सभी संभावित उत्पादों की रचना करें 4. कॉम्बिनेटरिक्स के तत्व। कॉम्बिनेटरिक्स में जोड़ और गुणा के नियम

कॉम्बिनेटरिक्स गणित की एक शाखा है जो इस सवाल का अध्ययन करती है कि दी गई वस्तुओं से कुछ शर्तों के अधीन कितने अलग-अलग संयोजन बनाए जा सकते हैं। यादृच्छिक घटनाओं की संभावनाओं का अनुमान लगाने के लिए कॉम्बिनेटरिक्स की मूल बातें बहुत महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि वे हमें मौलिक रूप से संभावित संख्या की गणना करने की अनुमति देते हैं विभिन्न विकल्पघटनाओं का विकास.

कॉम्बिनेटरिक्स का मूल सूत्र

मान लीजिए कि तत्वों के k समूह हैं, और मैं-वें समूह n i तत्वों से मिलकर बना है। आइए प्रत्येक समूह से एक तत्व का चयन करें। तब कुल गणनाऐसे N तरीके जिनसे ऐसा चुनाव किया जा सकता है, संबंध N=n 1 *n 2 *n 3 *...*n k द्वारा निर्धारित किया जाता है।

उदाहरण 1।आइये इस नियम को एक सरल उदाहरण से समझाते हैं। मान लीजिए कि तत्वों के दो समूह हैं, और पहले समूह में n 1 तत्व हैं, और दूसरे में n 2 तत्व हैं। इन दो समूहों से तत्वों के कितने अलग-अलग जोड़े बनाए जा सकते हैं, ताकि जोड़े में प्रत्येक समूह से एक तत्व शामिल हो? मान लीजिए कि हमने पहले समूह से पहला तत्व लिया और, इसे बदले बिना, सभी संभावित जोड़ियों से गुजरे, केवल दूसरे समूह के तत्वों को बदला। इस तत्व के लिए n 2 ऐसे जोड़े हो सकते हैं। फिर हम पहले समूह से दूसरा तत्व लेते हैं और उसके लिए सभी संभावित जोड़े भी बनाते हैं। ऐसे 2 जोड़े भी होंगे. चूँकि पहले समूह में केवल n 1 तत्व हैं, इसलिए कुल संभावित विकल्प n 1 *n 2 होंगे।

उदाहरण 2.अंक 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 से कितनी तीन अंकीय सम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि अंकों को दोहराया जा सके?
समाधान: n 1 = 6 (क्योंकि आप 1, 2, 3, 4, 5, 6 में से कोई भी संख्या पहले अंक के रूप में ले सकते हैं), n 2 = 7 (क्योंकि आप 0 में से कोई भी संख्या दूसरे अंक के रूप में ले सकते हैं, 1, 2 , 3, 4, 5, 6), n 3 =4 (चूंकि 0, 2, 4, 6 में से कोई भी संख्या तीसरे अंक के रूप में ली जा सकती है)।
तो, N=n 1 *n 2 *n 3 =6*7*4=168.

उस स्थिति में जब सभी समूह शामिल हों वही संख्यातत्व, अर्थात् n 1 =n 2 =...n k =n हम मान सकते हैं कि प्रत्येक चयन एक ही समूह से किया गया है, और चयन के बाद तत्व समूह में वापस आ जाता है। तब सभी चयन विधियों की संख्या n k है। कॉम्बिनेटरिक्स में चयन की इस पद्धति को कहा जाता है वापसी के साथ नमूने.

उदाहरण 3.अंक 1, 5, 6, 7, 8 से चार अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?
समाधान।चार अंकों की संख्या के प्रत्येक अंक के लिए पाँच संभावनाएँ हैं, जिसका अर्थ है N=5*5*5*5=5 4 =625.

n तत्वों से युक्त एक समुच्चय पर विचार करें। कॉम्बिनेटरिक्स में इस सेट को कहा जाता है सामान्य जनसंख्या.

m द्वारा n तत्वों के प्लेसमेंट की संख्या

परिभाषा 1.से आवास एनतत्वों द्वारा एमकॉम्बिनेटरिक्स में कोई भी आदेशित सेटसे एमजनसंख्या में से विभिन्न तत्वों का चयन किया गया एनतत्व.

उदाहरण 4.तीन तत्वों (1, 2, 3) की दो से भिन्न व्यवस्थाएँ समुच्चय (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3) होंगी , 2 ). प्लेसमेंट तत्वों और उनके क्रम दोनों में एक दूसरे से भिन्न हो सकते हैं।

कॉम्बिनेटरिक्स में प्लेसमेंट की संख्या ए एन एम द्वारा निरूपित की जाती है और सूत्र द्वारा गणना की जाती है:

टिप्पणी: n!=1*2*3*...*n (पढ़ें: "एन फैक्टोरियल"), इसके अलावा, यह माना जाता है कि 0!=1।

उदाहरण 5. ऐसी दो अंकों वाली कितनी संख्याएँ हैं जिनमें दहाई का अंक और इकाई का अंक भिन्न और विषम हैं?
समाधान:क्योंकि यदि पांच विषम अंक हैं, अर्थात् 1, 3, 5, 7, 9, तो यह कार्य पांच अलग-अलग अंकों में से दो को चुनने और दो अलग-अलग स्थितियों में रखने के लिए आता है, यानी। संकेतित संख्याएँ होंगी:

परिभाषा 2. संयोजनसे एनतत्वों द्वारा एमकॉम्बिनेटरिक्स में कोई भी अव्यवस्थित सेटसे एमजनसंख्या में से विभिन्न तत्वों का चयन किया गया एनतत्व.

उदाहरण 6. सेट (1, 2, 3) के लिए, संयोजन (1, 2), (1, 3), (2, 3) हैं।

n तत्वों के संयोजनों की संख्या, प्रत्येक m

संयोजनों की संख्या C n m द्वारा निरूपित की जाती है और सूत्र द्वारा गणना की जाती है:

उदाहरण 7.एक पाठक कितने तरीकों से उपलब्ध छह पुस्तकों में से दो पुस्तकों का चयन कर सकता है?

समाधान:विधियों की संख्या दो की छह पुस्तकों के संयोजन की संख्या के बराबर है, अर्थात। बराबर:

n तत्वों का क्रमपरिवर्तन

परिभाषा 3. क्रमपरिवर्तनसे एनतत्वों को कोई भी कहा जाता है आदेशित सेटये तत्व.

उदाहरण 7ए.तीन तत्वों (1, 2, 3) से युक्त सेट के सभी संभावित क्रमपरिवर्तन हैं: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , (3, 2, 1), (3, 1, 2)।

n तत्वों के विभिन्न क्रमपरिवर्तनों की संख्या को P n द्वारा निरूपित किया जाता है और इसकी गणना सूत्र P n =n! द्वारा की जाती है।

उदाहरण 8.विभिन्न लेखकों की सात पुस्तकों को एक शेल्फ पर एक पंक्ति में कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?

समाधान:यह समस्या सात अलग-अलग पुस्तकों के क्रमपरिवर्तन की संख्या के बारे में है। पुस्तकों को व्यवस्थित करने के पी 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 तरीके हैं।

बहस।हम देखते हैं कि संभावित संयोजनों की संख्या की गणना विभिन्न नियमों (क्रमपरिवर्तन, संयोजन, प्लेसमेंट) के अनुसार की जा सकती है और परिणाम अलग होगा, क्योंकि गणना सिद्धांत और सूत्र स्वयं अलग-अलग हैं। परिभाषाओं को ध्यान से देखने पर आप देखेंगे कि परिणाम एक साथ कई कारकों पर निर्भर करता है।

सबसे पहले, हम कितने तत्वों से उनके सेट को जोड़ सकते हैं (तत्वों की समग्रता कितनी बड़ी है)।

दूसरे, परिणाम हमारे लिए आवश्यक तत्वों के सेट के आकार पर निर्भर करता है।

अंत में, यह जानना महत्वपूर्ण है कि सेट में तत्वों का क्रम हमारे लिए महत्वपूर्ण है या नहीं। आइए निम्नलिखित उदाहरण का उपयोग करके अंतिम कारक को समझाएं।

उदाहरण 9.पर अभिभावक बैठक 20 लोग मौजूद हैं. मूल समिति की संरचना के लिए कितने अलग-अलग विकल्प हैं यदि इसमें 5 लोगों को शामिल किया जाना चाहिए?
समाधान:इस उदाहरण में, हमें समिति सूची में नामों के क्रम में कोई दिलचस्पी नहीं है। यदि, परिणामस्वरूप, वही लोग इसका हिस्सा बन जाते हैं, तो हमारे लिए अर्थ में यह वही विकल्प है। इसलिए, हम संख्या की गणना के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं युग्म 20 तत्वों में से प्रत्येक में 5.

यदि समिति का प्रत्येक सदस्य शुरू में कार्य के एक विशिष्ट क्षेत्र के लिए जिम्मेदार हो तो चीजें अलग होंगी। फिर, समिति की समान सूची संरचना के साथ, इसमें संभवतः 5 हैं! विकल्प क्रमपरिवर्तनवह मामला। इस मामले में विभिन्न (संरचना और जिम्मेदारी के क्षेत्र दोनों में) विकल्पों की संख्या संख्या द्वारा निर्धारित की जाती है प्लेसमेंट 20 तत्वों में से प्रत्येक में 5.

स्व-परीक्षण कार्य
1. अंक 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 से कितनी तीन अंकों वाली सम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि अंकों को दोहराया जा सके?

2. पाँच अंकों की ऐसी कितनी संख्याएँ हैं जो बाएँ से दाएँ और दाएँ से बाएँ एक समान पढ़ी जाती हैं?

3. कक्षा में दस विषय और एक दिन में पाँच पाठ होते हैं। आप कितने तरीकों से एक दिन का शेड्यूल बना सकते हैं?

4. यदि समूह में 20 लोग हैं तो सम्मेलन के लिए 4 प्रतिनिधियों को कितने तरीकों से चुना जा सकता है?

5. आठ अलग-अलग लिफाफों में आठ अलग-अलग पत्र कितने तरीकों से रखे जा सकते हैं, यदि प्रत्येक लिफाफे में केवल एक पत्र रखा जाए?

6. दो गणितज्ञों और छह अर्थशास्त्रियों का एक आयोग बनाया जाए जिसमें तीन गणितज्ञ और दस अर्थशास्त्री हों। यह कितने तरीकों से किया जा सकता है?

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स्लाइड कैप्शन:

कॉम्बिनेटरिक्स के तत्व निकंद्रोवा आई.ए. एमबीओयू "लिसेयुम 10" वेलिकिये लुकी

संयोजनात्मक समस्याओं के उदाहरण जिन समस्याओं में तत्वों की एक सीमित संख्या से विभिन्न संयोजन बनाने होते हैं और संयोजनों की संख्या को गिनना होता है, उन्हें संयोजनात्मक कहा जाता है। गणित की वह शाखा जिसमें ऐसी समस्याओं पर विचार किया जाता है, "संयोजन विज्ञान" शब्द से आया है लैटिन कॉम्बिनारे - "जुड़ना, गठबंधन करना"

उदाहरण 1 टेनिस खिलाड़ियों के एक समूह से, जिसमें चार लोग शामिल हैं - एंटोनोव, ग्रिगोरिएव, सर्गेव और फेडोरोव, कोच प्रतियोगिताओं में भाग लेने के लिए एक जोड़े का चयन करता है। ऐसी जोड़ी चुनने के लिए कितने विकल्प हैं? एजी, एएस, एएफ जीएस, जीएफ एसएफ इसका मतलब है कि कुल छह विकल्प हैं। जिस तर्क पद्धति का हमने उपयोग किया है उसे पाशविक बल कहा जाता है संभावित विकल्प

उदाहरण 2 संख्या 1, 3, 5, 7 से कितनी तीन अंकों की संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, जिनमें से प्रत्येक का संख्या लिखने में एक से अधिक बार उपयोग नहीं किया जा सकता है? समस्या के प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हम ऐसी सभी संख्याएँ लिखते हैं। हम प्राप्त परिणामों को चार पंक्तियों में लिखेंगे, जिनमें से प्रत्येक में छह संख्याएँ होंगी: 135 137 153 157 173 175 315 317 351 357 371 375 513 517 531 537 571 573 713 715 731 735 751 753

विधि दो विकल्पों की गणना को चित्र में दर्शाया गया है। ऐसे आरेख को संभावित विकल्पों का वृक्ष कहा जाता है

विधि तीन पहला अंक चार तरीकों से चुना जा सकता है। चूंकि पहला अंक चुनने के बाद तीन अंक बचेंगे, इसलिए दूसरे अंक का चयन तीन तरीकों से किया जा सकता है। अंत में, तीसरे अंक को दो तरीकों से चुना जा सकता है। नतीजतन, आवश्यक संख्याओं की कुल संख्या उत्पाद 4 * 3 * 2 के बराबर है, अर्थात 24 संयोजन गुणन नियम का उपयोग किया गया था: मान लीजिए कि n तत्व हैं और आपको उनमें से एक के बाद एक k तत्वों का चयन करने की आवश्यकता है। यदि पहले तत्व को n1 तरीकों से चुना जा सकता है, जिसके बाद दूसरे तत्व को शेष तत्वों में से n2 तरीकों से चुना जा सकता है, फिर तीसरे तत्व को शेष तत्वों में से n3 तरीकों से चुना जा सकता है, आदि, तो तरीकों की संख्या जिसमें सभी k तत्वों को चुना जा सकता है वह उत्पाद n1 · p2 · p2 · … · pk के बराबर है।

उदाहरण 3 शहर A से शहर B तक दो सड़कें हैं, शहर B से शहर C तक तीन सड़कें हैं, और शहर C से घाट तक दो सड़कें हैं। पर्यटक शहर ए से बी और सी होते हुए घाट तक यात्रा करना चाहते हैं। वे कितने तरीकों से एक मार्ग चुन सकते हैं? समाधान: 2*3*2=12

समस्याएँ 1. कैफे दो प्रथम पाठ्यक्रम प्रदान करता है: बोर्स्ट, रसोलनिक, और चार दूसरे पाठ्यक्रम: गौलाश, कटलेट, सॉसेज, पकौड़ी। उन सभी दो-कोर्स भोजनों की सूची बनाएं जिन्हें एक भोजनकर्ता ऑर्डर कर सकता है। संभावित विकल्पों में से एक वृक्ष का निर्माण करें 2. स्टेडियम में चार प्रवेश द्वार हैं: ए, बी, सी, डी। कृपया सभी बताएं संभावित तरीकेजिसमें एक आगंतुक एक प्रवेश द्वार से प्रवेश कर सकता है और दूसरे प्रवेश द्वार से बाहर निकल सकता है। ऐसे कितने तरीके हैं? उत्तर: 12 तरीके 3. संख्याओं 0,2,4,6 का उपयोग करके, सभी संभावित तीन अंकों की संख्याएँ बनाएं जिनमें संख्याएँ दोहराई न जाएँ।

समस्याएँ 4. एक शतरंज टूर्नामेंट में 9 लोग भाग लेते हैं। उनमें से प्रत्येक ने एक दूसरे के साथ एक खेल खेला। कुल कितने खेल खेले गए? उत्तर: 36 खेल 5. एक बैठक के दौरान 8 लोगों ने हाथ मिलाया। कितने हाथ मिलाये गये? उत्तर: 28 हाथ मिलाना 6. 9वीं कक्षा के छात्रों ने तस्वीरों का आदान-प्रदान करने का निर्णय लिया। यदि कक्षा में 24 छात्र हैं तो इसके लिए कितनी तस्वीरों की आवश्यकता होगी? उत्तर:552 तस्वीरें

समस्याएँ 7. कैफे में तीन प्रथम पाठ्यक्रम, पाँच दूसरे पाठ्यक्रम और दो तीसरे पाठ्यक्रम हैं। एक कैफे आगंतुक कितने तरीकों से दोपहर के भोजन का चयन कर सकता है जिसमें पहला, दूसरा और तीसरा कोर्स शामिल हो? उत्तर: 30 तरीके 8. पीटर ने नए साल के कार्निवल में एक बंदूकधारी की पोशाक पहनकर जाने का फैसला किया। किराये की दुकान पर, उन्हें विभिन्न शैलियों और रंगों की वस्तुओं की पेशकश की गई: पांच प्रकार के पतलून, छह कैमिसोल, तीन टोपी, दो जोड़ी जूते। इन वस्तुओं से कितने अलग-अलग कार्निवाल पोशाकें बनाई जा सकती हैं? उत्तर: 180 सूट

क्रमपरिवर्तन एक परिमित समुच्चय के तत्वों से बनाए जा सकने वाले सबसे सरल संयोजन क्रमपरिवर्तन हैं। पहले n के गुणनफल के लिए n तत्वों के क्रमपरिवर्तन की संख्या को प्रतीक P n ("n का P पढ़ें") द्वारा दर्शाया जाता है। प्राकृतिक संख्याएक विशेष संकेतन का उपयोग करें: n! (एन फैक्टोरियल पढ़ें) 2!=2; 5!=120; 1!=1

समस्याओं के उदाहरण इस प्रकार, n तत्वों के संभावित क्रमपरिवर्तन की संख्या की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: P n = n! उदाहरण 1। अंतिम दौड़ में 8 प्रतिभागियों को कितने तरीकों से आठ ट्रेडमिल पर रखा जा सकता है? पी 8 =8!=40320 उदाहरण 2. अंक 0, 2, 4, 6 से कितनी अलग-अलग चार अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, जिनमें अंक दोहराए नहीं जाते हैं? संख्या 0,2,4,6 से आप P 4 क्रमपरिवर्तन प्राप्त कर सकते हैं। इस संख्या से हमें उन क्रमपरिवर्तनों को बाहर करना होगा जो 0 से शुरू होते हैं। हमें मिलता है: P 4 -P 3 =4!-3!=18

उदाहरण 3. 9 अलग-अलग पुस्तकें हैं, उनमें से चार हैं जिनमें से - पाठ्यपुस्तकें. इन पुस्तकों को शेल्फ पर कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है ताकि सभी पाठ्यपुस्तकें एक-दूसरे के बगल में हों? सबसे पहले, हम पाठ्यपुस्तकों को एक पुस्तक मानेंगे। फिर आपको शेल्फ पर 9 नहीं, बल्कि 6 किताबें रखनी होंगी। इसे 6 तरीकों से किया जा सकता है. प्रत्येक परिणामी संयोजन में, पाठ्यपुस्तकों के पी 4 क्रमपरिवर्तन करना संभव है। इसका मतलब यह है कि शेल्फ पर पुस्तकों को व्यवस्थित करने के तरीकों की आवश्यक संख्या उत्पाद पी 6 * पी 4 के बराबर है। हमें मिलता है: पी 6 *पी 4 =6!*4!=720*24=17280

समस्याएँ 1. चार सीटों वाली बेंच पर 4 लोग कितने तरीकों से फिट हो सकते हैं? उत्तर:24 2. कूरियर को 7 अलग-अलग संस्थानों में पैकेज वितरित करना होगा। वह कितने मार्ग चुन सकता है? उत्तर: 5040 3. संख्याओं से कितनी छः अंकीय संख्याएँ (संख्याओं को दोहराए बिना) बनाई जा सकती हैं: a) 1,2,5,6,7,8; बी)0,2,5,6,7,8? उत्तर: ए) 720; बी) 600 4. सोमवार के कार्यक्रम में छह पाठ हैं: बीजगणित, ज्यामिति, जीव विज्ञान, इतिहास, शारीरिक शिक्षा, रसायन विज्ञान इस दिन के लिए पाठ कार्यक्रम कितने तरीकों से बनाया जा सकता है ताकि गणित के दो पाठ हो सकें एक दूसरे के बगल में हैं? उत्तर:240

समस्याएँ 5. क्या संख्या 14 विभाज्य है? पर: ए)168; बी)136;सी)147;डी)132? 6. 7. उत्तर 6) :15; 1/90; 1722; 40

परीक्षण कार्य विकल्प 1 विकल्प 2 1. संयोजनात्मक समस्याएँ 2. संयोजनात्मक समस्याओं को हल करने की विधियाँ 3. गणना करें 1. क्रमपरिवर्तन, सूत्र 2. संयोजन विज्ञान 3. गणना करें

प्लेसमेंट मान लीजिए कि 4 गेंदें और 3 खाली सेल हैं। गेंदों के इस सेट में से तीन गेंदों को अलग-अलग तरीकों से खाली कोशिकाओं में रखा जा सकता है। का चयन विभिन्न तरीकेपहली, दूसरी और तीसरी गेंदों पर, हमें अलग-अलग त्रिक गेंदें मिलेंगी। प्रत्येक क्रमित त्रिक जो चार तत्वों से बना हो सकता है, उसे k (k) द्वारा चार तत्वों की व्यवस्था कहा जाता है

उदाहरण 1. दूसरी कक्षा के छात्र 8 विषयों का अध्ययन करते हैं। आप एक दिन के लिए कितने तरीकों से शेड्यूल बना सकते हैं ताकि उसमें 4 शामिल हों? विभिन्न विषय? इस उदाहरण में हम बात कर रहे हैं 4. के 8 तत्वों के स्थान के बारे में हमारे पास है: 2. संख्याओं 0,1,2,3,4,5,6 से कितनी तीन अंकों वाली संख्याएँ (संख्या अंकन में अंकों को दोहराए बिना) बनाई जा सकती हैं? इन संख्याओं में से एक संख्या 0 है, जिससे तीन अंकों की संख्या शुरू नहीं हो सकती। इसीलिए:

समस्याएँ 1. यदि डिब्बे में कोई अन्य यात्री न हो तो चार सीटों वाले डिब्बे में तीन लोगों का परिवार कितने तरीकों से फिट हो सकता है? उत्तर: 24 2. बैठक में 30 प्रतिभागियों में से एक अध्यक्ष और एक सचिव का चयन किया जाना चाहिए। यह कितने तरीकों से किया जा सकता है? उत्तर: 870 3. प्रतियोगिता के आयोजक कितने तरीकों से यह निर्धारित कर सकते हैं कि 15 प्रतिभागियों में से कौन प्रथम, द्वितीय और तृतीय प्रदर्शन करेगा? उत्तर: 2730 4. एल्बम पृष्ठ पर फ़ोटो के लिए 6 निःशुल्क स्थान हैं। आप रिक्त स्थानों को कितने तरीकों से रख सकते हैं: a) 2 तस्वीरें; बी) 4 तस्वीरें; ग) 6 तस्वीरें? उत्तर: 30;360;720

संयोजन k द्वारा n तत्वों का संयोजन दिए गए n तत्वों से बना कोई सेट है। संयोजनों में प्लेसमेंट के विपरीत, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि तत्वों को किस क्रम में निर्दिष्ट किया गया है। k द्वारा तत्वों के दो संयोजन एक दूसरे से कम से कम एक तत्व से भिन्न होते हैं . n से k तक "C" पढ़ें, n तत्वों के k से संयोजनों की संख्या के लिए सूत्र, जहां k

उदाहरण 1. एक पर्यटक समूह के 15 सदस्यों में से ड्यूटी पर तीन लोगों का चयन किया जाना चाहिए। यह चुनाव कितने तरीकों से किया जा सकता है? प्रत्येक विकल्प कम से कम एक परिचारक द्वारा दूसरे से भिन्न होता है। इसका मतलब है कि यहां हम 3 के 15 तत्वों के संयोजन के बारे में बात कर रहे हैं। हमारे पास: 2. 9 सेब और 6 नाशपाती वाले फल के कटोरे से, आपको 3 सेब और 2 नाशपाती चुनने की आवश्यकता है। ऐसा चुनाव कितने तरीकों से किया जा सकता है? हमारे पास है:

कार्य 1. कक्षा में 7 लोग सफलतापूर्वक गणित कर रहे हैं। आप कितने तरीकों से उनमें से दो को भाग लेने के लिए चुन सकते हैं? गणितीय ओलंपियाड? उत्तर:21 2. छात्रों को 10 पुस्तकों की एक सूची दी गई जिन्हें छुट्टियों के दौरान पढ़ने की सलाह दी जाती है। एक छात्र कितने तरीकों से उनमें से 6 किताबें चुन सकता है? उत्तर: 210 3. कक्षा में 16 लड़के और 12 लड़कियाँ हैं। क्षेत्र को साफ करने के लिए चार लड़कों और तीन लड़कियों की आवश्यकता है। यह कितने तरीकों से किया जा सकता है? उत्तर: 400400 4. पुस्तकालय में पाठक को नई आने वाली पुस्तकों में से 10 पुस्तकों और 4 पत्रिकाओं का विकल्प दिया गया। वह उनमें से कितने तरीकों से 3 किताबें और 2 पत्रिकाएँ चुन सकता है? उत्तर: 720

स्वतंत्र कार्य विकल्प 1 1. 9 प्रतियोगिता प्रतिभागी फाइनल में प्राथमिकता के क्रम में कितने प्रकार से प्रदर्शन कर सकते हैं? 2. क्या संख्या 40 विभाज्य है? एन ए: ए) 410; बी) 500; सी) 780? 3. संख्याओं 0,3,7,8 का प्रयोग करते हुए सभी संभव बनाइए दोहरे अंक, जिसमें संख्याएँ दोहराई नहीं जाती हैं 4. सिटी ड्यूमा में 30 वर्ष से कम आयु के 10 प्रतिनिधि हैं। उनमें से तीन को समिति में सेवा देने के लिए कितने तरीकों से चुना जा सकता है? युवा नीति? विकल्प 2 1. कूरियर को छह पतों पर पिज़्ज़ा पहुंचाना होगा। वह कितने मार्ग चुन सकता है? 2. क्या संख्या 50 विभाज्य है? एन ए: ए) 400; बी) 98; सी) 510? 3. सम संख्याओं 0,2,4,6,8 का प्रयोग करते हुए सभी संभावित तीन अंकों की संख्याएं बनाएं जिनमें संख्याएं दोहराई न जाएं 4. समूह में 9 छात्र हैं जो अच्छा बोलते हैं विदेशी भाषा. विदेशियों के साथ अभ्यास में काम करने के लिए उनमें से चार को कितने तरीकों से चुना जा सकता है?

उत्तर विकल्प 1 1. 9!=362880 2. ए) नहीं बी) हाँ सी) हाँ 3. 30 70 80 37 73 83 38 78 87 4. 120 विकल्प 2 1. 6!=720 2. ए) हाँ बी) हाँ ग) हाँ 3. 48 संख्याएँ 4. 126

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि कॉम्बिनेटरिक्स उच्च गणित की एक स्वतंत्र शाखा है (और टर्वर का हिस्सा नहीं है) और इस अनुशासन पर महत्वपूर्ण पाठ्यपुस्तकें लिखी गई हैं, जिनकी सामग्री, कभी-कभी, अमूर्त बीजगणित से आसान नहीं होती है। हालाँकि, सैद्धांतिक ज्ञान का एक छोटा सा हिस्सा हमारे लिए पर्याप्त होगा, और इस लेख में मैं विशिष्ट संयोजन समस्याओं के साथ विषय की मूल बातों का सुलभ रूप में विश्लेषण करने का प्रयास करूंगा। और आप में से कई लोग मेरी मदद करेंगे ;-)

हम क्या करने जा रहे हैं? एक संकीर्ण अर्थ में, कॉम्बिनेटरिक्स विभिन्न संयोजनों की गणना है जिन्हें एक निश्चित सेट से बनाया जा सकता है अलगवस्तुएं. वस्तुओं को किसी पृथक वस्तु या जीवित प्राणी के रूप में समझा जाता है - लोग, जानवर, मशरूम, पौधे, कीड़े, आदि। साथ ही, कॉम्बिनेटरिक्स को इस बात की बिल्कुल भी परवाह नहीं है कि सेट में सूजी दलिया की एक प्लेट, एक सोल्डरिंग आयरन और एक दलदल मेंढक शामिल है। यह मौलिक रूप से महत्वपूर्ण है कि इन वस्तुओं की गणना की जा सके - ये तीन हैं (विसंगति)और महत्वपूर्ण बात यह है कि इनमें से कोई भी एक समान नहीं है।

हमने बहुत कुछ निपटा लिया है, अब संयोजनों के बारे में। संयोजनों के सबसे आम प्रकार हैं वस्तुओं का क्रमपरिवर्तन, एक सेट से उनका चयन (संयोजन) और वितरण (प्लेसमेंट)। आइए देखें कि यह अभी कैसे होता है:

दोहराव के बिना क्रमपरिवर्तन, संयोजन और प्लेसमेंट

अस्पष्ट शब्दों से डरो मत, खासकर क्योंकि उनमें से कुछ वास्तव में बहुत अच्छे नहीं हैं। आइए शीर्षक की पूंछ से शुरू करें - "क्या दर्शाता है" कोई दोहराव नहीं"? इसका मतलब यह है कि इस खंड में हम उन सेटों पर विचार करेंगे जिनमें शामिल हैं विभिन्नवस्तुएं. उदाहरण के लिए, ... नहीं, मैं टांका लगाने वाले लोहे और मेंढक के साथ दलिया नहीं पेश करूंगा, कुछ स्वादिष्ट होना बेहतर है =) कल्पना कीजिए कि आपके सामने मेज पर एक सेब, एक नाशपाती और एक केला तैयार हो गया है ( यदि आपके पास वे हैं, तो स्थिति को वास्तविकता में अनुकरण किया जा सकता है)। हम निम्नलिखित क्रम में फलों को बाएँ से दाएँ बिछाते हैं:

सेब/नाशपाती/केला

प्रश्न एक: इन्हें कितने तरीकों से पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है?

एक संयोजन पहले ही ऊपर लिखा जा चुका है और बाकी के साथ कोई समस्या नहीं है:

सेब/केला/नाशपाती
नाशपाती / सेब / केला
नाशपाती/केला/सेब
केला/सेब/नाशपाती
केला/नाशपाती/सेब

कुल: 6 संयोजन या 6 क्रमपरिवर्तन.

ठीक है, सभी संभावित मामलों को सूचीबद्ध करना मुश्किल नहीं था, लेकिन यदि अधिक वस्तुएं हों तो क्या होगा? केवल चार अलग-अलग फलों के साथ, संयोजनों की संख्या में काफी वृद्धि होगी!

कृपया संदर्भ सामग्री खोलें (मैनुअल प्रिंट करना सुविधाजनक है)और बिंदु संख्या 2 में, क्रमपरिवर्तन की संख्या का सूत्र खोजें।

कोई झंझट नहीं - 3 वस्तुओं को अलग-अलग तरीकों से पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है।

प्रश्न दो: आप कितने तरीकों से चुन सकते हैं a) एक फल, b) दो फल, c) तीन फल, d) कम से कम एक फल?

क्यों चुनें? इसलिए हमने पिछले पैराग्राफ में भूख पर काम किया - खाने के लिए! =)

क) एक फल को, जाहिर है, तीन तरीकों से चुना जा सकता है - या तो एक सेब, एक नाशपाती, या एक केला लें। औपचारिक गणना के अनुसार की जाती है संयोजनों की संख्या के लिए सूत्र :

के लिए साइन अप करें इस मामले मेंइसे इस प्रकार समझा जाना चाहिए: "कितने तरीकों से आप तीन में से 1 फल चुन सकते हैं?"

ख) आइए दो फलों के सभी संभावित संयोजनों की सूची बनाएं:

सेब और नाशपाती;
सेब और केला;
नाशपाती और केला.

संयोजनों की संख्या को समान सूत्र का उपयोग करके आसानी से जांचा जा सकता है:

प्रविष्टि को इसी तरह समझा जाता है: "आप कितने तरीकों से तीन में से 2 फल चुन सकते हैं?"

ग) और अंत में, तीन फलों को चुनने का केवल एक ही तरीका है:

वैसे, खाली नमूने के लिए संयोजनों की संख्या का सूत्र सार्थक रहता है:
इस तरह, आप एक भी फल नहीं चुन सकते - वास्तव में, कुछ भी नहीं लें और बस इतना ही।

घ) आप कितने तरीकों से ले सकते हैं कम से कम एकफल? शर्त "कम से कम एक" का तात्पर्य है कि हम 1 फल (कोई भी) या कोई 2 फल या सभी 3 फल से संतुष्ट हैं:
इन विधियों का उपयोग करके आप कम से कम एक फल चुन सकते हैं।

जिन पाठकों ने परिचयात्मक पाठ का ध्यानपूर्वक अध्ययन किया है सिद्धांत संभावना , हमने पहले ही कुछ अनुमान लगा लिया है। लेकिन धन चिह्न के अर्थ के बारे में बाद में और अधिक जानकारी।

जवाब देने के लिए अगला सवालमुझे दो स्वयंसेवकों की आवश्यकता है... ...ठीक है, चूँकि कोई नहीं चाहता, तो मैं आपको बोर्ड पर बुलाऊंगा =)

प्रश्न तीन: आप दशा और नताशा को एक-एक फल कितने तरीकों से वितरित कर सकते हैं?

दो फल वितरित करने के लिए, आपको पहले उन्हें चुनना होगा। अनुच्छेद "होना" के अनुसार पिछला प्रश्न, ऐसा करने के कई तरीके हैं, मैं उन्हें फिर से लिखूंगा:

सेब और नाशपाती;
सेब और केला;
नाशपाती और केला.

लेकिन अब दोगुने कॉम्बिनेशन होंगे. उदाहरण के लिए, फलों की पहली जोड़ी पर विचार करें:
आप दशा का इलाज सेब से और नताशा का नाशपाती से इलाज कर सकते हैं;
या इसके विपरीत - दशा को नाशपाती मिलेगी, और नताशा को सेब मिलेगा।

और ऐसा क्रमपरिवर्तन फलों के प्रत्येक जोड़े के लिए संभव है।

उसी छात्र समूह पर विचार करें जो नृत्य करने गया था। एक लड़के और लड़की की जोड़ी कितने तरीकों से बनाई जा सकती है?

तरीकों से आप 1 युवक का चयन कर सकते हैं;
इन तरीकों से आप 1 लड़की चुन सकते हैं।

इस प्रकार, एक युवक औरआप एक लड़की चुन सकते हैं: तौर तरीकों।

जब प्रत्येक सेट से 1 ऑब्जेक्ट चुना जाता है, तो संयोजनों की गिनती के लिए निम्नलिखित सिद्धांत मान्य होता है: " प्रत्येकएक सेट से एक वस्तु एक जोड़ी बना सकती है प्रत्येक के साथदूसरे सेट की वस्तु।"

अर्थात्, ओलेग 13 लड़कियों में से किसी को भी नृत्य के लिए आमंत्रित कर सकता है, एवगेनी भी तेरह में से किसी को आमंत्रित कर सकता है, और बाकी युवाओं के पास भी समान विकल्प है। कुल: संभावित जोड़े.

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि में इस उदाहरण मेंजोड़ी के गठन का "इतिहास" कोई मायने नहीं रखता; हालाँकि, यदि हम पहल को ध्यान में रखते हैं, तो संयोजनों की संख्या दोगुनी होनी चाहिए, क्योंकि 13 लड़कियों में से प्रत्येक किसी भी लड़के को नृत्य के लिए आमंत्रित कर सकती है। यह सब किसी विशेष कार्य की शर्तों पर निर्भर करता है!

एक समान सिद्धांत अधिक जटिल संयोजनों के लिए मान्य है, उदाहरण के लिए: आप कितने तरीकों से दो युवा पुरुषों को चुन सकते हैं? औरकेवीएन नाटक में भाग लेने वाली दो लड़कियाँ?

मिलन औरस्पष्ट रूप से संकेत देता है कि संयोजनों को गुणा करने की आवश्यकता है:

कलाकारों के संभावित समूह.

दूसरे शब्दों में, प्रत्येकलड़कों की एक जोड़ी (45 अद्वितीय जोड़े) के साथ प्रदर्शन कर सकती है कोईलड़कियों की एक जोड़ी (78 अद्वितीय जोड़े)। और यदि हम प्रतिभागियों के बीच भूमिकाओं के वितरण पर विचार करें, तो और भी अधिक संयोजन होंगे। ...मैं वास्तव में चाहता हूं, लेकिन फिर भी मैं इसे जारी रखने से बचूंगा ताकि आपके मन में इसके प्रति घृणा पैदा न हो छात्र जीवन =).

संयोजनों को गुणा करने का नियम भी लागू होता है बड़ी मात्रागुणक:

समस्या 8

ऐसी कितनी तीन अंकीय संख्याएँ हैं जो 5 से विभाज्य हैं?

समाधान: स्पष्टता के लिए, आइए निरूपित करें दिया गया नंबरतीन तारा: ***

में सैकड़ों स्थानआप कोई भी संख्या (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 या 9) लिख सकते हैं। शून्य उपयुक्त नहीं है, क्योंकि इस मामले में संख्या तीन अंकों की नहीं रह जाती है।

लेकिन में दस जगह("बीच में") आप 10 अंकों में से कोई भी चुन सकते हैं:।

शर्त के अनुसार, संख्या 5 से विभाज्य होनी चाहिए। एक संख्या 5 से विभाज्य होती है यदि उसका अंत 5 या 0 पर होता है। इस प्रकार, हम सबसे कम महत्वपूर्ण अंक में 2 अंकों से संतुष्ट हैं।

कुल मिलाकर, वहाँ है: तीन अंकों की संख्याएँ जो 5 से विभाज्य हैं।

इस मामले में, कार्य को इस प्रकार समझा जाता है: “9 तरीकों से आप एक संख्या चुन सकते हैं सैकड़ों स्थान औरकिसी संख्या को चुनने के 10 तरीके दस जगह और 2 तरीके से अंदर इकाई अंक»

या इससे भी सरल: " प्रत्येक 9 अंकों से लेकर सैकड़ों स्थानको जोड़ती है प्रत्येक के साथ 10 अंकों का दस जगह और प्रत्येक के साथदो अंकों से लेकर इकाई अंक».

उत्तर: 180

और अब…

हां, मैं समस्या संख्या 5 पर वादा की गई टिप्पणी के बारे में लगभग भूल गया था, जिसमें बोर, दीमा और वोलोडा को अलग-अलग तरीकों से एक-एक कार्ड दिया जा सकता है। यहां गुणा का एक ही अर्थ है: डेक से 3 कार्ड निकालने के तरीके और प्रत्येक मेंनमूना उन्हें तरीकों से पुनर्व्यवस्थित करें।

और अब कार्य के लिए स्वतंत्र निर्णय... अब मैं कुछ और दिलचस्प लेकर आऊंगा, ... इसे ब्लैकजैक के उसी रूसी संस्करण के बारे में बताएं:

समस्या 9

"प्वाइंट" खेलते समय 2 कार्डों के कितने विजयी संयोजन होते हैं?

उन लोगों के लिए जो नहीं जानते: विजेता संयोजन 10 + ACE (11 अंक) = 21 अंक है और, आइए दो इक्के के विजेता संयोजन पर विचार करें।

(किसी भी जोड़ी में कार्डों का क्रम मायने नहीं रखता)

पाठ के अंत में एक संक्षिप्त समाधान और उत्तर।

वैसे, उदाहरण को आदिम न समझें. ब्लैकजैक लगभग एकमात्र गेम है जिसके लिए गणितीय रूप से आधारित एल्गोरिदम है जो आपको कैसीनो को हराने की अनुमति देता है। रुचि रखने वाले लोग आसानी से इष्टतम रणनीति और रणनीति के बारे में जानकारी प्राप्त कर सकते हैं। सच है, ऐसे स्वामी बहुत जल्दी सभी प्रतिष्ठानों की काली सूची में आ जाते हैं =)

कुछ ठोस कार्यों के साथ कवर की गई सामग्री को समेकित करने का समय आ गया है:

समस्या 10

वास्या के घर में 4 बिल्लियाँ हैं।

क) बिल्लियों को कमरे के कोनों में कितने तरीकों से बैठाया जा सकता है?
ख) आप कितने तरीकों से बिल्लियों को टहलने के लिए जाने दे सकते हैं?
ग) वास्या कितने तरीकों से दो बिल्लियों को उठा सकती है (एक उसकी बायीं ओर, दूसरी उसकी दायीं ओर)?

आइये निर्णय करें: सबसे पहले, आपको फिर से इस तथ्य पर ध्यान देना चाहिए कि समस्या किससे संबंधित है अलगवस्तुएँ (भले ही बिल्लियाँ हों जुड़वां). ये बहुत महत्वपूर्ण शर्त!

क) बिल्लियों की चुप्पी. इस निष्पादन के अधीन सभी बिल्लियाँ एक साथ
+ उनका स्थान महत्वपूर्ण है, इसलिए यहां क्रमपरिवर्तन हैं:
इन तरीकों का इस्तेमाल करके आप बिल्लियों को कमरे के कोनों में रख सकते हैं।

मैं दोहराता हूं कि क्रमपरिवर्तन करते समय, केवल विभिन्न वस्तुओं की संख्या और उनकी सापेक्ष स्थिति ही मायने रखती है। वास्या की मनोदशा के आधार पर, वह जानवरों को सोफे पर अर्धवृत्त में, खिड़की पर एक पंक्ति में, आदि बैठा सकती है। - सभी मामलों में 24 क्रमपरिवर्तन होंगे, सुविधा के लिए, रुचि रखने वाले लोग कल्पना कर सकते हैं कि बिल्लियाँ बहु-रंगीन हैं (उदाहरण के लिए, सफेद, काली, लाल और टैब्बी) और सभी संभावित संयोजनों को सूचीबद्ध करें।

ख) आप कितने तरीकों से बिल्लियों को टहलने के लिए जाने दे सकते हैं?

यह माना जाता है कि बिल्लियाँ केवल दरवाजे के माध्यम से टहलने जाती हैं, और यह प्रश्न जानवरों की संख्या के संबंध में उदासीनता को दर्शाता है - 1, 2, 3 या सभी 4 बिल्लियाँ टहलने के लिए जा सकती हैं।

हम सभी संभावित संयोजनों को गिनते हैं:

इन तरीकों से आप एक बिल्ली (चारों में से कोई भी) को टहलने के लिए जाने दे सकते हैं;
आप किन तरीकों से दो बिल्लियों को टहलने के लिए ले जा सकते हैं (विकल्पों की सूची स्वयं बनाएं);
इन तरीकों से आप तीन बिल्लियों को टहलने के लिए जाने दे सकते हैं (चार में से एक घर पर बैठती है);
इस तरह आप सभी बिल्लियों को मुक्त कर सकते हैं।

आपने शायद अनुमान लगाया होगा कि परिणामी मूल्यों को संक्षेप में प्रस्तुत किया जाना चाहिए:
ऐसे तरीके जिनसे आप बिल्लियों को सैर के लिए जाने दे सकते हैं।

उत्साही लोगों के लिए, मैं समस्या का एक जटिल संस्करण पेश करता हूं - जब किसी भी नमूने में कोई भी बिल्ली 10वीं मंजिल पर दरवाजे और खिड़की दोनों के माध्यम से बेतरतीब ढंग से बाहर जा सकती है। संयोजनों में उल्लेखनीय वृद्धि होगी!

ग) वास्या कितने तरीकों से दो बिल्लियाँ उठा सकती है?

स्थिति में न केवल 2 जानवरों को चुनना शामिल है, बल्कि उन्हें प्रत्येक हाथ में रखना भी शामिल है:
इन तरीकों से आप 2 बिल्लियाँ उठा सकते हैं।

दूसरा समाधान: आप विधियों का उपयोग करके दो बिल्लियाँ चुन सकते हैं औरपौधे लगाने के तरीके प्रत्येकहाथ पर एक जोड़ा:

उत्तर: ए) 24, बी) 15, सी) 12

खैर, अपने विवेक को साफ़ करने के लिए, गुणन संयोजनों के बारे में कुछ और विशिष्ट बातें... मान लीजिए वास्या के पास 5 अतिरिक्त बिल्लियाँ हैं =) आप कितने तरीकों से 2 बिल्लियों को टहलने के लिए जाने दे सकते हैं? और 1 बिल्ली?

यानी साथ में प्रत्येककुछ बिल्लियों को छोड़ा जा सकता है प्रत्येकबिल्ली।

स्वतंत्र समाधान के लिए एक और बटन अकॉर्डियन:

समस्या 11

3 यात्री 12 मंजिला इमारत की लिफ्ट में चढ़े। हर कोई, दूसरों की परवाह किए बिना, समान संभावना के साथ किसी भी (दूसरी मंजिल से शुरू करके) बाहर निकल सकता है। कितने प्रकार से:

1) यात्री एक ही मंजिल पर उतर सकते हैं (निकास आदेश कोई मायने नहीं रखता);
2) दो लोग एक मंजिल पर उतर सकते हैं, और तीसरा दूसरे पर;
3) लोग विभिन्न मंजिलों पर बाहर निकल सकते हैं;
4) क्या यात्री लिफ्ट से बाहर निकल सकते हैं?

और यहां वे अक्सर फिर से पूछते हैं, मैं स्पष्ट करता हूं: यदि 2 या 3 लोग एक ही मंजिल पर बाहर निकलते हैं, तो बाहर निकलने का क्रम कोई मायने नहीं रखता। सोचें, संयोजनों को जोड़ने/गुणा करने के लिए सूत्रों और नियमों का उपयोग करें। कठिनाइयों के मामले में, यात्रियों के लिए नाम बताना और अनुमान लगाना उपयोगी है कि वे किन संयोजनों में लिफ्ट से बाहर निकल सकते हैं। अगर कुछ काम नहीं होता है तो परेशान होने की जरूरत नहीं है, उदाहरण के लिए, बिंदु संख्या 2 काफी कपटपूर्ण है।

पाठ के अंत में विस्तृत टिप्पणियों के साथ पूर्ण समाधान।

अंतिम पैराग्राफ उन संयोजनों के लिए समर्पित है जो अक्सर घटित होते हैं - मेरे व्यक्तिपरक मूल्यांकन के अनुसार, लगभग 20-30% संयोजन समस्याओं में:

पुनरावृत्ति के साथ क्रमपरिवर्तन, संयोजन और प्लेसमेंट

सूचीबद्ध प्रजातियाँसंयोजनों को पैराग्राफ संख्या 5 में उल्लिखित किया गया है संदर्भ सामग्री कॉम्बिनेटरिक्स के मूल सूत्र हालाँकि, उनमें से कुछ पहली बार पढ़ने पर बहुत स्पष्ट नहीं हो सकते हैं। इस मामले में, सबसे पहले यह सलाह दी जाती है कि आप स्वयं को व्यावहारिक उदाहरणों से परिचित कर लें, और उसके बाद ही सामान्य सूत्रीकरण को समझें। जाना:

दोहराव के साथ क्रमपरिवर्तन

दोहराव वाले क्रमपरिवर्तन में, जैसा कि "सामान्य" क्रमपरिवर्तन में होता है, सभी अनेक वस्तुएँ एक साथ, लेकिन एक बात है: इस सेट में एक या अधिक तत्वों (वस्तुओं) को दोहराया जाता है। अगले मानक को पूरा करें:

समस्या 12

निम्नलिखित अक्षरों वाले कार्डों को पुनर्व्यवस्थित करके कितने अलग-अलग अक्षर संयोजन प्राप्त किए जा सकते हैं: K, O, L, O, K, O, L, b, Ch, I, K?

समाधान: इस घटना में कि सभी अक्षर अलग-अलग थे, तो एक तुच्छ सूत्र लागू करना होगा, लेकिन यह पूरी तरह से स्पष्ट है कि कार्ड के प्रस्तावित सेट के लिए कुछ जोड़-तोड़ "निष्क्रिय रूप से" काम करेंगे, उदाहरण के लिए, यदि आप किन्हीं दो कार्डों की अदला-बदली करते हैं किसी भी शब्द में "K" अक्षर से आपको वही शब्द मिलता है। इसके अलावा, भौतिक रूप से कार्ड बहुत भिन्न हो सकते हैं: एक गोल हो सकता है और उस पर "K" अक्षर छपा हुआ हो सकता है, दूसरा चौकोर हो सकता है और उस पर "K" अक्षर बना हो सकता है। लेकिन कार्य के अर्थ के अनुसार ऐसे कार्ड भी समान माने जाते हैं, चूँकि शर्त अक्षर संयोजनों के बारे में पूछती है।

सब कुछ अत्यंत सरल है - केवल 11 कार्ड, पत्र सहित:

के - 3 बार दोहराया गया;
ओ - 3 बार दोहराया गया;
एल - 2 बार दोहराया गया;
बी - 1 बार दोहराया गया;
एच - 1 बार दोहराया गया;
और - 1 बार दोहराया गया.

जाँच करें: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, जिसे जाँचने की आवश्यकता है।

सूत्र के अनुसार पुनरावृत्ति के साथ क्रमपरिवर्तन की संख्या :
विभिन्न अक्षर संयोजन प्राप्त किये जा सकते हैं। आधे मिलियन से अधिक!

बड़े फैक्टोरियल मान की तुरंत गणना करने के लिए, मानक एक्सेल फ़ंक्शन का उपयोग करना सुविधाजनक है: किसी भी सेल में प्रवेश करें =तथ्य(11)और दबाएँ प्रवेश करना.

व्यवहार में, सामान्य सूत्र न लिखना और इसके अलावा, इकाई तथ्यात्मक को छोड़ना काफी स्वीकार्य है:

लेकिन बार-बार लिखे गए पत्रों के बारे में प्रारंभिक टिप्पणियाँ आवश्यक हैं!

उत्तर: 554400

पुनरावृत्ति के साथ क्रमपरिवर्तन का एक और विशिष्ट उदाहरण शतरंज के टुकड़े रखने की समस्या में होता है, जो गोदाम में पाया जा सकता है तैयार समाधान संबंधित पीडीएफ में। और एक स्वतंत्र समाधान के लिए, मैं एक कम फार्मूलाबद्ध कार्य लेकर आया:

समस्या 13

एलेक्सी सप्ताह में 4 दिन खेल के लिए जाता है - व्यायाम, दो दिन - शक्ति व्यायामऔर 1 दिन आराम करता है. वह कितने तरीकों से अपने लिए साप्ताहिक कार्यक्रम बना सकता है?

सूत्र यहां काम नहीं करता है क्योंकि यह आकस्मिक बदलावों को ध्यान में रखता है (उदाहरण के लिए, बुधवार के शक्ति अभ्यासों को गुरुवार के शक्ति अभ्यासों के साथ बदलना)। और फिर - वास्तव में वही 2 शक्ति प्रशिक्षणएक-दूसरे से बहुत भिन्न हो सकते हैं, लेकिन कार्य के संदर्भ में (शेड्यूल के दृष्टिकोण से) उन्हें समान तत्व माना जाता है।

पाठ के अंत में दो पंक्ति का समाधान और उत्तर दें।

दोहराव के साथ संयोजन

विशेषताइस प्रकार के संयोजन में यह तथ्य शामिल होता है कि नमूना कई समूहों से लिया जाता है, जिनमें से प्रत्येक में समान वस्तुएं होती हैं।

आज सभी ने कड़ी मेहनत की है, इसलिए खुद को तरोताजा करने का समय आ गया है:

समस्या 14

छात्र कैंटीन आटे, चीज़केक और डोनट्स में सॉसेज बेचती है। आप कितने तरीकों से पाँच पाई खरीद सकते हैं?

समाधान: दोहराव के साथ संयोजन के लिए विशिष्ट मानदंड पर तुरंत ध्यान दें - शर्त के अनुसार, यह वस्तुओं का एक सेट नहीं है जो पसंद के लिए पेश किया जाता है, लेकिन विभिन्न प्रकार वस्तुएं; यह माना जाता है कि बिक्री पर कम से कम पांच हॉट डॉग, 5 चीज़केक और 5 डोनट्स हैं। बेशक, प्रत्येक समूह में पाई अलग-अलग हैं - क्योंकि बिल्कुल समान डोनट्स को केवल कंप्यूटर पर ही अनुकरण किया जा सकता है =) हालाँकि भौतिक विशेषताएंसमस्या के अर्थ में पाई महत्वपूर्ण नहीं हैं, और हॉट डॉग/चीज़केक/डोनट्स को उनके समूहों में समान माना जाता है।

नमूने में क्या हो सकता है? सबसे पहले, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि नमूने में निश्चित रूप से समान पाई होंगी (चूंकि हम 5 टुकड़े चुन रहे हैं, और चुनने के लिए 3 प्रकार हैं)। यहां हर स्वाद के लिए विकल्प हैं: 5 हॉट डॉग, 5 चीज़केक, 5 डोनट्स, 3 हॉट डॉग + 2 चीज़केक, 1 हॉट डॉग + 2 चीज़केक + 2 डोनट्स, आदि।

"नियमित" संयोजनों की तरह, चयन में पाई के चयन और स्थान का क्रम कोई मायने नहीं रखता - आपने बस 5 टुकड़े चुने और बस इतना ही।

हम सूत्र का उपयोग करते हैं दोहराव के साथ संयोजनों की संख्या:
आप इस विधि का उपयोग करके 5 पाई खरीद सकते हैं।

बॉन एपेतीत!

उत्तर: 21

अनेक संयोजनात्मक समस्याओं से क्या निष्कर्ष निकाला जा सकता है?

कभी-कभी सबसे कठिन काम स्थिति को समझना होता है।

स्वतंत्र समाधान के लिए एक समान उदाहरण:

समस्या 15

बटुए में काफी कुछ है एक बड़ी संख्या की 1-, 2-, 5- और 10-रूबल के सिक्के। एक बटुए से तीन सिक्के कितने तरीकों से निकाले जा सकते हैं?

आत्म-नियंत्रण उद्देश्यों के लिए, कुछ उत्तर दें सरल प्रश्न:

1) क्या नमूने में सभी सिक्के अलग-अलग हो सकते हैं?
2) सिक्कों के "सबसे सस्ते" और सबसे "महंगे" संयोजन का नाम बताएं।

पाठ के अंत में समाधान और उत्तर।

से मेरी निजी अनुभव, मैं कह सकता हूं कि दोहराव के साथ संयोजन व्यवहार में सबसे दुर्लभ अतिथि हैं, जिनके बारे में नहीं कहा जा सकता है निम्नलिखित प्रपत्रसंयोजन:

दोहराव के साथ प्लेसमेंट

तत्वों से युक्त एक सेट से, तत्वों का चयन किया जाता है, और प्रत्येक चयन में तत्वों का क्रम महत्वपूर्ण होता है। और सब कुछ ठीक हो जाएगा, लेकिन एक अप्रत्याशित मजाक यह है कि हम मूल सेट के किसी भी ऑब्जेक्ट को जितनी बार चाहें चुन सकते हैं। लाक्षणिक रूप से कहें तो, "भीड़ कम नहीं होगी।"

ऐसा कब होता है? विशिष्ट उदाहरणकई डिस्क के साथ एक संयोजन लॉक है, लेकिन प्रौद्योगिकी के विकास के कारण, इसके डिजिटल वंशज पर विचार करना अधिक प्रासंगिक है:

समस्या 16

चार अंकों वाले कितने पिन कोड होते हैं?

समाधान: वास्तव में, समस्या को हल करने के लिए, कॉम्बिनेटरिक्स के नियमों का ज्ञान पर्याप्त है: आप किन तरीकों से पिन कोड का पहला अंक चुन सकते हैं औरतरीके - पिन कोड का दूसरा अंक औरकई तरीकों से - तीसरा औरवही संख्या - चौथी. इस प्रकार, संयोजनों को गुणा करने के नियम के अनुसार, चार अंकों का पिन कोड निम्नलिखित तरीकों से बनाया जा सकता है।

और अब सूत्र का उपयोग कर रहे हैं। शर्त के अनुसार, हमें संख्याओं का एक सेट पेश किया जाता है, जिसमें से संख्याओं का चयन और व्यवस्था की जाती है एक निश्चित क्रम में, जबकि नमूने में संख्याएँ दोहराई जा सकती हैं (अर्थात् मूल सेट के किसी भी अंक को मनमाने ढंग से कई बार उपयोग किया जा सकता है). दोहराव वाले स्थानों की संख्या के सूत्र के अनुसार:

उत्तर: 10000

मन में क्या आता है... ...यदि एटीएम तीसरे के बाद कार्ड को "खा" लेता है असफल प्रयासयदि आप एक पिन कोड दर्ज करते हैं, तो इसे यादृच्छिक रूप से उठाए जाने की संभावना बहुत कम है।

और किसने कहा कि कॉम्बिनेटरिक्स का कोई व्यावहारिक अर्थ नहीं है? साइट के सभी पाठकों के लिए संज्ञानात्मक कार्य:

समस्या 17

के अनुसार राज्य मानक, एक कार लाइसेंस प्लेट में 3 नंबर और 3 अक्षर होते हैं। इस मामले में, तीन शून्य वाली संख्या अस्वीकार्य है, और अक्षरों को सेट ए, बी, ई, के, एम, एन, ओ, पी, एस, टी, यू, एक्स से चुना जाता है। (केवल उन्हीं सिरिलिक अक्षरों का उपयोग किया जाता है जिनकी वर्तनी लैटिन अक्षरों से मेल खाती है).

किसी क्षेत्र के लिए कितनी भिन्न लाइसेंस प्लेटें बनाई जा सकती हैं?

वैसे, उनमें से बहुत सारे नहीं हैं। बड़े क्षेत्रों में ऐसी मात्रा पर्याप्त नहीं है, और इसलिए उनके लिए शिलालेख आरयूएस के लिए कई कोड हैं।

समाधान और उत्तर पाठ के अंत में हैं। कॉम्बिनेटरिक्स के नियमों का उपयोग करना न भूलें ;-) ...मैं दिखाना चाहता था कि क्या विशिष्ट था, लेकिन यह विशिष्ट नहीं निकला =) मैंने विकिपीडिया को देखा - वहाँ गणनाएँ हैं, हालाँकि टिप्पणियों के बिना। यद्यपि में शैक्षिक उद्देश्य, शायद, कुछ लोगों ने फैसला किया।

हमारा रोमांचक पाठ समाप्त हो गया है, और अंत में मैं कहना चाहता हूं कि आपने अपना समय बर्बाद नहीं किया है - इस कारण से कि कॉम्बिनेटरिक्स सूत्र एक और महत्वपूर्ण खोजते हैं प्रायोगिक उपयोग: वे अंदर मिलते हैं विभिन्न कार्यद्वारा सिद्धांत संभावना ,
और में संभाव्यता के शास्त्रीय निर्धारण से जुड़ी समस्याएं - विशेष रूप से अक्सर =)

आपकी सक्रिय भागीदारी के लिए आप सभी को धन्यवाद और जल्द ही आपसे मुलाकात होगी!

समाधान और उत्तर:

कार्य 2: समाधान: 4 कार्डों के सभी संभावित क्रमपरिवर्तनों की संख्या ज्ञात करें:

जब शून्य वाले कार्ड को पहले स्थान पर रखा जाता है, तो संख्या तीन अंकों की हो जाती है, इसलिए इन संयोजनों को बाहर रखा जाना चाहिए। मान लीजिए कि शून्य पहले स्थान पर है, तो निचले अंकों में शेष 3 अंकों को अलग-अलग तरीकों से पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है।

टिप्पणी : क्योंकि चूंकि केवल कुछ ही कार्ड हैं, इसलिए यहां सभी विकल्पों को सूचीबद्ध करना आसान है:
0579
0597
0759
0795
0957
0975

इस प्रकार, प्रस्तावित सेट से हम बना सकते हैं:
24 – 6 = 18 चार अंकीय संख्याएँ
उत्तर : 18

कार्य 4: समाधान: आप 36 में से 3 कार्ड चुन सकते हैं।
उत्तर : 7140

कार्य 6: समाधान: तौर तरीकों।
एक और समाधान : तरीकों से आप समूह से दो लोगों का चयन कर सकते हैं और
2) "सबसे सस्ते" सेट में 3 रूबल के सिक्के हैं, और सबसे "महंगे" में - 3 दस-रूबल के सिक्के हैं।

समस्या 17: समाधान: आप किस तरह से डिजिटल संयोजन बना सकते हैं लाइसेंस प्लेट संख्या, और उनमें से एक (000) को बाहर रखा जाना चाहिए: .
इन विधियों का उपयोग करके, आप लाइसेंस प्लेट नंबर का एक अक्षर संयोजन बना सकते हैं।
संयोजनों को गुणा करने के नियम के अनुसार, कुल बनाया जा सकता है:
अनुज्ञा प्लेट
(प्रत्येकडिजिटल संयोजन संयुक्त है प्रत्येक के साथअक्षर संयोजन).
उत्तर : 1726272