheter) som ingår i systemet. När man löser en uppsättning ekvationer (olikheter), hittas föreningen av lösningar som ingår i ekvationsuppsättningen (olikheter).Kapitel 2. Lösa ekvationer som innehåller en modul.
I det här kapitlet kommer vi att titta på algebraiska metoder för att lösa ekvationer som innehåller en eller flera moduler.Avsnitt 1. Ekvationer av formen │F (x)│= m
En ekvation av denna typ kallas den enklaste. Den har en lösning om och endast om m ≥ 0. Per definition av modulen är den ursprungliga ekvationen ekvivalent med en uppsättning av två ekvationer: │ F(x)│=m
Exempel:
№1. Lös ekvationen: │7х - 2│= 9
Svar: x 1
= - 1; X 2
= 1
4
/
7
№2
│x 2 + 3x + 1│= 1
x 2 + 3x + 2 = 0 x 2 +3x = 0 x 1 = -1; x 2 = -2 x (x + 3) = 0 x 1 = 0; x 2 = -3 Svar: summan av rötterna är -2.№3
│x 4 -5x 2 + 2│= 2 x 4 – 5x 2 = 0 x 4 – 5x 2 + 4 = 0 x 2 (x 2 – 5) = 0 betecknar x 2 = m, m ≥ 0 x = 0 ; ±√5 m 2 – 5 m + 4 = 0 m = 1; 4 – båda värdena uppfyller villkoret m ≥ 0 x 2 = 1 x 2 = 4 x = ± 1 x = ± 2 Svar: antalet rötter i ekvation 7. Övningar:
№1. Lös ekvationen och ange summan av rötterna: │х - 5│= 3 №2 . Lös ekvationen och ange den mindre roten: │x 2 + x│= 0 №3 . Lös ekvationen och ange den större roten: │x 2 – 5x + 4│= 4 №4 .Lös ekvationen och ange hela roten: │2x 2 – 7x + 6│= 1 №5 .Lös ekvationen och ange antalet rötter: │x 4 – 13x 2 + 50│= 14
Avsnitt 2. Ekvationer av formen F(│х│) = m
Funktionsargumentet på vänster sida är under modultecknet, och höger sida är oberoende av variabeln. Låt oss överväga två sätt att lösa ekvationer av denna typ. 1 sätt: Per definition av absolut värde är den ursprungliga ekvationen ekvivalent med kombinationen av två system. I var och en av dessa ställs ett villkor på ett submodulärt uttryck. F(│x│) =m
Eftersom funktionen F(│x│) är jämn genom hela definitionsdomänen, är rötterna till ekvationerna F(x) = m och F(- x) = m par av motsatta tal. Därför räcker det med att lösa ett av systemen (när man överväger exempel på detta sätt kommer lösningen till ett system att ges). Metod 2: Tillämpning av metoden för att introducera en ny variabel. I detta fall introduceras notationen │x│= a, där a ≥ 0. Den här metoden mindre voluminös i designen. Exempel: №1 . Lös ekvationen: 3x 2 – 4│x│= - 1 Låt oss använda introduktionen av en ny variabel. Låt oss beteckna │x│= a, där a ≥ 0. Vi får ekvationen 3a 2 - 4a + 1 = 0 D = 16 – 12 = 4 a 1 = 1 a 2 = 1 / 3 Återgå till den ursprungliga variabeln: │ x│=1 och │х│= 1/3. Varje ekvation har två rötter. Svar: x 1 = 1; X 2 = - 1; X 3 = 1 / 3 ; X 4 = - 1 / 3 . №2. Lös ekvationen: 5x 2 + 3│x│- 1 = 1 / 2 │x│ + 3x 2
Låt oss hitta lösningen på det första systemet i populationen: 4x 2 + 5x – 2 =0 D = 57 x 1 = -5+√57 / 8 x 2 = -5-√57 / 8 Observera att x 2 inte uppfyller villkoret x ≥ 0. Lösning det andra systemet blir talet motsatt värdet x 1. Svar: x 1
=
-5+√57
/
8
; X 2
=
5-√57
/
8
.№3
.
Lös ekvationen: x 4 – │х│= 0 Låt oss beteckna │х│= a, där a ≥ 0. Vi får ekvationen a 4 – a = 0 a · (a 3 – 1) = 0 a 1 = 0 a 2 = 1 Återgå till den ursprungliga variabeln: │х│=0 och │х│= 1 x = 0; ± 1 Svar: x 1
= 0; X 2
= 1; X 3
= - 1.
Övningar: №6. Lös ekvationen: 2│х│ - 4,5 = 5 – 3 / 8 │х│ №7 . Lös ekvationen, ange antalet rötter i ditt svar: 3x 2 - 7│x│ + 2 = 0 №8 . Lös ekvationen, ange heltalslösningar i ditt svar: x 4 + │x│ - 2 = 0
Avsnitt 3. Ekvationer av formen │F(x)│ = G(x)
Den högra sidan av en ekvation av denna typ beror på en variabel och har därför en lösning om och endast om den högra sidan är en funktion G(x) ≥ 0. Den ursprungliga ekvationen kan lösas på två sätt : 1 sätt: Standard, baserad på avslöjandet av en modul baserad på dess definition och består av en likvärdig övergång till en kombination av två system. │ F(x)│ =G(X)
Denna metod kan rationellt användas i fallet med ett komplext uttryck för funktionen G(x) och ett mindre komplext för funktionen F(x), eftersom det antas att olikheter med funktionen F(x) kommer att lösas. Metod 2: Består i övergången till ett likvärdigt system där ett villkor ställs på höger sida. │ F(x)│=
G(x)
Denna metod är bekvämare att använda om uttrycket för funktionen G(x) är mindre komplext än för funktionen F(x), eftersom lösningen på olikheten G(x) ≥ 0 antas. av flera moduler, rekommenderas att använda det andra alternativet. Exempel:
№1.
Lös ekvationen: │x + 2│= 6 -2x 
(en väg) Svar: x = 1 1
/
3
№2.
│х 2 – 2х - 1│= 2·(x + 1)
(2-vägs) Svar: Produkten av rötter är 3.№3. Lös ekvationen och ange summan av rötterna i ditt svar:
│x - 6│= x 2 - 5x + 9
Svar: summan av rötterna är 4.
Övningar: №9. │x + 4│= - 3x №10. Lös ekvationen, ange antalet lösningar i ditt svar:│x 2 + x - 1│= 2x – 1 №11 . Lös ekvationen, ange produkten av rötterna i ditt svar:│x + 3│= x 2 + x – 6
Avsnitt 4. Ekvationer med formen │F(x)│= F(x) och │F(x)│= - F(x)
Ekvationer av denna typ kallas ibland "den vackraste". Eftersom den högra sidan av ekvationerna beror på variabeln, finns lösningar om och endast om den högra sidan är icke-negativ. Därför är de ursprungliga ekvationerna ekvivalenta med ojämlikheterna:│F(x)│= F(x) F(x) ≥ 0 och │F(x)│= - F(x) F(x) Exempel: №1 . Lös ekvationen, ange den mindre heltalsroten i ditt svar: │5x - 3│= 5x – 3 5x – 3 ≥ 0 5x ≥ 3 x ≥ 0,6 Svar: x = 1№2. Lös ekvationen, ange längden på intervallet i ditt svar: │х 2 - 9│= 9 – x 2 x 2 – 9 ≤ 0 (x – 3) (x + 3) ≤ 0 [- 3; 3] Svar: längden på gapet är 6.№3 . Lös ekvationen och ange antalet heltalslösningar i ditt svar: │2 + x – x 2 │= 2 + x – x 2 2 + x – x 2 ≥ 0 x 2 – x – 2 ≤ 0 [- 1; 2] Svar: 4 hela lösningar.№4 . Lös ekvationen och ange den största roten i ditt svar:
│4 – x –
│= 4 – x – 
x 2 – 5x + 5 = 0 D = 5 x 1,2 = 
≈ 1,4Svar: x = 3.
Övningar:
№12.
Lös ekvationen, ange hela roten i ditt svar: │x 2 + 6x + 8│= x 2 + 6x + 8 №13.
Lös ekvationen, ange antalet heltalslösningar i ditt svar: │13x – x 2 - 36│+ x 2 – 13x + 36 = 0 №14.
Lös ekvationen; i ditt svar, ange ett heltal som inte är roten till ekvationen: 
Avsnitt 5. Ekvationer av formen │F(x)│= │G(x)│
Eftersom båda sidor av ekvationen är icke-negativa, innebär lösningen att överväga två fall: submodulära uttryck är lika eller motsatta i tecken. Därför är den ursprungliga ekvationen ekvivalent med kombinationen av två ekvationer: │ F(x)│= │ G(x)│
Exempel:
№1.
Lös ekvationen, ange hela roten i ditt svar: │x + 3│=│2x - 1│ 
Svar: hel rot x = 4.№2.
Lös ekvationen: │
x – x 2 - 1│=│2x – 3 – x 2 │ 
Svar: x = 2.№3
.
Lös ekvationen och ange produkten av rötterna i ditt svar: 
Rotekvationer 4x 2 + 2x – 1 = 0 x 1,2 = - 1±√5 / 4 Svar: produkten av rötterna är – 0,25. Övningar:
№15
. Lös ekvationen och ange hela lösningen i ditt svar: │x 2 – 3x + 2│= │x 2 + 6x - 1│ №16.
Lös ekvationen, ange den mindre roten i ditt svar:│5x - 3│=│7 - x│ №17
. Lös ekvationen och ange summan av rötterna i ditt svar: 
Avsnitt 6. Exempel på att lösa icke-standardiserade ekvationer
I det här avsnittet kommer vi att titta på exempel på icke-standardiserade ekvationer, när vi löser vilka det absoluta värdet av uttrycket avslöjas per definition. Exempel:№1.
Lös ekvationen, ange summan av rötterna i ditt svar: x · │x│- 5x – 6 = 0 
Svar: summan av rötterna är 1 №2.
.
Lös ekvationen, ange den mindre roten i ditt svar: x 2 - 4x · 
- 5 = 0 
Svar: mindre rot x = -5. №3.
Lös ekvationen: 
Svar: x = -1. Övningar:
№18.
Lös ekvationen och ange summan av rötterna: x · │3x + 5│= 3x 2 + 4x + 3
№19.
Lös ekvationen: x 2 – 3x = 
№20.
Lös ekvationen: 
Avsnitt 7. Ekvationer av formen │F(x)│+│G(x)│=0
Det är lätt att märka att på vänster sida av ekvationen av denna typ finns summan av icke-negativa storheter. Därför har den ursprungliga ekvationen en lösning om och bara om båda termerna är lika med noll samtidigt. Ekvationen är ekvivalent med ekvationssystemet: │ F(x)│+│ G(x)│=0
Exempel:
№1
. Lös ekvationen: 
Svar: x = 2. №2.
Lös ekvationen: Svar: x = 1. Övningar:
№21.
Lös ekvationen: №22
. Lös ekvationen och ange summan av rötterna i ditt svar: №23
. Lös ekvationen och ange antalet lösningar i ditt svar: Avsnitt 8. Ekvationer av formen │a 1 x + b 1 │±│a 2 x + b 2 │± … │a n x +b n │= m
För att lösa ekvationer av denna typ används intervallmetoden. Om vi löser det genom sekventiell expansion av moduler får vi n uppsättningar av system, vilket är mycket besvärligt och obekvämt. Låt oss överväga intervallmetodens algoritm: 1). Hitta variabelvärden X, för vilken varje modul är lika med noll (nollor av submodulära uttryck):
2). Markera de hittade värdena på en tallinje, som är uppdelad i intervall (antalet intervall är respektive lika med n+1
) 3). Bestäm med vilket tecken varje modul avslöjas vid vart och ett av de erhållna intervallen (när du gör en lösning kan du använda en tallinje, markera tecknen på den) 4). Den ursprungliga ekvationen är ekvivalent med aggregatet n+1
system, i vilka variabelns medlemskap anges X ett av intervallen. Exempel:
№1
. Lös ekvationen och ange den största roten i ditt svar: 
1). Låt oss hitta nollorna för de submodulära uttrycken: x = 2; x = -3 2). Låt oss markera de hittade värdena på tallinjen och bestämma med vilket tecken varje modul avslöjas på de resulterande intervallen: x – 2 x – 2 x – 2 - - + - 3 2 x 2x + 6 2x + 6 2x + 6 - + + 3)
- inga lösningar Ekvationen har två rötter. Svar: den största roten x = 2. №2.
Lös ekvationen och ange hela roten i ditt svar: 
1). Låt oss hitta nollorna för de submodulära uttrycken: x = 1,5; x = -12). Låt oss markera de hittade värdena på tallinjen och bestämma med vilket tecken varje modul avslöjas på de resulterande intervallen: x + 1 x + 1 x + 1 - + + -1 1,5 x 2x – 3 2x – 3 2x – 3 - - +
3).
Det sista systemet har inga lösningar, därför har ekvationen två rötter. När du löser ekvationen bör du vara uppmärksam på "-"-tecknet framför den andra modulen. Svar: hel rot x = 7. №3.
Lös ekvationen, ange summan av rötterna i ditt svar: 1). Låt oss hitta nollorna för de submodulära uttrycken: x = 5; x = 1; x = -2 2). Låt oss markera de hittade värdena på tallinjen och bestämma med vilket tecken varje modul avslöjas med de resulterande intervallen: x – 5 x – 5 x – 5 x – 5 - - - + -2 1 5 x x – 1 x – 1 x – 1 x – 1 - - + + x + 2 x + 2 x + 2 x + 2 - + + +
3).
Ekvationen har två rötter x = 0 och 2. Svar: summan av rötterna är 2. №4
.
Lös ekvationen: 1). Låt oss hitta nollorna för de submodulära uttrycken: x = 1; x = 2; x = 3,2). Låt oss bestämma med vilket tecken varje modul avslöjas på de resulterande intervallen. 3). 
Låt oss kombinera lösningarna från den första tre system. Svar: ; x = 5.Övningar: №24. Lös ekvationen:
№25.
Lös ekvationen och ange summan av rötterna i ditt svar: №26.
Lös ekvationen och ange den mindre roten i ditt svar: №27.
Lös ekvationen och ange den större roten i ditt svar: Avsnitt 9. Ekvationer som innehåller flera moduler
Ekvationer som innehåller flera moduler antar närvaron av absoluta värden i submodulära uttryck. Grundprincipen för att lösa ekvationer av denna typ är den sekventiella redovisningen av moduler, som börjar med den "externa". Under lösningen används de tekniker som diskuteras i avsnitt nr 1, nr 3.Exempel:
№1.
Lös ekvationen: 
Svar: x = 1; - elva. №2.
Lös ekvationen:
Svar: x = 0; 4; - 4. №3.
Lös ekvationen och ange produkten av rötterna i ditt svar: 
Svar: produkten av rötterna är – 8. №4.
Lös ekvationen: 
Låt oss beteckna befolkningens ekvationer (1)
Och (2)
och överväg lösningen för var och en av dem separat för enkel design. Eftersom båda ekvationerna innehåller mer än en modul är det bekvämare att utföra en ekvivalent övergång till uppsättningar av system. (1)
(2)
Svar:
Övningar:
№36.
Lös ekvationen, ange summan av rötterna i ditt svar: 5 │3x-5│ = 25 x №37.
Lös ekvationen, om det finns mer än en rot, ange summan av rötterna i ditt svar: │x + 2│ x – 3x – 10 = 1 №38.
Lös ekvationen: 3 │2x -4│ = 9 │x│ №39.
Lös ekvationen och ange antalet rötter i ditt svar: 2 │ sin x│ = √2 №40
. Lös ekvationen och ange antalet rötter i ditt svar:
Avsnitt 3. Logaritmiska ekvationer.
Innan man löser följande ekvationer är det nödvändigt att se över egenskaperna hos logaritmer och den logaritmiska funktionen. Exempel: №1. Lös ekvationen, ange produkten av rötterna i ditt svar: log 2 (x+1) 2 + log 2 │x+1│ = 6 O.D.Z. x+1≠0 x≠ - 1Fall 1: om x ≥ - 1, då log 2 (x+1) 2 + log 2 (x+1) = 6 log 2 (x+1) 3 = log 2 2 6 (x+1) 3 = 2 6 x+1 = 4 x = 3 – uppfyller villkoret x ≥ - 1 2 fall: om x log 2 (x+1) 2 + log 2 (-x-1) = 6 log 2 (x+1) 2 + log 2 (-(x+1)) = 6 log 2 (-(x+1) 3) = log 2 2 6- (x+1) 3 = 2 6- (x+1) = 4 x = - 5 – uppfyller skick x - 1
Svar: produkten av rötterna är – 15.
№2.
Lös ekvationen, ange summan av rötterna i ditt svar: lg 
O.D.Z. 
Svar: summan av rötterna är 0,5.
№3.
Lös ekvationen: log 5 
O.D.Z. 
Svar: x = 9. №4.
Lös ekvationen: │2 + log 0,2 x│+ 3 = │1 + log 5 x│ O.D.Z. x > 0 Låt oss använda formeln för att flytta till en annan bas. │2 - log 5 x│+ 3 = │1 + log 5 x│
│2 - log 5 x│- │1 + log 5 x│= - 3 Låt oss hitta nollorna för de submodulära uttrycken: x = 25; x = Dessa siffror delar upp intervallet av acceptabla värden i tre intervall, så ekvationen motsvarar en uppsättning av tre system. 
Svar:
Annan viktigt faktum: modul är aldrig negativ. Vilket tal vi än tar - vare sig det är positivt eller negativt - visar sig dess modul alltid vara positiv (eller, i extrema fall, noll). Det är därför som modulen ofta kallas för det absoluta värdet av ett tal.
Dessutom, om vi kombinerar definitionen av modulen för ett positivt och negativt tal, får vi en global definition av modulen för alla tal. Nämligen: modulen för ett tal är lika med själva talet om talet är positivt (eller noll), eller lika med det motsatta talet om talet är negativt. Du kan skriva detta som en formel:
Det finns också en modul på noll, men den är alltid lika med noll. Dessutom noll singularis, som inte har någon motsats.
Alltså, om vi betraktar funktionen $y=\left| x \right|$ och försök rita dess graf, får du något sånt här:
Modulgraf och exempel på att lösa ekvationen
Från denna bild är det omedelbart tydligt att $\left| -m \höger|=\vänster| m \right|$, och modulgrafen faller aldrig under x-axeln. Men det är inte allt: den röda linjen markerar den raka linjen $y=a$, som, för positiv $a$, ger oss två rötter samtidigt: $((x)_(1))$ och $((x) _(2)) $, men vi pratar om det senare. :)
Förutom den rent algebraiska definitionen finns det en geometrisk. Låt oss säga att det finns två punkter på tallinjen: $((x)_(1))$ och $((x)_(2))$. I det här fallet uttrycket $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ är helt enkelt avståndet mellan de angivna punkterna. Eller, om du föredrar, längden på segmentet som förbinder dessa punkter:
Modul är avståndet mellan punkter på en tallinje Denna definition innebär också att modulen alltid är icke-negativ. Men tillräckligt med definitioner och teorier - låt oss gå vidare till riktiga ekvationer. :)
Grundformel
Okej, vi har reda ut definitionen. Men det gjorde det inte lättare. Hur löser man ekvationer som innehåller just denna modul?
Lugn, bara lugn. Låt oss börja med de enklaste sakerna. Tänk på något i stil med detta:
\[\vänster| x\right|=3\]
Så modulen för $x$ är 3. Vad kan $x$ vara lika med? Tja, av definitionen att döma är vi ganska nöjda med $x=3$. Verkligen:
\[\vänster| 3\höger|=3\]
Finns det andra siffror? Cap verkar antyda att det finns. Till exempel är $x=-3$ också $\left| -3 \right|=3$, dvs. den erforderliga jämlikheten är uppfylld.
Så kanske om vi letar och tänker så hittar vi fler siffror? Men bryt det: fler siffror Nej. Ekvation $\vänster| x \right|=3$ har bara två rötter: $x=3$ och $x=-3$.
Låt oss nu komplicera uppgiften lite. Låt funktionen $f\left(x \right)$ hänga ut under modultecknet istället för variabeln $x$, och sätt ett godtyckligt tal $a$ i stället för trippeln till höger. Vi får ekvationen:
\[\vänster| f\left(x \right) \right|=a\]
Så hur kan vi lösa detta? Låt mig påminna dig: $f\left(x \right)$ är en godtycklig funktion, $a$ är vilket tal som helst. De där. Vad som helst! Till exempel:
\[\vänster| 2x+1 \right|=5\]
\[\vänster| 10x-5 \right|=-65\]
Låt oss uppmärksamma den andra ekvationen. Du kan genast säga om honom: han har inga rötter. Varför? Allt är korrekt: eftersom det kräver att modulen är lika med ett negativt tal, vilket aldrig händer, eftersom vi redan vet att modulen alltid är ett positivt tal eller, i extrema fall, noll.
Men med den första ekvationen är allt roligare. Det finns två alternativ: antingen finns det ett positivt uttryck under modultecknet och sedan $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, eller så är uttrycket fortfarande negativt, och sedan $\left| 2x+1 \höger|=-\vänster(2x+1 \höger)=-2x-1$. I det första fallet kommer vår ekvation att skrivas om enligt följande:
\[\vänster| 2x+1 \höger|=5\högerpil 2x+1=5\]
Och plötsligt visar det sig att det submodulära uttrycket $2x+1$ verkligen är positivt - det är lika med siffran 5. Dvs. vi kan säkert lösa denna ekvation - den resulterande roten kommer att vara en del av svaret:
De som är särskilt misstroende kan försöka ersätta den hittade roten i den ursprungliga ekvationen och se till att det verkligen finns ett positivt tal under modulen.
Låt oss nu titta på fallet med ett negativt submodulärt uttryck:
\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Högerpil 2x+1=-5\]
hoppsan! Återigen, allt är klart: vi antog att $2x+1 \lt 0$, och som ett resultat fick vi att $2x+1=-5$ - verkligen, detta uttryck är mindre än noll. Vi löser den resulterande ekvationen, samtidigt som vi redan vet säkert att den hittade roten kommer att passa oss:
Totalt fick vi återigen två svar: $x=2$ och $x=3$. Ja, mängden beräkningar visade sig vara lite större än i den mycket enkla ekvationen $\left| x \right|=3$, men ingenting har förändrats i grunden. Så det kanske finns några universell algoritm?
Ja, en sådan algoritm finns. Och nu ska vi analysera det.
Att bli av med modultecknet
Låt oss ges ekvationen $\left| f\left(x \right) \right|=a$, och $a\ge 0$ (annars, som vi redan vet, finns det inga rötter). Då kan du bli av med modultecknet med hjälp av följande regel:
\[\vänster| f\vänster(x \höger) \höger|=a\högerpil f\vänster(x \höger)=\pm a\]
Således delas vår ekvation med en modul i två, men utan en modul. Det är allt tekniken är! Låt oss försöka lösa ett par ekvationer. Låt oss börja med detta
\[\vänster| 5x+4 \right|=10\Högerpil 5x+4=\pm 10\]
Låt oss överväga separat när det finns ett tio plus till höger, och separat när det finns ett minus. Vi har:
\[\begin(align)& 5x+4=10\Högerpil 5x=6\Högerpil x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Högerpil 5x=-14\Högerpil x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\end(align)\]
Det är allt! Vi fick två rötter: $x=1.2$ och $x=-2.8$. Hela lösningen tog bokstavligen två rader.
Okej, ingen fråga, låt oss titta på något lite mer allvarligt:
\[\vänster| 7-5x\höger|=13\]
Återigen öppnar vi modulen med plus och minus:
\[\begin(align)& 7-5x=13\Högerpil -5x=6\Högerpil x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Högerpil -5x=-20\Högerpil x=4. \\\end(align)\]
Ett par rader igen - och svaret är klart! Som sagt, det är inget komplicerat med moduler. Du behöver bara komma ihåg några regler. Därför går vi vidare och börjar med verkligt mer komplexa uppgifter.
Fallet med en variabel på höger sida
Tänk nu på denna ekvation:
\[\vänster| 3x-2 \right|=2x\]
Denna ekvation skiljer sig fundamentalt från alla tidigare. Hur? Och det faktum att till höger om likhetstecknet står uttrycket $2x$ – och vi kan inte på förhand veta om det är positivt eller negativt.
Vad ska man göra i det här fallet? Först måste vi förstå det en gång för alla om den högra sidan av ekvationen visar sig vara negativ, kommer ekvationen inte att ha några rötter- Vi vet redan att modulen inte kan vara lika med ett negativt tal.
Och för det andra, om den högra delen fortfarande är positiv (eller lika med noll), kan du agera på exakt samma sätt som tidigare: öppna helt enkelt modulen separat med ett plustecken och separat med ett minustecken.
Således formulerar vi en regel för godtyckliga funktioner $f\left(x \right)$ och $g\left(x \right)$:
\[\vänster| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Högerpil \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align) \right.\]
I relation till vår ekvation får vi:
\[\vänster| 3x-2 \right|=2x\Högerpil \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]
Tja, vi kommer på något sätt att klara av kravet $2x\ge 0$. I slutändan kan vi dumt ersätta rötterna som vi får från den första ekvationen och kontrollera om ojämlikheten håller eller inte.
Så låt oss lösa själva ekvationen:
\[\begin(align)& 3x-2=2\Högerpil 3x=4\Högerpil x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Högerpil 3x=0\Högerpil x=0. \\\end(align)\]
Tja, vilken av dessa två rötter uppfyller kravet $2x\ge 0$? Ja båda! Därför blir svaret två siffror: $x=(4)/(3)\;$ och $x=0$. Det är lösningen. :)
Jag misstänker att några av eleverna redan börjar bli uttråkade? Tja, låt oss titta på en ännu mer komplex ekvation:
\[\vänster| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \höger|=x-((x)^(3))\]
Även om det ser ondskefullt ut, är det i själva verket fortfarande samma ekvation av formen "modul är lika med funktion":
\[\vänster| f\vänster(x \höger) \höger|=g\vänster(x \höger)\]
Och det är löst på exakt samma sätt:
\[\vänster| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \höger|=x-((x)^(3))\Högerpil \left\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \vänster(x-((x)^(3)) \höger), \\& x-((x) )^(3))\ge 0. \\\end(align) \right.\]
Vi kommer att ta itu med ojämlikhet senare - det är på något sätt för ondskefullt (i själva verket är det enkelt, men vi kommer inte att lösa det). För nu är det bättre att ta itu med de resulterande ekvationerna. Låt oss överväga det första fallet - det här är när modulen utökas med ett plustecken:
\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]
Tja, det är enkelt att du behöver samla allt från vänster, ta med liknande och se vad som händer. Och detta är vad som händer:
\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\end(align)\]
Vi tar den gemensamma faktorn $((x)^(2))$ ur parentes och får en mycket enkel ekvation:
\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Högerpil \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(align) \right.\]
\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1.5.\]
Här använde vi viktig egendom produkt, för vars skull vi faktoriserade det ursprungliga polynomet: produkten är lika med noll när minst en av faktorerna är lika med noll.
Låt oss nu ta itu med den andra ekvationen på exakt samma sätt, som erhålls genom att expandera modulen med ett minustecken:
\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\vänster(-3x+2 \höger)=0. \\\end(align)\]
Återigen samma sak: produkten är lika med noll när minst en av faktorerna är lika med noll. Vi har:
\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \right.\]
Tja, vi har tre rötter: $x=0$, $x=1.5$ och $x=(2)/(3)\;$. Tja, vilken av denna uppsättning kommer att gå in i det slutliga svaret? För att göra detta, kom ihåg att vi har en ytterligare begränsning i form av ojämlikhet:
Hur tar man hänsyn till detta krav? Låt oss bara ersätta de hittade rötterna och kontrollera om ojämlikheten gäller för dessa $x$ eller inte. Vi har:
\[\begin(align)& x=0\Högerpil x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Högerpil x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Högerpil x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\end(align)\]
Roten $x=1.5$ passar oss alltså inte. Och som svar kommer det bara att finnas två rötter:
\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]
Som du kan se, även i det här fallet var det inget komplicerat - ekvationer med moduler löses alltid med en algoritm. Du behöver bara ha en god förståelse för polynom och ojämlikheter. Därför går vi vidare till mer komplexa uppgifter - det kommer redan att finnas inte en, utan två moduler.
Ekvationer med två moduler
Fram till nu har vi bara studerat de enklaste ekvationerna - det fanns en modul och något annat. Vi skickade detta "något annat" till en annan del av ojämlikheten, bort från modulen, så att allt i slutändan skulle reduceras till en ekvation av formen $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ eller ännu enklare $\left| f\left(x \right) \right|=a$.
Men dagis slutade - det är dags att överväga något mer seriöst. Låt oss börja med ekvationer så här:
\[\vänster| f\vänster(x \höger) \höger|=\vänster| g\vänster(x \höger) \höger|\]
Detta är en ekvation av formen "modul är lika med modul". I grunden viktig poängär frånvaron av andra termer och faktorer: bara en modul till vänster, en modul till till höger - och inget mer.
Någon kommer nu att tycka att sådana ekvationer är svårare att lösa än vad vi har studerat hittills. Men nej: dessa ekvationer är ännu lättare att lösa. Här är formeln:
\[\vänster| f\vänster(x \höger) \höger|=\vänster| g\vänster(x \höger) \höger|\Högerpil f\vänster(x \höger)=\pm g\vänster(x \höger)\]
Allt! Vi sätter helt enkelt likhetstecken mellan submodulära uttryck genom att sätta ett plus- eller minustecken framför ett av dem. Och sedan löser vi de två resulterande ekvationerna - och rötterna är klara! Inga ytterligare begränsningar, inga ojämlikheter osv. Allt är väldigt enkelt.
Låt oss försöka lösa det här problemet:
\[\vänster| 2x+3 \höger|=\vänster| 2x-7 \right|\]
Elementär Watson! Utöka modulerna:
\[\vänster| 2x+3 \höger|=\vänster| 2x-7 \höger|\högerpil 2x+3=\pm \left(2x-7 \höger)\]
Låt oss överväga varje fall separat:
\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Högerpil 3=-7\Högerpil \emptyset ; \\& 2x+3=-\vänster(2x-7 \höger)\Högerpil 2x+3=-2x+7. \\\end(align)\]
Den första ekvationen har inga rötter. För när är $3=-7$? Vid vilka värden på $x$? "Vad fan är $x$? Är du hög? Det finns inga $x$ där alls", säger du. Och du kommer att ha rätt. Vi har fått en likhet som inte är beroende av variabeln $x$, och samtidigt är själva likheten felaktig. Det är därför det inte finns några rötter. :)
Med den andra ekvationen är allt lite mer intressant, men också väldigt, väldigt enkelt:
Som du kan se löstes allt bokstavligen på ett par rader - vi förväntade oss inget annat från en linjär ekvation. :)
Som ett resultat blir det slutliga svaret: $x=1$.
Så hur? Svår? Självklart inte. Låt oss prova något annat:
\[\vänster| x-1 \höger|=\vänster| ((x)^(2))-3x+2 \höger|\]
Återigen har vi en ekvation av formen $\left| f\vänster(x \höger) \höger|=\vänster| g\left(x \right) \right|$. Därför skriver vi om det omedelbart och avslöjar modultecknet:
\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \höger)\]
Kanske kommer någon nu att fråga: ”Hej, vilka dumheter? Varför visas "plus-minus" på det högra uttrycket och inte till vänster?" Lugn, jag ska förklara allt nu. På ett bra sätt borde vi faktiskt ha skrivit om vår ekvation enligt följande:
Sedan måste du öppna parenteserna, flytta alla termer till ena sidan av likhetstecknet (eftersom ekvationen uppenbarligen kommer att vara kvadratisk i båda fallen) och sedan hitta rötterna. Men du måste erkänna: när "plus-minus" förekommer före tre termer (särskilt när en av dessa termer är ett kvadratiskt uttryck), ser det på något sätt mer komplicerat ut än situationen när "plus-minus" förekommer endast före två termer.
Men ingenting hindrar oss från att skriva om den ursprungliga ekvationen enligt följande:
\[\vänster| x-1 \höger|=\vänster| ((x)^(2))-3x+2 \höger|\högerpil \vänster| ((x)^(2))-3x+2 \höger|=\vänster| x-1 \right|\]
Vad hände? Inget speciellt: de bytte bara vänster och höger sida. En liten sak som i slutändan kommer att göra vårt liv lite lättare. :)
I allmänhet löser vi denna ekvation, med tanke på alternativ med plus och minus:
\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Högerpil ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\vänster(x-1 \höger)\Högerpil ((x)^(2))-2x+1=0. \\\end(align)\]
Den första ekvationen har rötter $x=3$ och $x=1$. Den andra är i allmänhet en exakt kvadrat:
\[((x)^(2))-2x+1=((\vänster(x-1 \höger))^(2))\]
Därför har den bara en rot: $x=1$. Men vi har redan fått denna rot tidigare. Således kommer endast två siffror att gå in i det slutliga svaret:
\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]
Uppdrag slutfört! Du kan ta en paj från hyllan och äta den. Det finns 2 av dem, din är den mellersta. :)
Viktig notering. Förekomsten av identiska rötter för olika alternativ expansion av modulen innebär att de ursprungliga polynomen faktoriseras, och bland dessa faktorer kommer det definitivt att finnas en gemensam sådan. Verkligen:
\[\begin(align)& \left| x-1 \höger|=\vänster| ((x)^(2))-3x+2 \höger|; \\& \vänster| x-1 \höger|=\vänster| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\end(align)\]
En av modulegenskaperna: $\left| a\cdot b \höger|=\vänster| en \right|\cdot \left| b \right|$ (dvs. produktens modul är lika med produkten av modulerna), så den ursprungliga ekvationen kan skrivas om enligt följande:
\[\vänster| x-1 \höger|=\vänster| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|\]
Som ni ser har vi verkligen en gemensam faktor. Nu, om du samlar alla moduler på ena sidan, kan du ta bort denna faktor ur fästet:
\[\begin(align)& \left| x-1 \höger|=\vänster| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|; \\& \vänster| x-1 \höger|-\vänster| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|=0; \\& \vänster| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\end(align)\]
Tja, kom nu ihåg att produkten är lika med noll när minst en av faktorerna är lika med noll:
\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \right|=1. \\\end(align) \right.\]
Därmed har den ursprungliga ekvationen med två moduler reducerats till de två enklaste ekvationerna som vi pratade om alldeles i början av lektionen. Sådana ekvationer kan lösas bokstavligen på ett par rader. :)
Denna kommentar kan tyckas onödigt komplicerad och otillämplig i praktiken. Men i verkligheten kan du stöta på mycket mer komplexa problem än de vi tittar på idag. I dem kan moduler kombineras med polynom, aritmetiska rötter, logaritmer osv. Och i sådana situationer kan möjligheten att sänka ekvationens övergripande grad genom att ta något utanför parentes vara väldigt, väldigt användbar. :)
Nu skulle jag vilja titta på en annan ekvation, som vid första anblicken kan verka galen. Många studenter fastnar för det, även de som tror att de har god förståelse för modulerna.
Denna ekvation är dock ännu lättare att lösa än vad vi tittade på tidigare. Och om du förstår varför får du ytterligare ett knep för att snabbt lösa ekvationer med moduli.
Så ekvationen är:
\[\vänster| x-((x)^(3)) \höger|+\vänster| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\]
Nej, det här är inget stavfel: det är ett plus mellan modulerna. Och vi måste hitta vid vilken $x$ summan av två moduler är lika med noll. :)
Vad är problemet egentligen? Men problemet är att varje modul är ett positivt tal, eller i extrema fall noll. Vad händer om du lägger till två positiva tal? Uppenbarligen en positiv siffra igen:
\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(align)\]
Den sista raden kan ge dig en idé: den enda gången summan av modulerna är noll är om varje modul är noll:
\[\vänster| x-((x)^(3)) \höger|+\vänster| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\Högerpil \left\( \begin(align)& \left| x-((x)^(3)) \right|=0, \\& \left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0. \\\end(align) \right.\]
Och när är modulen lika med noll? Endast i ett fall - när det submodulära uttrycket är lika med noll:
\[((x)^(2))+x-2=0\Högerpil \vänster(x+2 \höger)\vänster(x-1 \höger)=0\Högerpil \vänster[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(align) \right.\]
Således har vi tre punkter där den första modulen nollställs: 0, 1 och −1; samt två punkter där den andra modulen nollställs: −2 och 1. Vi behöver dock båda modulerna nollställas samtidigt, så bland de hittade numren måste vi välja de som ingår i båda uppsättningarna. Uppenbarligen finns det bara ett sådant nummer: $x=1$ - detta kommer att vara det slutliga svaret.
Klyvningsmetod
Tja, vi har redan täckt en massa problem och lärt oss många tekniker. Tror du att det är allt? Men nej! Nu ska vi titta på den slutliga tekniken – och samtidigt den viktigaste. Vi kommer att prata om att dela ekvationer med modul. Vad ska vi ens prata om? Låt oss gå tillbaka lite och titta på någon enkel ekvation. Till exempel detta:
\[\vänster| 3x-5 \right|=5-3x\]
I princip vet vi redan hur man löser en sådan ekvation, eftersom det är en standardkonstruktion av formen $\left| f\vänster(x \höger) \höger|=g\vänster(x \höger)$. Men låt oss försöka se på denna ekvation från en lite annan vinkel. Mer exakt, betrakta uttrycket under modultecknet. Låt mig påminna dig om att modulen för vilket tal som helst kan vara lika med själva talet, eller så kan det vara motsatt det här talet:
\[\vänster| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]
Egentligen är denna tvetydighet hela problemet: eftersom talet under modulen ändras (det beror på variabeln) är det inte klart för oss om det är positivt eller negativt.
Men vad händer om du initialt kräver att denna siffra är positiv? Till exempel kräver vi att $3x-5 \gt 0$ - i det här fallet är vi garanterade att få ett positivt tal under modultecknet, och vi kan helt bli av med just denna modul:
Således kommer vår ekvation att förvandlas till en linjär, som lätt kan lösas:
Det är sant att alla dessa tankar bara är meningsfulla under villkoret $3x-5 \gt 0$ - vi införde själva detta krav för att otvetydigt avslöja modulen. Låt oss därför ersätta den hittade $x=\frac(5)(3)$ i detta tillstånd och kontrollera:
Det visar sig att för det angivna värdet på $x$ uppfylls inte vårt krav, eftersom uttrycket visade sig vara lika med noll, och vi behöver det vara strikt större än noll. Tråkigt. :(
Men det är okej! Det finns trots allt ett annat alternativ $3x-5 \lt 0$. Dessutom: det finns också fallet $3x-5=0$ - detta måste också beaktas, annars kommer lösningen att vara ofullständig. Så, överväg fallet $3x-5 \lt 0$:
Uppenbarligen kommer modulen att öppnas med ett minustecken. Men då uppstår en märklig situation: både till vänster och till höger i den ursprungliga ekvationen kommer samma uttryck att sticka ut:
Jag undrar vid vilken $x$ uttrycket $5-3x$ kommer att vara lika med uttrycket $5-3x$? Även Captain Obviousness skulle kvävas av sin saliv av sådana ekvationer, men vi vet: denna ekvation är en identitet, d.v.s. det är sant för alla värden på variabeln!
Det betyder att alla $x$ passar oss. Vi har dock en begränsning:
Med andra ord, svaret kommer inte att vara ett enda nummer, utan ett helt intervall:
Slutligen finns det ytterligare ett fall kvar att överväga: $3x-5=0$. Allt är enkelt här: under modulen kommer det att finnas noll, och nollmodulen är också lika med noll (detta följer direkt av definitionen):
Men sedan den ursprungliga ekvationen $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ kommer att skrivas om enligt följande:
Vi fick redan denna rot ovan när vi övervägde fallet med $3x-5 \gt 0$. Dessutom är denna rot en lösning på ekvationen $3x-5=0$ - detta är begränsningen som vi själva införde för att återställa modulen. :)
Så, förutom intervallet, kommer vi också att vara nöjda med siffran som ligger i slutet av detta intervall:
Kombinera rötter i modulo-ekvationer Totalt slutligt svar: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Det är inte särskilt vanligt att se sådan skit i svaret på en ganska enkel (i huvudsak linjär) ekvation med modul , Tja, vänja dig vid det: svårigheten med modulen är att svaren i sådana ekvationer kan visa sig vara helt oförutsägbara.
Något annat är mycket viktigare: vi har just analyserat en universell algoritm för att lösa en ekvation med en modul! Och denna algoritm består av följande steg:
- Jämställ varje modul i ekvationen med noll. Vi får flera ekvationer;
- Lös alla dessa ekvationer och markera rötterna på tallinjen. Som ett resultat kommer den räta linjen att delas upp i flera intervall, vid var och en av vilka alla moduler avslöjas unikt;
- Lös den ursprungliga ekvationen för varje intervall och kombinera dina svar.
Det är allt! Det finns bara en fråga kvar: vad ska man göra med rötterna som erhölls i steg 1? Låt oss säga att vi har två rötter: $x=1$ och $x=5$. De kommer att dela upp tallinjen i 3 delar:
Dela upp tallinjen i intervaller med hjälp av punkter Så vad är intervallen? Det är tydligt att det finns tre av dem:
- Den längst till vänster: $x \lt 1$ — själva enheten ingår inte i intervallet;
- Central: $1\le x \lt 5$ - här ingår en i intervallet, men fem ingår inte;
- Längst till höger: $x\ge 5$ - fem ingår bara här!
Jag tror att du redan förstår mönstret. Varje intervall inkluderar den vänstra änden och inkluderar inte den högra.
Vid första anblicken kan ett sådant inlägg verka obekvämt, ologiskt och generellt något slags galet. Men tro mig: efter lite övning kommer du att upptäcka att detta tillvägagångssätt är det mest tillförlitliga och inte stör otvetydigt att öppna modulerna. Det är bättre att använda ett sådant schema än att tänka varje gång: ge vänster/höger ände till det aktuella intervallet eller "kasta" det i nästa.
Instruktioner
Om en modul representeras som en kontinuerlig funktion kan värdet på dess argument vara antingen positivt eller negativt: |x| = x, x > 0; |x| = - x, x
zl + z2 = (xl + x2) + i(yl + y2);
zl - z2 = (xl - x2) + i(yl - y2);
Det är lätt att se att addition och subtraktion av komplexa tal följer samma regel som addition och .
Produkten av två komplexa tal är lika med:
z1*z2 = (x1 + iy1)*(x2 + iy2) = x1*x2 + i*y1*x2 + i*x1*y2 + (i^2)*y1*y2.
Eftersom i^2 = -1 blir slutresultatet:
(xl*x2 - yl*y2) + i(xl*y2 + x2*y1).
Operationerna för exponentiering och rotextraktion för komplexa tal definieras på samma sätt som för reella tal. Men i det komplexa området, för vilket tal som helst, finns det exakt n tal b så att b^n = a, det vill säga n rötter av n:e graden.
I synnerhet betyder detta att varje algebraisk ekvation av grad n med en variabel har exakt n komplexa rötter, av vilka några kan vara .
Video om ämnet
Källor:
- Föreläsning "Komplexa siffror" 2019
En rot är en ikon som representerar matematisk operation att hitta ett nummer vars höjning till den potens som anges före rottecknet bör ge det nummer som anges under just detta tecken. Ofta, för att lösa problem som involverar rötter, räcker det inte med att bara beräkna värdet. Det är nödvändigt att utföra ytterligare operationer, varav en är att ange ett tal, variabel eller uttryck under rottecknet.
Instruktioner
Bestäm rotexponenten. En exponent är ett heltal som anger den potens till vilken resultatet av beräkningen av roten måste höjas för att erhålla det radikala uttrycket (talet från vilket denna rot extraheras). Rotexponenten som en upphöjd före rotikonen. Om denna inte är specificerad så är den det Roten ur, vars grad är två. Till exempel är exponenten för roten √3 två, exponenten för ³√3 är tre, exponenten för roten ⁴√3 är fyra, etc.
Höj talet du vill ange under rotens tecken till en potens som är lika med exponenten för denna rot, bestämd av dig i föregående steg. Till exempel, om du behöver ange siffran 5 under rottecknet ⁴√3, då är indexet för rotgraden fyra och du behöver resultatet av att höja 5 till fjärde potensen 5⁴=625. Du kan göra detta på något sätt som är bekvämt för dig - i ditt huvud, med hjälp av en miniräknare eller motsvarande tjänster värd.
Ange värdet som erhållits i föregående steg under rottecknet som en multiplikator av det radikala uttrycket. För exemplet som användes i föregående steg med att lägga till ⁴√3 5 (5*⁴√3) under roten, kan denna åtgärd göras så här: 5*⁴√3=⁴√(625*3).
Förenkla det resulterande radikala uttrycket om möjligt. För ett exempel från de föregående stegen behöver du bara multiplicera talen under rottecknet: 5*⁴√3=⁴√(625*3)=⁴√1875. Detta avslutar operationen med att ange numret under roten.
Om problemet innehåller okända variabler kan stegen som beskrivs ovan utföras i allmän syn. Till exempel, om du behöver ange en okänd variabel x under den fjärde rotroten, och det radikala uttrycket är 5/x³, kan hela sekvensen av åtgärder skrivas på följande sätt: x*⁴√(5/x³)=⁴ √(x⁴*5/x³)=⁴√(x*5).
Källor:
- vad heter rottecknet?
Reella tal räcker inte för att lösa någon andragradsekvation. Den enklaste av Kvadratisk ekvation, utan rötter bland de reella talen - detta är x^2+1=0. När man löser det visar det sig att x=±sqrt(-1), och enligt elementär algebras lagar, extrahera roten jämn grad från negativ tal det är förbjudet.
