Hogar Flores de interior ¿Cómo entender por qué "más" por "menos" da "menos"? Acciones con menos. ¿Por qué un menos por un menos da un plus?

Flores de interior

¿Cómo entender por qué "más" por "menos" da "menos"? Acciones con menos. ¿Por qué un menos por un menos da un plus?

1) ¿Por qué menos uno multiplicado por menos uno es igual a más uno?

2) ¿Por qué menos uno multiplicado por más uno es igual a menos uno?

El enemigo de mi enemigo es mi amigo

La respuesta más simple es: "Porque estas son las reglas para tratar con números negativos". Las reglas que enseñamos en la escuela y las aplicamos a lo largo de nuestra vida. Sin embargo, los libros de texto no explican por qué las reglas son exactamente así. Primero intentaremos entender esto basándonos en la historia del desarrollo de la aritmética, y luego responderemos esta pregunta desde el punto de vista de las matemáticas modernas.

Érase una vez la gente solo sabía enteros: 1, 2, 3, ... Se usaban para contar utensilios, botín, enemigos, etc. Pero los números por sí mismos son bastante inútiles, necesitas saber cómo manejarlos. La suma es visual y comprensible, además, la suma de dos números naturales también es un número natural (un matemático diría que el conjunto de números naturales es cerrado con respecto a la operación de suma). La multiplicación es esencialmente la misma suma si hablamos de números naturales. En la vida, a menudo realizamos acciones asociadas con estas dos operaciones (por ejemplo, cuando compramos, sumamos y multiplicamos), y es extraño pensar que nuestros antepasados los encontraron con menos frecuencia: la suma y la multiplicación fueron dominadas por la humanidad durante mucho tiempo. atrás. A menudo es necesario dividir algunas cantidades por otras, pero aquí el resultado no siempre se expresa como un número natural; así es como aparecieron los números fraccionarios.

En los documentos indios, los números negativos aparecen desde el siglo VII d. C.; los chinos aparentemente comenzaron a usarlos un poco antes. Se utilizaron para contabilizar deudas o en cálculos intermedios para simplificar la solución de ecuaciones; era solo una herramienta para obtener una respuesta positiva. El hecho de que los números negativos, a diferencia de los positivos, no expresen la presencia de ninguna entidad, despertó una fuerte desconfianza. La gente literalmente evitó números negativos: si el problema recibió una respuesta negativa, se consideró que no había ninguna respuesta. Esta desconfianza persistió durante mucho tiempo, e incluso Descartes, uno de los "fundadores" de las matemáticas modernas, las llamó "falsas" (¡en el siglo XVII!).

Considere, por ejemplo, la ecuación 7x - 17 = 2x - 2... Se puede resolver así: mover los miembros con la incógnita al lado izquierdo, y el resto al derecho, resultará 7x - 2x = 17 - 2, 5 veces = 15, x = 3... Con esta solución, ni siquiera encontramos números negativos.

Pero uno podría hacerlo accidentalmente de otra manera: transferir los términos con lo desconocido al lado derecho y obtener 2-17 = 2x - 7x, (–15) = (–5) x... Para encontrar la incógnita, debes dividir un número negativo por otro: x = (–15) / (- 5)... Pero se conoce la respuesta correcta, y queda por concluir que (–15)/(–5) = 3 .

¿Qué demuestra este sencillo ejemplo? Primero, la lógica se vuelve clara, que determinó las reglas para las acciones en números negativos: los resultados de estas acciones deben coincidir con las respuestas que se obtengan de forma diferente, sin números negativos... En segundo lugar, al permitir el uso de números negativos, nos deshacemos de lo tedioso (si la ecuación resulta ser más complicada, con un número grande términos) de la búsqueda de esa ruta de solución en la que todas las acciones se realizan solo en números naturales. Además, ya no podemos pensar cada vez en el significado de los valores convertidos, y esto ya es un paso hacia la transformación de las matemáticas en una ciencia abstracta.

Las reglas para las acciones sobre números negativos no se formaron de inmediato, sino que se convirtieron en una generalización de numerosos ejemplos que surgieron al resolver problemas aplicados. En general, el desarrollo de las matemáticas se puede dividir condicionalmente en etapas: cada etapa siguiente se diferencia de la anterior por un nuevo nivel de abstracción en el estudio de los objetos. Entonces, en el siglo XIX, los matemáticos se dieron cuenta de que los números enteros y los polinomios, a pesar de su disimilitud externa, tienen mucho en común: ambos se pueden sumar, restar y multiplicar. Estas operaciones obedecen a las mismas leyes, tanto en el caso de los números como en el de los polinomios. Pero dividiendo enteros entre sí, de modo que el resultado sea nuevamente enteros, quizás no siempre. Lo mismo ocurre con los polinomios.

Entonces salieron a la luz otros agregados objetos matemáticos, sobre las cuales se pueden realizar tales operaciones: series de potencias formales, funciones continuas ... Finalmente, se entendió que si se estudian las propiedades de las operaciones mismas, entonces los resultados se pueden aplicar a todos estos conjuntos de objetos (este enfoque es típico de todas las matemáticas modernas).

Como resultado, apareció un nuevo concepto: anillo... Esto es solo un conjunto de elementos más las acciones que se pueden realizar en ellos. Las reglas son fundamentales aquí (se llaman axiomas), que obedecen a las acciones, y no a la naturaleza de los elementos del conjunto (aquí está, nuevo nivel¡abstracción!). Deseando enfatizar que es importante la estructura que surge después de la introducción de los axiomas, dicen los matemáticos: el anillo de números enteros, el anillo de polinomios, etc. A partir de los axiomas, se pueden deducir otras propiedades de los anillos.

Formularemos los axiomas de un anillo (que, por supuesto, son similares a las reglas para tratar con números enteros), y luego probaremos que en cualquier anillo, multiplicar un menos por un menos da como resultado un más.

Anillo llamado conjunto con dos operaciones binarias (es decir, cada operación involucra dos elementos del anillo), que tradicionalmente se denominan suma y multiplicación, y los siguientes axiomas:

La adición de elementos anulares obedece al desplazamiento ( A + B = B + A para cualquier elemento A y B) y combinación ( A + (B + C) = (A + B) + C) leyes; hay un elemento especial en el anillo 0 (adición neutral) tal que A + 0 = A, y para cualquier elemento A es el elemento opuesto (denotado (-A)), qué A + (–A) = 0;
la multiplicación obedece a la ley de combinación: A (B C) = (A B) C;
la suma y la multiplicación están relacionadas por las siguientes reglas para expandir paréntesis: (A + B) C = A C + B C y A (B + C) = A B + A C.

Tenga en cuenta que los anillos, en el mismo diseño general, no requieren la permutabilidad de la multiplicación, ni su reversibilidad (es decir, no siempre es posible dividir), ni la existencia de una unidad, un elemento neutro en la multiplicación. Si introducimos estos axiomas, obtenemos otras estructuras algebraicas, pero en ellas todos los teoremas probados para anillos serán verdaderos.

Ahora demostremos que para cualquier elemento A y B un anillo arbitrario es cierto, en primer lugar, (–A) B = - (A B), y en segundo lugar (- (- A)) = A... Las declaraciones sobre las unidades se siguen fácilmente de esto: (–1) · 1 = - (1 · 1) = –1 y (–1) · (–1) = - ((- 1) · 1) = - (- 1) = 1.

Para hacer esto, necesitamos establecer algunos hechos. Primero, probemos que cada elemento solo puede tener un opuesto. De hecho, deja que el elemento A hay dos opuestos: B y CON... Es decir A + B = 0 = A + C... Considere la cantidad A + B + C... Usando las leyes de combinación y desplazamiento y la propiedad cero, obtenemos que, por un lado, la suma es igual a B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, y por otro lado, es igual a C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C... Medio, B = C.

Note ahora que y A, y (- (- A)) son opuestos al mismo elemento (-A) por lo que deben ser iguales.

El primer hecho resulta así: 0 = 0 B = (A + (–A)) B = A B + (–A) B, es decir (–A) · B lo contrario A B entonces es igual a - (A B).

Para ser matemáticamente rigurosos, expliquemos por qué 0 B = 0 para cualquier elemento B... En efecto, 0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B... Es decir, la suma 0 B no cambia la cantidad. Por tanto, este producto es igual a cero.

Y el hecho de que haya exactamente un cero en el anillo (después de todo, los axiomas dicen que tal elemento existe, ¡pero no se dice nada sobre su unicidad!), Lo dejaremos al lector como un simple ejercicio.

"El enemigo de mi enemigo es mi amigo"

¿Por qué menos uno multiplicado por menos uno es igual a más uno? ¿Por qué menos uno multiplicado por más uno es igual a menos uno? La respuesta más simple es: "Porque estas son las reglas para tratar con números negativos". Las reglas que enseñamos en la escuela y las aplicamos a lo largo de nuestra vida. Sin embargo, los libros de texto no explican por qué las reglas son exactamente así. Primero intentaremos entender esto basándonos en la historia del desarrollo de la aritmética, y luego responderemos esta pregunta desde el punto de vista de las matemáticas modernas.

Hace mucho tiempo, las personas solo conocían los números naturales: se usaban para contar utensilios, presas, enemigos, etc. Pero los números por sí mismos son bastante inútiles, es necesario saber cómo manejarlos. La suma es visual y comprensible, además, la suma de dos números naturales también es un número natural (un matemático diría que el conjunto de números naturales es cerrado con respecto a la operación de suma). La multiplicación es esencialmente la misma suma si hablamos de números naturales. En la vida, a menudo realizamos acciones asociadas con estas dos operaciones (por ejemplo, cuando compramos, sumamos y multiplicamos), y es extraño pensar que nuestros antepasados los encontraron con menos frecuencia: la suma y la multiplicación fueron dominadas por la humanidad durante mucho tiempo. atrás. A menudo es necesario dividir algunas cantidades por otras, pero aquí el resultado no siempre se expresa como un número natural; así es como aparecían los números fraccionarios.

En los documentos indios, los números negativos aparecen desde el siglo VII d. C.; los chinos aparentemente comenzaron a usarlos un poco antes. Se usaron para contabilizar deudas o en cálculos intermedios para simplificar la solución de ecuaciones; era solo una herramienta para obtener una respuesta positiva. El hecho de que los números negativos, a diferencia de los positivos, no expresen la presencia de ninguna entidad, despertó una fuerte desconfianza. La gente, en el sentido literal de la palabra, evitaba los números negativos: si un problema tenía una respuesta negativa, creían que no había ninguna respuesta. Esta desconfianza persistió durante mucho tiempo, e incluso Descartes, uno de los "fundadores" de las matemáticas modernas, las llamó "falsas" (¡en el siglo XVII!).

Considere la ecuación, por ejemplo. Se puede resolver de la siguiente manera: mueva los términos con la incógnita al lado izquierdo, y el resto al derecho, resultará ,,. Con esta solución, ni siquiera encontramos números negativos.

Pero fue posible hacerlo accidentalmente de otra manera: transferir los términos con lo desconocido al lado derecho y obtener ,. Para encontrar la incógnita, debes dividir un número negativo por otro :. Pero se conoce la respuesta correcta, y queda por concluir eso.

¿Qué demuestra este sencillo ejemplo? En primer lugar, queda clara la lógica que definió las reglas para las acciones sobre números negativos: los resultados de estas acciones deben coincidir con las respuestas que se obtienen de otra manera, sin números negativos. En segundo lugar, al permitir el uso de números negativos, nos deshacemos de la tediosa (si la ecuación resulta ser más complicada, con una gran cantidad de términos) de buscar una ruta de solución en la que todas las acciones se realicen solo en números naturales. Además, ya no podemos pensar cada vez en el significado de los valores convertidos, y esto ya es un paso hacia la transformación de las matemáticas en una ciencia abstracta.

Luego se descubrieron otros conjuntos de objetos matemáticos, sobre los que se pueden realizar tales operaciones: series formales de potencia, funciones continuas ... para todas las matemáticas modernas).

Como resultado, apareció un nuevo concepto: un anillo. Esto es solo un conjunto de elementos más las acciones que se pueden realizar en ellos. Lo fundamental aquí son solo las reglas (se llaman axiomas), que obedecen a las acciones, y no a la naturaleza de los elementos del conjunto (aquí está, ¡un nuevo nivel de abstracción!). Deseando enfatizar que es importante la estructura que surge después de la introducción de los axiomas, dicen los matemáticos: el anillo de números enteros, el anillo de polinomios, etc. A partir de los axiomas, se pueden deducir otras propiedades de los anillos.

Un anillo es un conjunto con dos operaciones binarias (es decir, cada operación involucra dos elementos del anillo), que tradicionalmente se denominan suma y multiplicación, y los siguientes axiomas:

Tenga en cuenta que los anillos, en su construcción más general, no requieren ni la permutabilidad de la multiplicación, ni su reversibilidad (es decir, no siempre es posible dividir), ni la existencia de una unidad, un elemento neutral en la multiplicación. Si introducimos estos axiomas, obtenemos otras estructuras algebraicas, pero en ellas todos los teoremas probados para anillos serán ciertos.

Ahora demostremos que para cualquier elemento y un anillo arbitrario es cierto, en primer lugar y en segundo lugar. Las afirmaciones sobre las unidades se derivan fácilmente de esto: y.

Para hacer esto, necesitamos establecer algunos hechos. Primero, probemos que cada elemento solo puede tener un opuesto. De hecho, dejemos que el elemento tenga dos opuestos: y. Es decir . Considere la cantidad. Usando las leyes de combinación y desplazamiento y la propiedad cero, obtenemos que, por un lado, la suma es igual y, por otro lado, es igual. Medio, .

Tenga en cuenta ahora que y, y son opuestos al mismo elemento, por lo que deben ser iguales.

El primer hecho resulta así: es decir, es opuesto, entonces es igual.

Para ser matemáticamente rigurosos, expliquemos por qué para cualquier elemento. En efecto, . Es decir, la suma no cambia la cantidad. Por tanto, este producto es igual a cero.

Evgeny Epifanov
"Elementos"

Comentarios: 0

Jacques Sesiano

Durante los dos milenios, ha habido tres importantes extensiones en el dominio de los números. Primero, alrededor del 450 a. C. Los científicos de la escuela de Pitágoras demostraron la existencia de números irracionales. Su objetivo inicial era cuantificar la diagonal del cuadrado unitario. En segundo lugar, en los siglos XIII-XV, los científicos europeos, resolviendo sistemas ecuaciones lineales, admitió la posibilidad de una decisión negativa. Y en tercer lugar, en 1572, el algebrista italiano Rafael Bombelli utilizó números complejos para obtener una solución real a una determinada ecuación cúbica.

I. V. Proskuryakov

El propósito de este libro es una definición rigurosa de números, polinomios y fracciones algebraicas y la sustanciación de sus propiedades ya conocidas en la escuela, y no familiarizar al lector con nuevas propiedades. Por lo tanto, el lector no encontrará hechos nuevos para él (excepto, quizás, algunas propiedades, números reales y complejos), pero aprenderá a probar cosas que le son bien conocidas, comenzando con "dos veces dos - cuatro". y terminando con las reglas de acciones con polinomios y fracciones algebraicas... Pero el lector conocerá un número conceptos generales desempeñando el papel principal en álgebra.

Ilya Shchurov

El matemático Ilya Shchurov sobre fracciones decimales, trascendencia e irracionalidad de Pi.

Leon Takhtadzhyan

Estos serán cuatro cuentos. Comenzaremos con números, luego hablamos de movimiento, luego hablamos de cambio, luego hablamos de formas y tamaños, y luego del principio y el final. En este estilo algo encriptado, intentaremos mirar las matemáticas desde adentro y desde afuera, y exactamente como un objeto. En qué piensan los matemáticos y cómo viven, podemos hablar de esto más adelante.

Vladlen Timorin

El matemático Vladlen Timorin sobre las ventajas de los números complejos, los cuaterniones de Hamilton, los números Cayley de ocho dimensiones y la variedad de números en geometría.

Jacques Sesiano

Sabemos poco sobre Diofanto. Parece que vivía en Alejandría. Ningún matemático griego lo menciona hasta el siglo IV, por lo que probablemente vivió a mediados del siglo III. Lo mas trabajo principal Diofanto, "Aritmética" (Ἀριθμητικά), tuvo lugar al comienzo de 13 "libros" (βιβλία), es decir, capítulos. Tenemos 10 de ellos hoy, a saber: 6 en el texto griego y otros 4 en el medieval. Traducción árabe que colocan en medio de los libros griegos: los libros I-III en griego, IV-VII en árabe, VIII-X en griego. "Aritmética" de Diofanto es principalmente una colección de problemas, alrededor de 260. A decir verdad, no hay teoría; solo hay instrucciones generales en la introducción del libro, y comentarios privados en algunos problemas, cuando sea necesario. "Aritmética" ya tiene las características de un tratado algebraico. Primero, Diofanto usa diferentes signos para expresar lo desconocido y sus poderes, también algunos cálculos; como todo simbolismo algebraico de la Edad Media, su simbolismo proviene de palabras matemáticas. Luego, Diofanto explica cómo resolver el problema de forma algebraica. Pero los problemas de Diofanto no son algebraicos en el sentido habitual, porque casi todo se reduce a resolver una ecuación o sistemas indefinidos de tales ecuaciones.

El mundo de las matemáticas es impensable sin ellos, sin números primos. ¿Qué son los números primos, qué tienen de especial y qué significado tienen para La vida cotidiana? En esta película, el profesor de matemáticas británico Marcus du Sautoy descubre el misterio de los números primos.

George Shabat

En la escuela, a todos se nos inculca la idea errónea de que en el conjunto de números racionales Q hay una distancia natural única (módulo de diferencia), relativa a la cual todas las operaciones aritméticas son continuas. Sin embargo, también hay un conjunto infinito de las llamadas distancias p-ádicas, una para cada número p. Según el teorema de Ostrovsky, la distancia "ordinaria", junto con todas las p-ádicas, en realidad agota todas las distancias razonables Q. El término democracia adelia fue introducido por Yu I. I. Manin. De acuerdo con el principio de democracia adelica, todas las distancias razonables en Q son iguales ante las leyes de las matemáticas (tal vez solo el tradicional "ligeramente = ligeramente más igual ..."

Vladimir Arnold

J. L. Lagrange demostró que una secuencia de cocientes incompletos (comenzando desde algún lugar) es periódica si y solo si el número x es una irracionalidad cuadrática. RO Kuz'min demostró que en una secuencia de cocientes incompletos de casi cualquier número real, la proporción d_m igual am cocientes incompletos es la misma (para números reales típicos). La fracción d_m disminuye cuando m → ∞ como 1 / m ^ 2 y su valor fue predicho por Gauss (quien no probó nada). V. I. Arnolda planteó (hace 20 años) una conjetura de que la estadística de Gauss-Kuzmin d_m también es válida para los períodos de fracciones continuas de las raíces. ecuaciones cuadráticas x ^ 2 + px + q = 0 (con números enteros pyq): si escribimos juntos los cocientes incompletos que forman los períodos de todas las fracciones continuas de las raíces de tales ecuaciones con p ^ 2 + q ^ 2≤R ^ 2, entonces la fracción del cociente incompleto m entre ellos tenderá al número d_m cuando R → ∞. V. A. Bykovsky con sus estudiantes de Khabarovsk demostró recientemente esta vieja hipótesis. A pesar de esto, la cuestión de las estadísticas no de letras, sino de palabras compuestas por ellas, que son períodos de fracciones continuas de algunas raíces x de las ecuaciones x ^ 2 + px + q = 0, está lejos de resolverse.

Millas de reed

Dejo el título y el resumen lo más vago posible, para poder hablar de lo que me apetezca ese día. Muchas variedades de interés en la clasificación de variedades se obtienen como Spec o Proj de un anillo de Gorenstein. En la codimensión ⩽3, la conocida teoría de la estructura proporciona métodos explícitos de cálculo con anillos de Gorenstein. Por el contrario, no existe una teoría de la estructura utilizable para los anillos de codimensión ⩾4. Sin embargo, en muchos casos, la proyección de Gorenstein ( y es inversa, Kustin-Miller sin proyección) proporcionan métodos para atacar estos anillos. Estos métodos se aplican a clases esporádicas de anillos canónicos de superficies algebraicas regulares, y a construcciones más sistemáticas de Q-Fano 3-pliegues, enlaces Sarkisov entre estos y los 3 pliegues de la teoría Tipo A de Mori.

Al escuchar a un profesor de matemáticas, la mayoría de los estudiantes toman el material como un axioma. Al mismo tiempo, pocas personas intentan llegar al fondo y averiguar por qué el "menos" por "más" da un signo de "menos", y cuando se multiplican dos números negativos, sale uno positivo.

Leyes de las Matemáticas

La mayoría de los adultos no pueden explicarse a sí mismos ni a sus hijos por qué esto es así. Aprendieron firmemente este material en la escuela, pero ni siquiera intentaron averiguar de dónde venían estas reglas. Pero en vano. A menudo, los niños modernos no son tan confiados, necesitan llegar al fondo del asunto y entender, digamos, por qué "más" por "menos" da "menos". Y a veces los marimachos preguntan específicamente preguntas complicadas, para disfrutar del momento en que los adultos no pueden dar una respuesta inteligible. Y es realmente un desastre si un profesor joven se mete en problemas ...

Por cierto, cabe señalar que la regla anterior es válida tanto para la multiplicación como para la división. El producto de un número negativo y positivo dará solo "menos. Si Viene aproximadamente dos dígitos con un signo "-", el resultado será un número positivo. Lo mismo ocurre con la división. Si uno de los números es negativo, entonces el cociente también estará con un signo "-".

Para explicar la exactitud de esta ley de las matemáticas, es necesario formular los axiomas del anillo. Pero primero debes entender qué es. En matemáticas, un anillo generalmente se denomina conjunto en el que están involucradas dos operaciones con dos elementos. Pero es mejor lidiar con esto con un ejemplo.

Axioma del anillo

Hay varias leyes matemáticas.

El primero de ellos es desplazable, según él, C + V = V + C.
El segundo se llama combinación (V + C) + D = V + (C + D).

También están sujetos a multiplicación (V x C) x D = V x (C x D).

Nadie ha anulado las reglas por las que se abren los corchetes (V + C) x D = V x D + C x D, también es cierto que C x (V + D) = C x V + C x D.

Además, se estableció que se puede introducir un elemento especial de adición neutral en el anillo, cuando se use, se cumplirá lo siguiente: C + 0 = C. Además, para cada C hay un elemento opuesto, que puede denotarse como (-C). En este caso, C + (-C) = 0.

Derivación de axiomas para números negativos

Al aceptar las declaraciones anteriores, puede responder a la pregunta: "¿De más a menos da qué signo?" Conociendo el axioma sobre la multiplicación de números negativos, es necesario confirmar que efectivamente (-C) x V = - (C x V). Y también que la siguiente igualdad es cierta: (- (- C)) = C.

Para hacer esto, primero tendrás que demostrar que cada uno de los elementos tiene un solo "hermano" opuesto. Considere el siguiente ejemplo de prueba. Intentemos imaginar que para C dos números son opuestos: V y D. De ello se deduce que C + V = 0 y C + D = 0, es decir, C + V = 0 = C + D. Recordando las leyes de desplazamiento y sobre las propiedades del número 0, podemos considerar la suma de los tres números: C, V y D. Intentemos averiguar el valor de V. Es lógico que V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, porque el valor de C + D, como se aceptó anteriormente, es igual a 0. Por lo tanto, V = V + C + D.

El valor de D se muestra de la misma manera: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Con base en esto, queda claro que V = D.

Para entender por qué, sin embargo, "más" por "menos" da un "menos", es necesario comprender lo siguiente. Entonces, para el elemento (-C), C y (- (- C)) son opuestos, es decir, son iguales entre sí.

Entonces es obvio que 0 x V = (C + (-C)) x V = C x V + (-C) x V. Esto implica que C x V es opuesto a (-) C x V, entonces (- C) x V = - (C x V).

Para un rigor matemático completo, también es necesario confirmar que 0 x V = 0 para cualquier elemento. Si sigue la lógica, entonces 0 x V = (0 + 0) x V = 0 x V + 0 x V. Esto significa que la suma del producto 0 x V no cambia la cantidad establecida de ninguna manera. Después de todo, este producto es igual a cero.

Conociendo todos estos axiomas, se puede deducir no sólo cuánto da "más" sobre "menos", sino también lo que se obtiene al multiplicar números negativos.

Multiplicación y división de dos números con un "-"

Si no profundiza en los matices matemáticos, puede probar más de una manera sencilla Explica las reglas para lidiar con números negativos.

Supongamos que C - (-V) = D, basado en esto, C = D + (-V), es decir, C = D - V. Transferimos V y obtenemos que C + V = D. Es decir, C + V = C - (-V). Este ejemplo explica por qué en una expresión donde hay dos "menos" seguidos, los signos mencionados deben cambiarse a "más". Ahora tratemos con la multiplicación.

(-C) x (-V) = D, puede sumar y restar dos productos idénticos a la expresión, que no cambiarán su valor: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) = D.

Recordando las reglas para trabajar con corchetes, obtenemos:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

De esto se deduce que C x V = (-C) x (-V).

De manera similar, puede probar que dividir dos números negativos dará como resultado uno positivo.

Reglas matemáticas generales

Por supuesto, tal explicación no funcionará para los escolares. grados de primaria que están empezando a aprender números negativos abstractos. Es mejor para ellos explicar sobre objetos visibles, manipulando el término familiar a través del espejo. Por ejemplo, los juguetes inventados, pero no existentes, se encuentran allí. Pueden mostrarse con un signo "-". La multiplicación de dos objetos en forma de espejo los traslada a otro mundo, que se equipara al presente, es decir, como resultado, tenemos números positivos. Pero la multiplicación de un número negativo abstracto por uno positivo solo da el resultado familiar para todos. Después de todo, "más" multiplicado por "menos" da "menos". Es cierto que los niños no se esfuerzan demasiado por ahondar en todos los matices matemáticos.

Aunque, para ser honesto, para muchas personas, incluso con educación más alta muchas reglas siguen siendo un misterio. Todo el mundo da por hecho lo que les enseñan los profesores, sin dudar en ahondar en todas las dificultades que acarrea la matemática. "Menos" por "menos" da "más": todo el mundo lo sabe, sin excepción. Esto es cierto para números enteros y fraccionarios.

¡Atención, solo HOY!

Técnicas de clasificación en programación: clasificación de burbujas

De hecho, ¿por qué? La respuesta más simple es: "Porque estas son las reglas para tratar con números negativos". Las reglas que enseñamos en la escuela y las aplicamos a lo largo de nuestra vida. Sin embargo, los libros de texto no explican por qué las reglas son exactamente así. Recordamos que así es exactamente como ya no nos hacemos una pregunta.

Preguntémonos ...

Hace mucho tiempo, las personas solo conocían los números naturales: 1, 2, 3, ... Se usaban para contar utensilios, presas, enemigos, etc. Pero los números por sí mismos son bastante inútiles, es necesario saber cómo manejarlos. ellos. La suma es visual y comprensible, además, la suma de dos números naturales también es un número natural (un matemático diría que el conjunto de números naturales es cerrado con respecto a la operación de suma). La multiplicación es esencialmente la misma suma si hablamos de números naturales. En la vida, a menudo realizamos acciones asociadas con estas dos operaciones (por ejemplo, cuando compramos, sumamos y multiplicamos), y es extraño pensar que nuestros antepasados los encontraron con menos frecuencia: la suma y la multiplicación fueron dominadas por la humanidad durante mucho tiempo. atrás. A menudo es necesario dividir algunas cantidades por otras, pero aquí el resultado no siempre se expresa como un número natural; así es como aparecían los números fraccionarios.

La resta, por supuesto, también es indispensable. Pero en la práctica, tendemos a restar el número más pequeño del más grande y no es necesario utilizar números negativos. (Si tengo 5 caramelos y le doy a mi hermana 3, entonces tendré 5 - 3 = 2 caramelos, pero no puedo darle 7 caramelos con todo mi deseo). Esto puede explicar por qué la gente no usó números negativos para mucho tiempo.

En los documentos indios, los números negativos aparecen desde el siglo VII d. C.; los chinos aparentemente comenzaron a usarlos un poco antes. Se usaron para contabilizar deudas o en cálculos intermedios para simplificar la solución de ecuaciones; era solo una herramienta para obtener una respuesta positiva. El hecho de que los números negativos, a diferencia de los positivos, no expresen la presencia de ninguna entidad, despertó una fuerte desconfianza. La gente, en el sentido literal de la palabra, evitaba los números negativos: si un problema tenía una respuesta negativa, creían que no había ninguna respuesta. Esta desconfianza persistió durante mucho tiempo, e incluso Descartes, uno de los "fundadores" de las matemáticas modernas, las llamó "falsas" (¡en el siglo XVII!).

Por ejemplo, considera la ecuación 7x - 17 = 2x - 2. Se puede resolver de la siguiente manera: mueve los términos con la incógnita al lado izquierdo y el resto al derecho, obtienes 7x - 2x = 17 - 2, 5x = 15, x = 3. Con esta solución, ni siquiera encontramos números negativos.

Pero fue posible hacerlo accidentalmente de manera diferente: transferir los términos con la incógnita al lado derecho y obtener 2 - 17 = 2x - 7x, (-15) = (-5) x. Para encontrar la incógnita, debes dividir un número negativo por otro: x = (-15) / (- 5). Pero se conoce la respuesta correcta, y queda concluir que (-15) / (- 5) = 3.

La adición de elementos de anillo obedece a las leyes de desplazamiento (A + B = B + A para cualquier elemento A y B) y combinación (A + (B + C) = (A + B) + C); el anillo contiene un elemento especial 0 (un elemento neutro para la adición) tal que A + 0 = A, y para cualquier elemento A hay un elemento opuesto (denotado por (-A)) tal que A + (-A) = 0 ;
- la multiplicación obedece a la ley de combinación: A · (B · C) = (A · B) · C;
la suma y la multiplicación están relacionadas por las siguientes reglas de expansión de paréntesis: (A + B) C = A C + B C y A (B + C) = A B + A C.

Ahora demostremos que para cualquier elemento A y B de un anillo arbitrario, primero, (-A) B = - (A B), y en segundo lugar, (- (- A)) = A. Esto implica fácilmente declaraciones sobre unidades: ( -1) 1 = - (1 1) = -1 y (-1) (-1) = - ((- 1) 1) = - (- 1) = 1.

Para hacer esto, necesitamos establecer algunos hechos. Primero, probemos que cada elemento solo puede tener un opuesto. De hecho, supongamos que el elemento A tiene dos opuestos: B y C. Es decir, A + B = 0 = A + C. Considere la suma A + B + C. Usando las leyes de combinación y transposición y la propiedad cero, obtenemos que , con por un lado, la suma es B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, y por otro lado, es C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Entonces B = C.

Tenga en cuenta ahora que tanto A como (- (- A)) son opuestos al mismo elemento (-A), por lo que deben ser iguales.

El primer hecho se obtiene de la siguiente manera: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B, es decir, (-A) B es opuesto a A B, por lo que es igual a - (AB).

Para ser matemáticamente rigurosos, expliquemos por qué 0 · B = 0 para cualquier elemento B. De hecho, 0 · B = (0 + 0) B = 0 · B + 0 · B. Es decir, agregar 0 · B no cambia la cantidad. Por tanto, este producto es igual a cero.

Evgeny Epifanov

Dos negativos hacen afirmativa- esta es una regla que aprendimos en la escuela y aplicamos toda nuestra vida. ¿Quién de nosotros se preguntó por qué? Por supuesto, es más fácil recordar esta afirmación sin preguntas innecesarias y no profundizar en la esencia del tema. Ahora ya hay suficiente información que necesita ser "digerida". Pero para aquellos que todavía estén interesados en esta cuestión, intentaremos dar una explicación de este fenómeno matemático.

Desde la antigüedad, las personas han estado usando números naturales positivos: 1, 2, 3, 4, 5, ... Los números se usaban para contar ganado, cultivos, enemigos, etc. Al sumar y multiplicar dos números positivos, siempre obtuvieron un número positivo, al dividir algunos valores por otros, no siempre obtuvieron números naturales; así es como aparecieron los números fraccionarios. ¿Qué pasa con la resta? Desde la infancia, sabemos que es mejor sumar menos a lo más grande y restar lo más pequeño de lo más grande, mientras que nuevamente no usamos números negativos. Resulta que si tengo 10 manzanas, solo puedo darle a alguien menos de 10 o 10. No puedo dar 13 manzanas porque no las tengo. No ha habido necesidad de números negativos durante mucho tiempo.

Solo a partir del siglo VII d.C. Los números negativos se utilizaron en algunos sistemas de conteo como valores auxiliares que hicieron posible obtener un número positivo en la respuesta.

Consideremos un ejemplo, 6x - 30 = 3x - 9. Para encontrar la respuesta, es necesario dejar los términos con incógnitas en el lado izquierdo y el resto - en el derecho: 6x - 3x = 30 - 9, 3x = 21, x = 7. Al resolver esta ecuación, incluso no se encontraron números negativos. Podríamos mover términos con incógnitas al lado derecho, y sin incógnitas, a la izquierda: 9 - 30 = 3x - 6x, (-21) = (-3x). Al dividir un número negativo por negativo, obtenemos una respuesta positiva: x = 7.

¿Qué vemos?

Las acciones con números negativos deberían llevarnos a la misma respuesta que las acciones con solo números positivos. Ya no podemos pensar en la inutilidad práctica y el significado de las acciones: nos ayudan a resolver el problema mucho más rápido, sin reducir la ecuación a una forma con solo números positivos. En nuestro ejemplo, no usamos cálculos complejos, pero con un número grande calcular términos con números negativos puede facilitar nuestro trabajo.

Con el tiempo, después de experimentos y cálculos a largo plazo, fue posible identificar las reglas que obedecen a todos los números y acciones sobre ellos (en matemáticas, se llaman axiomas). De aqui vino un axioma que establece que cuando se multiplican dos números negativos, obtenemos positivo.

blog.sitio, con copia total o parcial del material, se requiere un enlace a la fuente.